Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики - Пенроуз Роджер

альтернатива А + i х альтернатива В,

где i — «квадратный корень из минус единицы» (i = √-1), с которым мы уже встречались в главе 3 (в точках на экране с промежуточной интенсивностью освещенности). В сущности любое комплексное число может играть роль коэффициента в «комбинации альтернатив»!

Возможно, читатель уже вспомнил высказанное мной в главе 3 предупреждение о том, что комплексные числа играют «абсолютно фундаментальную роль в структуре квантовой механики». Комплексные числа — не просто математические диковинки. Физиков вынудили обратить на них внимание убедительные и неожиданные экспериментальные факты. Чтобы понять квантовую механику, мы должны поближе познакомиться с языком комплекснозначных весовых коэффициентов. Давайте же рассмотрим, к каким это приводит последствиям.

Амплитуды вероятностей

Выбор фотона в приведенных выше рассуждениях не был продиктован ничем особенным. С тем же успехом для этого подошли бы электроны, любые другие частицы или даже целые атомы. Правила квантовой механики, насколько можно судить, утверждают, что и крикетные шары, и слоны должны вести себя описанным выше странным образом, где различные альтернативные возможности могут каким-то образом образовывать «суммы» состояний с комплексными весами! Однако нам никогда не приходилось реально видеть крикетные шары или слонов в виде столь странных «сумм». Почему? Это трудная и к тому же противоречивая тема, которую я не хотел бы сейчас затрагивать. А пока же мы просто допустим в качестве рабочего правила, что существуют два различных возможных уровня описания физической реальности, которые мы называем квантовым уровнем и классическим уровнем. Мы будем использовать эти странные комбинации состояний с комплекснозначными весами только на квантовом уровне. Крикетные же шары и слоны будут у нас объектами классического уровня.

Квантовый уровень — это уровень молекул, атомов и других субатомных частиц. Обычно считается, что это уровень явлений очень «малого масштаба», но эта «малость» не относится к физическим размерам. Мы увидим, что квантовые эффекты могут происходить на расстояниях многих метров или даже световых лет. Правильнее было бы считать, что нечто принадлежит «квантовому уровню», если это связано лишь с очень малыми изменениями энергии. (В дальнейшем я попытаюсь уточнить, о чем идет речь, главным образом в главе 8,) Классический уровень — это «макроскопический» уровень, о котором мы имеем более непосредственные знания. Это — тот уровень, для которого верны наши обыденные представления о «происходящем», и где можно использовать наше обычное понятие вероятности. Мы увидим, что комплексные числа, которые нам приходится использовать на квантовом уровне, тесно связаны с классическими вероятностями. Но они не тождественны друг другу, и поэтому чтобы освоиться с этими комплексными числа, было бы очень полезно вспомнить для начала, как ведут себя классические вероятности.

Рассмотрим некую неопределенную классическую систему, то есть систему, о которой мы не знаем, в каком из двух альтернативных состояний А или В она находится. Такую систему можно было бы рассматривать как «взвешенную» комбинацию альтернатив А и В:

р х альтернатива А + q х альтернатива В,

где р — вероятность события A, a q — вероятность события В. (Напомним, что вероятность — действительное число, принимающее значение от 0 до 1. Вероятность 1 означает, что событие «заведомо произойдет», а вероятность 0 означает, что событие «заведомо не произойдет».) Если А и В — единственно возможные альтернативы, то сумма их вероятностей должна быть равна 1:

p + q = 1.

Если же существуют и другие возможности, то эта сумма должна быть меньше 1. В этом случае выражение р: q дает отношение вероятности события А к вероятности события В. А сами вероятности событий А и В (при условии, что имеются только эти две альтернативы) были бы равна, соответственно, p/(p + q) и q/(p + q) — Мы можем использовать такую интерпретацию и в том случае, когда сумма р + q больше 1. (Такой способ вычисления вероятностей мог бы быть полезным, например, если бы мы многократно повторяли эксперимент, а р было бы количеством событий A, a q — количеством событий В). Мы будем говорить, что числа р и q нормированы, если р + q = 1, в этом случае они дают сами вероятности, а не только отношения вероятностей.

Подобным образом мы поступаем и в квантовой физике, с тем лишь исключением, что в квантовой физике р и q — комплексные числа, в силу чего я предпочитаю их обозначить ω и z, соответственно:

ω х альтернатива А + z х альтернатива В.

Как же теперь нам истолковать ω и z? Несомненно, что они не являются обычными вероятностями (или отношениями вероятностей), так как каждое из чисел ω и z может по отдельности быть отрицательным или комплексным. Но во многих отношениях они ведут себя подобно вероятностям. Числа той z (при соответствующей нормировке — см. далее) принято называть амплитудами вероятности, или просто амплитудами. Более того, часто используют терминологию, которая наводит на мысль о вероятностях, например: «Существует амплитуда ω того, что произойдет событие А, и амплитуда z того, что произойдет событие В». Амплитуды еще не вероятности, но на миг попытаемся сделать вид, будто они являются вероятностями или, точнее, аналогами вероятностей на квантовом уровне.

Как проявляются обычные вероятности? Полезно представить себе какой-нибудь макроскопический объект, например, шарик, прошедший сквозь одну из двух щелей к стоящему позади экрану (как в описанном выше эксперименте с двумя щелями (см. рис. 6.3), но вместо прежнего фотона теперь фигурирует классический макроскопический шарик). Должна существовать некоторая вероятность P(s, t) того, что отправившись из точки s шарик достигнет верхнего отверстия t, и некоторая вероятность P(s, t) того, что шарик достигнет нижнего отверстия b. Кроме того, если мы выберем некоторую точку р на экране, то должна существовать некоторая вероятность P(t, р) того, что шарик достигнет точки р на экране, пройдя через t, и некоторая вероятность Р(b, р) того, что он что шарик достигнет точки р, пройдя через b. Если открыто только отверстие t, то для того, чтобы найти вероятность того, что шарик действительно достигает точки р, пройдя через отверстие t, мы умножаем вероятность того, что он попадает из точки s в t, на вероятность того, что он попадает из t в точку р:

P(s, t) х P(t, p).

Аналогично, если открыто только нижнее отверстие, то вероятность того, что шарик попадает из s в р, равна