Красота физики. Постигая устройство природы - Фрэнк Вильчек

Мнимая единица, обозначаемая i, это число, которое в результате умножения на себя дает −1. Или, в виде уравнения, i²= −1. Комплексные числа – это числа вида z = x + iy, где x и y – действительные числа; x называется действительной частью z, а y – мнимой частью.

Комплексные числа можно складывать, вычитать, умножать и делить, подобно тому, как это делается с действительными числами.

Комплексные числа были введены в математику, чтобы уравнения общего вида, включающие суммирование и возведение в степень, – так называемые полиномиальные уравнения – могли иметь решения. Так, например, уравнение z² = −4 не имеет решения в действительных числах, но оно имеет решение z = 2i (и z = −2i). Можно доказать, что комплексные числа в том виде, как мы их определили, полностью пригодны для этой задачи. (Этот результат, так называемая основная теорема алгебры, отнюдь не очевидна и ее доказательство было важным событием в математике.)

Как подсказывает название «мнимые» (и его явное противопоставление термину «действительные»), математики с большим трудом примирились с таким видом чисел. Их «существование» почему-то казалось сомнительным. Лишь несколько смельчаков мудро вняли совету отца Джима Малли – «Более достойно благословения просить прощения, чем разрешения» – и использовали их. Привычка и дальнейшие успехи в конце концов привели к тому, что комплексные числа стали пользоваться большим уважением. Математика XIX в. в большой степени была исследованием ослепительных перспектив того, что комплексные числа могут дать исчислению и геометрии.

В XX в. способ введения новых видов объектов путем cоставления списка их желательных свойств и объявления, что такие объекты существуют, – способ, который был так успешен с комплексными числами, стал обычной рабочей процедурой. Эмми Нётер сыграла большую роль в развитии такого образа мыслей. Если бы Платон узнал о таких изменениях, он, возможно, почувствовал бы себя оправданным, учитывая, что математики полностью приняли его философию и познали радость Идеалов.

(Позволю себе небольшое отступление, которое стоит читать как поэзию. Действительно, идеалы, которые так и называют, являются важным классом математических объектов. Возможно, произведением искусства в чистой математике, сравнимым по глубине и значению с теоремой сохранения, которой мы пели хвалу в основном тексте, является понятие нётерова кольца. Что такое нётерово кольцо? Это кольцо, в котором любая цепь возрастающих идеалов в итоге заканчивается. Конец отступления.)

Другой полезный способ представления комплексного числа заключается в том, чтобы записать его как z = r cos q + ir sin q, где r – это положительное действительное число либо ноль, а q – угол; r называется модулем комплексного числа, а q называется его фазой[104]. Таким образом, либо (x, y), либо (r, q) могут служить координатами комплексных чисел.

В квантовой теории комплексные числа встречаются повсеместно.

Комплексные числа – это божественные числа.

Основные ингредиенты квантовой хромодинамики (КХД), нашей теории сильного взаимодействия, – это кварки и глюоны. Есть огромное количество доказательств (частично описанных в главе «Квантовая красота III») того, что эта теория верна. Но ни кварки, ни глюоны не наблюдаются в виде отдельных частиц. Они обнаруживаются только как составные части более сложных объектов – адронов. Описывая эту ситуацию, мы говорим о конфайнменте (удержании) кварков и глюонов.

Мы можем представить себе попытку освободить («вырвать») кварк из протона либо постепенно, разделяя протон на части пинцетом, либо облучая протон частицами с высокой энергией и разбивая его (протон) таким образом на составные части. Каждая из этих попыток проваливается интересным – и я бы сказал, красивым – образом.

Если мы будем делать это медленно, мы обнаружим, что существует непреодолимая сила, которая тянет кварк обратно внутрь.

Если мы сделаем это быстро, мы получим струи.

Чтобы узнать об этом больше, см. «Квантовая красота III», особенно вторую часть.

Когда мы используем наборы чисел для задания точек в пространстве, мы называем эти числа координатами.

Введение координат связывает понятия счета и количества, которые относятся к работе левого полушария мозга, с понятиями формы и очертаний, которые обрабатываются в правом полушарии. Хотя лежащая в основе этого психология туманна в деталях, нет сомнений, что метод координат помогает разнообразным модулям нашего мозга общаться друг с другом и объединять усилия.

Самый простой, самый базовый пример использования координат – описание прямой с использованием действительных чисел. Чтобы сделать это, нам нужно выполнить три шага:

• Выбрать точку на прямой. (Подойдет любая точка.) Эта выбранная точка будет называться началом координат.

• Выбрать длину. (Можно использовать метры, сантиметры, дюймы, футы, версты, световые годы и т. д.) Эта выбранная длина называется единицей длины. Для определенности выберем метры.

• Выбрать направление на прямой. (Есть всего две возможности.) Это выбранное направление называется положительным направлением.

А теперь, чтобы определить координату точки P, мы измеряем расстояние в метрах между точкой P и началом координат. Это положительное действительное число. Если направление от начала координат до P – положительное направление, то это число и есть координата точки P. Если направление от начала координат до точки P противоположно положительному направлению, то координатой точки P является это число со знаком минус. Координата самого начала координат – это ноль.

Таким способом мы устанавливаем точное соответствие между действительными числами и точками на прямой: каждая точка имеет единственную действительную координату и каждое действительное число – координата единственной точки.

Похожим образом мы можем задать точки на плоскости, используя пары действительных чисел, или точки в модели трехмерного пространства, используя тройки действительных чисел. Мы называем эти числа координатами точек. Также мы можем использовать комплексные числа в качестве координат для описания плоскости. Действительно, представление z = x + iy задает два действительных числа x, y – и, следовательно, точку на плоскости – с помощью одного комплексного числа z.

Конечно, если у нас есть только отрезок прямой, мы все равно можем использовать действительные числа, чтобы задать его точки, но не все действительные числа будут на нем представлены, аналогично и для других случаев.

Опыт построения карт демонстрирует нам, как с помощью подходящей проекции мы можем представить кривые поверхности на плоскости (например, на плоском листе бумаги). Таким образом мы можем использовать координаты для задания точек на искривленных поверхностях.

Базовая идея координат допускает многие вариации и обобщения:

• Мы можем использовать больше чисел! Хотя нам сложно представить больше трех измерений, работать с пятерками или еще большими наборами действительных чисел не сильно сложнее, чем работать с тройками. Таким образом, пространства более высокой размерности оказываются поддающимися осмыслению. См. Измерение.

• Мы можем проделать обратную процедуру! Координаты вводятся для того, чтобы позволить нам описать геометрические объекты с помощью наборов действительных чисел. В то же время в человеческом цветовосприятии мы обнаруживаем, что любой воспринимаемый цвет можно повторить и, что существенно, единственным образом, используя смесь трех базовых цветов, скажем, красного, зеленого и синего. Разные интенсивности красного, зеленого и синего обозначаются тремя положительными действительными числами, и каждая комбинация интенсивностей соответствует своему воспринимаемому цвету. Мы можем интерпретировать эти тройки как координаты трехмерного пространства свойств, а именно – пространства воспринимаемых цветов. Существует много примеров такого общего типа. Пространства, основанные на цветовых зарядах, играют центральную роль в нашей Главной теории.