Чего не знает современная наука - Сборник статей

Это правило достаточно точно описывает радиусы первых семи планет от Меркурия до Урана. Причина столь хорошего совпадения астрономам неизвестна.

Издавна считалось, что математика – язык, который в наилучшей степени может помочь нам понять законы прекрасного. Источником красоты является гармония, упорядочивающая все части, вообще говоря различные по природе, согласно совершенным соотношениям. Человек может стать счастливым, стремясь к красоте, которую он чувствует душой.

Эти положения легли в основу множества философских теорий эпохи Возрождения и более поздних. В качестве примера приведем теорию красоты одного из титанов Возрождения флорентинца Леона Батиста Альберти, гуманиста, философа, писателя, архитектора, скульптора, художника. В его теории математика играет ведущую роль: он считает, что законы природы выражаются определенными числами, а красота – идеальный образ числа и идеальный образец для художника.

Математику пытались использовать не только для описания основных принципов развития мира и человека, но и для познания Бога. Так, Николай Кузанский, исходя из того, что божественное присутствует везде, дал начало исследованиям по интегральному и дифференциальному исчислениям, пытаясь из бесконечно малых дифференциалов сложить единый интеграл. Формально эта схема была воплощена в трудах Ньютона и Лейбница.

Ученые Нового времени, несмотря на наступление позитивизма, также видели Бога в простых и красивых математических законах.

Для эмпирика Джона Локка существовали лишь три несомненные истины – наше собственное существование, существование Бога и истинность законов математики.

Широко известно высказывание Лейбница «Cum Deus calculat, fit mundus», что значит: «Как Бог вычисляет, так мир делает». Вслед за философами Средневековья, такими, например, как Фома Аквинский, Лейбниц считал, что Бог не может действовать вопреки законам логики, но он может повелеть все, что логически возможно, и это предоставляет ему величайшую широту выбора.

Ньютон считал, что математическая красота и сила законов механики, оптики и так далее является наилучшим подтверждением существования Бога. Рассуждая об аналогиях в устройстве музыки и цвета, он писал об устройстве музыки: «…в нем содержится нечто от гармонии цветов (о которой знают художники, но о которой сам я не имею достаточно определенного суждения), подобной, может быть, созвучию тонов. Посему правдоподобным кажется сходство между крайним пурпуром (фиолетовым. – А. Ч.) и краснотой, – концами цветов – и между концами октавы (каковая может почитаться унисоном)». Этим он, по сути, продолжил пифагорейскую традицию поиска математических законов гармонии.

Иммануил Кант, размышляя о возможностях познания мира, пришел к выводу, что математические понятия не могут быть извлечены из опыта, они априорны, а следовательно, всеобщи и необходимы. «Математика дает нам прекрасный пример того, как далеко мы можем продвинуться в априорном знании независимо от опыта».

Ученые, благодаря трудам которых произошли колоссальные сдвиги в естествознании XX века, также отдавали должное математическому устройству мира. Анри Пуанкаре всеобщий характер математических законов выразил во фразе: «Математика – это искусство называть разные вещи одним и тем же именем». Арнольд Зоммерфельд, один из творцов квантовой механики и современной математической физики, утверждал: «Платоновское выражение, что Бог является геометром, сегодня кажется более истинным, чем когда-либо. Мы все яснее видим, что наиболее общая математическая формулировка одновременно является и физически наиболее плодотворной». Схожим образом рассуждал и Поль Дирак: «Ситуацию, вероятно, можно было бы описать, сказав, что Бог является математиком очень высокого ранга и что он при построении Вселенной использовал математику высшего уровня». О необыкновенной силе и красоте математики размышлял Юджин Вигнер: «Математический язык удивительно хорошо приспособлен для формулировки физических законов, это чудесный дар, который мы не понимаем и которого не заслуживаем. Нам остается лишь благодарить за него судьбу и надеяться, что и в своих будущих исследованиях мы сможем по-прежнему пользоваться им».

Мы видим, что существует глубокая традиция, связывающая устройство мира и нашу способность его познания с математическими понятиями. Причина такой связи скрыта от нас, таинственна, часто она побуждает ученых прибегать при описании этого феномена к терминологии далекой от той, что характерна для научных текстов, а более свойственна текстам религиозным. Мне думается, что причина этого не в стремлении лидеров теоретического сообщества «освятить» эти принципы, «убедить в недоказуемом», а в искреннем удивлении перед тайной.

