Большая Советская Энциклопедия (ПР) - БСЭ БСЭ

даёт решение у (х ) в точке xk с точностью до величин порядка h4 .

  Для уравнений 2-го порядка можно получить формулы численного интегрирования путём двукратного применения

Формула k = 2 k = 3 k = 4 (1 + x )3 » 1 + 3x 0,04 0,012 0,004 0,06 0,022 0,007 0,19 0,062 0,020 0,20 0,065 0,021 0,31 (17°48') 0,144 (8°15') 0,067 (3°50') 0,10 (5°43') 0,031 (l'48') 0,010 (0°34') 0,25 (14°8') 0,112 (6°25') 0,053 (3°2') 0,14 0,47 0,015 0,04 0,014 0,004 0,25 0,119 0,055

формулы Адамса. Норвежский математик К. Стёрмер получил формулу:

особенно удобную для решения уравнений вида у'' = f (x, у ). По этой формуле находят D2 yn-1 , а затем yn+1 = yn +Dyn+ 1 + D2 yn-1 . Найдя yn+1 , вычисляют y’’n+1 = f (xn+1 , yn+1 ), находят разности и повторяют процесс далее.

  Указанные выше численные методы распространяются и на системы дифференциальных уравнений.

  Значение численных методов решения дифференциальных уравнений особенно возросло с распространением ЭВМ.

  Кроме аналитических и численных методов, для П. р. дифференциальных уравнений применяются графические методы. В простейшем из них строят поле направлений, определяемое дифференциальным уравнением, т. е. в некоторых точках рисуют направления касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Затем проводят кривую так, чтобы касательные к ней имели направления поля (см. Графические вычисления ).

  Лит.: Березин И. С., Жидков Н. П., Методы вычислений, 2 изд., т. 2, М.. 1962; Бахвалов Н. С., Численные методы, М., 1973: Коллатц Л., Численные методы решения дифференциальных уравнений, пер. с нем., М., 1953; Милн В. Э., Численное решение дифференциальных уравнений, пер, с англ., М., 1955.

Приближённые вычисления

Приближённые вычисле'ния, вычисления, в которых данные и результат (или по крайней мере только результат) являются числами, лишь приближённо представляющими истинные значения соответствующих величин. П. в. возникают в связи с численным решением задач и обусловлены неточностями, которые присущи формулировке задачи и способам её решения. Общие правила и теорию методов П. в. принято называть численными методами .

Приближённые формулы

Приближённые фо'рмулы, математические формулы, получаемые из формул вида f (x ) = f* (x ) + e(х ), где e(х ) рассматривается как погрешность и после оценки отбрасывается. Таким образом, П. ф. имеет вид f (x ) » f* (x ).

  Например, П. ф. (1 + х )2 » 1 + 2x получается из точной формулы для (1 + х )2 при малых |x |; этой формулой можно пользоваться при вычислении с точностью до сотых, тысячных, десятитысячных, если |x | соответственно не больше 0,0707..., 0,0223..., 0,00707... Эта П. ф. даёт результат тем более точный, чем х ближе к 0. Но так бывает не всегда. Например, точность П. ф. tg тем больше, чем х ближе к p/2.

  Выше (стр. 555) приведено несколько наиболее употребительных П. ф., причём показано, какого числа не должно превосходить |x |, чтобы формула давала k точных десятичных знаков.

  Часто П. ф. получают с помощью разложения функций в ряды, например в ряд Тейлора. Чтобы уверенно применять П. ф., необходимо иметь оценку разности между точным и приближённым выражениями функции. Зная, например, что разность между sinx и двучленом   не превосходит по абсолютному значению , легко убедиться, что П. ф.  даёт значения sinx с точностью до сотых, тысячных, десятитысячных, если х соответственно меньше 0,89 (51°), 0,55 (32°), 0,34 (20°).

