Большая Советская Энциклопедия (ПР) - БСЭ БСЭ

  Одним из первых результатов о полиномиальной аппроксимации является теорема Рунге, согласно которой любая функция, голоморфная в односвязной области плоскости комплексного переменного z, может быть равномерно аппроксимирована на компактных подмножествах (см. Компактность ) этой области посредством полиномов от z. Общая задача о возможности равномерного приближения полиномами ставится так: для каких компактов К в комплексной плоскости любая функция f, непрерывная на К и голоморфная на множестве внутренних точек К, допускает равномерную аппроксимацию на К (с любой степенью точности) посредством полиномов от z. Необходимым и достаточным условием возможности такой аппроксимации является связность дополнения компакта К. Эта теорема для компактов без внутренних точек была доказана М. А. Лаврентьевым (1934), для замкнутых областей — М. В. Келдышем (1945) и в общем случае — С. Н. Мергеляном (1951).

  Пусть Еп = En (f, K ) — наилучшее приближение функции f на компакте К посредством полиномов от z степени не выше n (в равномерной метрике). Если К — компакт со связным дополнением и функция f    голоморфна на К, то последовательность {Еп } стремится к нулю быстрее некоторой геометрической прогрессии: En < qn , 0 < q = q  < 1 (n > N ). Если f    непрерывна на К и голоморфна во внутренних точках К, то скорость её полиномиальной аппроксимации зависит как от свойств f    на границе К (модуль непрерывности, дифференцируемость), так и от геометрических свойств границы К.

  Другие направления исследований — равномерные и наилучшие приближения рациональными функциями, приближения целыми функциями, весовые приближения полиномами, приближения полиномами и рациональными функциями в интегральных метриках. Большое внимание уделяется проблематике, связанной с приближением функций нескольких комплексных переменных.

  Лит.: Уолш Д.-Л., Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплексной области, пер. с англ., М,, 1961; Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, т. 2, М., 1968; Смирнов В. И.. Лебедев Н. А., Конструктивная теория функций комплексного переменного, М. — Л., 1964; Мергелян С. Н., Приближения функций комплексного переменного. в кн.: Математика в СССР за сорок лет. 1917—1957, т. 1, М., 1959, с. 383-98; Гончар А. А., Мергелян С. Н., Теория приближений функций комплексного переменного, в кн.: История отечественной математики, т. 4, кн. 1, К,, 1970, с. 112—78.

  А. А. Гончар.

Приближённое интегрирование

Приближённое интегри'рование определённых интегралов, раздел вычислительной математики, занимающийся разработкой и применением методов приближённого вычисления определённых интегралов .

  Пусть y = f (x ) — непрерывная функция на отрезке [a, b ] и интеграл

  Если для функции f (x ) известны значения первообразной F (x ) при x = а и х = b, то по формуле Ньютона — Лейбница

I (f ) = F (b ) - F (a )

  В противном случае приходится искать др. пути вычисления l . Одним из путей является построение квадратурных формул, приближённо выражающих значение I  в виде линейной функции некоторого числа значений функции f (x ) и её производных. Квадратурной формулой, содержащей только значения функции f (x ), называют выражение вида

Sn =  Ak f (xk ),

в котором точки xk , k = 1, 2,..., n, xk Î [a, b ], называют узлами, а коэффициенты Ak — весами.

  Для каждой непрерывной функции f (x ) значение I  может быть вычислено с помощью сумм Sn с любой точностью. Выбор квадратурной формулы определяется классом W, к которому относят конкретную функцию f (x ), способом задания функции и имеющимися вычислительными средствами. Погрешностью квадратурной формулы называется разность

Rn = I  - Sn .

  Квадратурная формула содержит 2n + 1 не зависящих от функции f (x ) параметров: n, xk , Ak (k = 1, 2,..., n ), которые выбирают так, чтобы при f Î W погрешность её была допустимо малой. Точность квадратурной формулы для f Î W характеризует величина rn (W) — точная верхняя грань &frac12;Rn &frac12; на множестве W:

.

  Пусть

  Квадратурная формула, для которой Wn (W) = rn (W), называется оптимальной на классе П. Веса и узлы в оптимальной квадратурной формуле могут быть произвольными или подчинёнными определённым связям.

  Различают два класса квадратурных формул: элементарные и составные. Разработано несколько методов построения элементарных квадратурных формул. Пусть wq (x ), q = 0, 1,..., — полная система функций в классе W, и любая f (x ) Î Q достаточно хорошо приближается линейными комбинациями первых функций wq (x ). Пусть l (wq ), q = 0, 1, 2,..., можно вычислить точно. Для каждого n параметры квадратурной формулы можно определить из требования, чтобы

I (wq ) = Sn (wq ), q = 0, 1,..., m,

для возможно большего значения m. В методе Ньютона — Котеса в квадратурной формуле выбираются узлы xk , а определению подлежат веса Ak . В методе Чебышева на веса Ak заранее накладываются некоторые связи [например, Ak = (b - а )/n ], а определению подлежат узлы xk . В методе Гаусса определяются и веса Ak и узлы xk . В методе Маркова j узлов (j < n ) считают заранее известными, а определяют веса и оставшиеся узлы. Точность полученных такими методами квадратурных формул существенно повышается при удачном выборе функций wq (x ).

  Формулы Ньютона — Котеса строятся на основе системы функций wq = xq , q = 0, 1,...; узлы xk разбивают отрезок интегрирования на равные части. Примерами таких формул являются прямоугольников формула , трапеций формула и Симпсона формула .

  Поскольку заменой переменной интегрирование по [а, b ] сводится к интегрированию по отрезку [-1, 1], то для определения весов и узлов элементарных формул на [а, b ] достаточно знать их для отрезка [-1, 1]. В случае составных формул исходный интеграл представляется в виде:

и для вычисления интегралов по отрезкам [ai , ai+1 ] применяются элементарные квадратурные формулы.

  В формулах Гаусса m = 2n — 1, а при а = — 1, b = 1 узлы xk являются корнями Лежандра многочлена Pn (x ) степени n, а

Ak = 2(1 - x2 k )-1 (P’n (xk ))-2

  Квадратурная формула Чебышева существует при Ak = l/n, l = b - а и xk Î [a, b ] лишь для n = 1,..., 7, 9; в ней m = n - 1. Применение равных весов минимизирует вероятностную ошибку, если значения f (x ) содержат независимые случайные ошибки с одинаковой дисперсией.