Алексей Чуличков, д-р физ. – мат. наук, МГУ

Фрактальная Вселенная: гармония природы

Бурлящий поток воды, пляшущий огонь костра, даже морозный рисунок на оконном стекле завораживают нас новизной постоянно обновляющихся фрагментов и в то же время ощущением ритма, неуловимой повторяемости деталей. Размышляя над изменчивостью и постоянством этих картин, философ придет к мысли о существовании единого принципа, связующего начала, присутствующего во всех явлениях природы; человек, не искушенный в науках, отнесет все на волю божью. Физик же или математик предложит свое объяснение: он будет говорить о законах природы, описываемых математическими моделями.

Мысль о том, что явления реального мира могут подчиняться математическим законам, возникла еще в античности. Язык математики тех времен был достаточно беден по сравнению с современным, его «словами» были числа и геометрические фигуры. Но уже тогда правила геометрии, применяемые при разметке участков земли или при строительстве, правила действия с числами при подсчете урожая, в астрономических расчетах или в торговле давали точный ответ и никогда не подводили. Язык чисел и фигур был достаточно выразительным и универсальным, он позволял действительно находить то общее, что проявляется во многих явлениях реальности, на первый взгляд, казалось бы, совершенно не связанных между собой.

Предсказательная сила, содержащаяся в математических моделях, в древности настолько поражала ум (да и сейчас поражает, несмотря на привычку к современным техническим чудесам), что в числах и геометрических фигурах видели тайный мистический смысл. Пифагор учил: «Что самое мудрое? – Число». Филолай из Кротона, его ученик, писал: «Все, что познаваемо, имеет число, без него ничего нельзя ни помыслить, ни познать». Платон (в диалоге «Парменид, или Об идеях»), а за ним и неоплатоники, в частности, Прокл, выстраивают иерархию Космоса от Единого через «сверхсущие» единицы – непознаваемых богов (по сути, через числа) к «сущим», т. е. умопостигаемым богам. Числа в древности несли в себе не только обозначение количества, но и великие принципы – Единство, Двойственность, Троичность и т. п., – свойственные всему мирозданию. Пользуясь числами как символами, античные философы описывали процесс рождения Космоса, т. е. то, как из Единого (обозначаемого единицей) возникает множественность форм.

Со временем мистический смысл математики теряется, на первый план выступает ее прикладной аспект. Но суть математики как всеобщего языка природы признается и поныне; мы верим, что, пользуясь этим языком, можно найти и выразить неуловимую общность, единое начало, исток всех явлений, то, что связывает весь мир.

На чем основана эта вера? Еще в начальной школе мы узнаем, что число – это обозначение количества: числом 3 можно описывать то общее, что содержится в высказываниях «три барана», «три брата», «три яблока», «три медведя» и т. д. Но, оказывается, числами можно характеризовать и качественные свойства мира – такие, например, как протяженность его объектов, тяжесть (вес) тел, высоту звука. Для этого еще в древности была придумана специальная процедура – измерение. Чтобы оценить количественно то или иное свойство объекта, надо задать единицу измерения, эталон – например, эталон длины или веса, – и определить способ подсчета количества эталонов, содержащихся в измеряемом объекте. Так, для определения расстояния между пунктами А и Б нужно подсчитать количество метров, укладывающихся в отрезок прямой, соединяющей точки А и Б, для нахождения веса предмета нужно уравновесить его на коромысле весов с набором гирь в 1 грамм и подсчитать их количество. Приняв за эталон высоты звука единицу длины звучащей струны, натянутой с определенной силой, можно измерить высоту любого звука, приписывая ему длину струны, звучащей в унисон.

Фундаментальное свойство природы – ее измеримость – дает надежду на то, что на пути математической абстракции мы можем найти ответ на вопрос, в чем выражается общее, единое, что связывает разнородные явления мира. Измерение сопоставляет с каждым объектом набор чисел, характеристик его содержания, сути. Отношения между объектами различной природы теперь могут быть выражены на одном языке, достаточно технологичном и содержательном. Догадка древних о том, что числом можно описать свойства любого объекта, дала человеку могущественное средство понимания реальности – сегодня мы называем его наукой.