«Прибой»

«Прибо'й» , легальное большевистское издательство, создано в ноябре 1912 в Петербурге во время «страховой кампании» (1912—1914), с 1913 начало выпуск литературы по вопросам социального страхования рабочих; с июля 1913 стало издательством ЦК РСДРП, по указанию которого главное внимание уделяло изданию политической агитационно-пропагандистской литературы по вопросам рабочего движения. Вышли сборники: «Марксизм и ликвидаторство» со статьями В. И. Ленина, «Страхование рабочих в России и на Западе» (2-й и 3-й выпуски), календарь «Спутник рабочего на 1914» (со статьей Ленина «Стачки в России») и др. В работе издательства участвовали А. И. Ульянова-Елизарова, М. С. Ольминский, Ф. И. Драбкина и др. В начале 1-й мировой войны 1914—18 в связи с цензурными репрессиями «П.» прекратил свою деятельность; издательство возобновило работу в марте 1917. Были выпущены работы Ленина «Письма о тактике». Письмо 1-е с приложением Апрельских тезисов; «Задачи пролетариата в нашей революции»; «Уроки революции»; «Материалы по пересмотру партийной программы»; «Грозящая катастрофа и как с ней бороться». В 1918 влилось в книгоиздательство «Коммунист».

  Лит.: Шварцман С. М., Книгоиздательство «Прибой» (1913—1914), в сборнике: «Книга», № 13, М., 1966.

Прибой (в ткачестве)

Прибо'й в ткачестве, продвижение уточной нити вдоль основы к опушке (краю) ткани. Одна из основных операций при формировании ткани на ткацком станке . Наиболее распространённый рабочий орган для П. — бердо ; перемещающее уточную нить одновременно по всей ширине основы. П. на некоторых станках осуществляется непрерывно с помощью прижимов-уплотнителей утка (круглоткацкий станок ), профилированных дисков (многозевные ткацкие машины).

Прибой (морской)

Прибо'й , явление разрушения морской (озёрной) волны, происходящее в результате разбивания волн непосредственно у берега, при этом колебательные движения воды сменяются возвратно-поступательным движением прибойного потока . П. — основной фактор разрушения абразионных берегов и образования пляжей, сопровождаемый перемещением наносов на пляжах на аккумулятивных берегах.

Прибойный поток

Прибо'йный пото'к , поток воды, образующийся в результате прибоя. Различают две ветви П. п.: прямой П. п., или накат, и обратный П. п., или откат. Прямой П. п. образуется непосредственно после разбивания волны; взбегает вверх по склону (пляжу) с постепенно затухающей скоростью. Направление движения прямого П. п. определяется исходным распространением волны и направлением силы тяжести. Обратный П. п. стекает вниз по склону после того, как скорость прямого потока достигает нулевого значения. При косом подходе волн к береговой линии направления прямого и обратного П. п. обычно не совпадают и П. п. вызывает вдольбереговое перемещение наносов. При подходе под прямым углом к линии берега П. п. способствует поперечному перемещению наносов.

Приборные масла

Прибо'рные масла' , нефтяные масла, применяемые главным образом для смазки контрольно-измерительной аппаратуры; относятся к индустриальным маслам .

Приборостроение

Приборострое'ние , отрасль машиностроения, выпускающая средства измерения, анализа, обработки и представления информации, устройства регулирования, автоматические и автоматизированные системы управления; область науки и техники, разрабатывающая средства автоматизации и системы управления (см. Автоматизация производства ).

  В дореволюционной России было всего несколько небольших предприятий, выпускавших термометры, манометры, водомеры, весы и др. простейшие приборы. В СССР промышленное развитие П. началось в годы 1-й пятилетки (1929—32) с образованием Всесоюзного электротехнического объединения, где было организовано серийное производство электроизмерительных приборов и средств автоматизации, Всесоюзного объединения точной индустрии, сосредоточившего изготовление теплоизмерительных приборов, Всесоюзного объединения оптико-механической промышленности, Всесоюзного объединения весоизмерительной промышленности, предприятий авиационного, морского и др. специализированных направлений П. В 1965 образовано общесоюзное министерство приборостроения, средств автоматизации и систем управления. В его состав включен комплекс предприятий, научно-исследовательских институтов, конструкторских бюро, проектных и монтажных организаций, осуществляющих разработку, производство, монтаж и ввод в эксплуатацию как отдельных устройств, так и систем автоматизации.