Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. - Дербишир Джон

Пространство такого типа — адельное пространство — и построил Ален Конн в качестве площадки, где может резвиться его риманов оператор. Из-за того что оно адельное, в него, так сказать, встроены все простые числа. Действующие на этом пространстве операторы по необходимости основаны на простых числах. Теперь, я надеюсь, стало немного понятнее, как же можно построить риманов оператор, собственные значения которого являются в точности нетривиальными нулями дзета-функции, а в пространство, на котором он действует, простые числа встроены тем способом, который я пытался описать, но которое при этом имеет отношение к реальным физическим системам — реальным наборам субатомных частиц.

Доказательство Гипотезы Римана (ГР) в этом случае сводится к доказательству определенной следовой формулы — т.е. формулы типа формулы Гутцвиллера, которая связывает собственные значения оператора, действующего на конновском адельном пространстве, с периодическими орбитами в некоторой аналоговой классической системе. Поскольку простые числа уже встроены в одну часть формулы, все должно получиться без труда. Некоторым образом так и происходит, и конструкция Конна элегантна до блеска — уровни энергии в ней суть в точности нули дзета-функции на критической прямой. К сожалению, из нее до сих пор не последовало даже намеков на то, почему же нули дзета-функции не могут оказаться вне критической прямой!

Спектр мнений о ценности построения Конна довольно широк. Вовсе не будучи уверенным, что я сам ее понимаю, я опросил нескольких настоящих математиков, работающих в этой области. Сейчас мне надо продвигаться вперед с крайней осторожностью. Насколько мне известно, Ален Конн, возможно, заявит о доказательстве Гипотезы Римана в тот день, когда эта книга выйдет из печати, и мне не хотелось бы никого вводить в заблуждение. Приведу две цитаты из того, что мне сказали профессионалы:

Математик X: «Колоссально важная работа! Конн не только докажет ГР, но заодно и предложит нам Единую теорию поля!»

Математик Y: «То, что по сути сделал Конн, сводится к замене одной нерешаемой задачи на другую задачу, которая равным образом не решается».

У меня недостаточно подготовки, чтобы выбрать, какая из точек зрения правильна. Но с учетом высокого положения и способностей математиков X и Y я сильно подозреваю, что одна из них наверняка верна…[184]

Разумеется, активно развиваются и другие подходы к ГР. Алгебраический подход с помощью конечных полей, упомянутый в главе 17, никуда не делся. И, как мы мельком видели в разделе V, этот подход демонстрирует интересные связи с физическим направлением исследований ГР. Аналитическая теория чисел также остается активной областью, способной выдавать сильные результаты.

Имеются два непрямых подхода. Например, есть наша теорема 15.2 о функции M, получаемой накапливанием значений мебиусовой функции μ. Эта теорема, как было сказано, в точности эквивалентна Гипотезе. Специалист по аналитической теории чисел Деннис Хеджхал из университета Миннесоты использует этот подход, чтобы познакомить с Гипотезой Римана нематематическую аудиторию и при этом избежать введения комплексных чисел. Вот как, по его словам (я пересказываю, а не цитирую), выражается ГР.

Выпишем все натуральные числа, начиная с 2. Под каждым числом запишем его простые делители. Затем, игнорируя всякое число, среди делителей которого есть квадрат (или любая более высокая степень, которая по необходимости содержит в себе и квадрат), будем двигаться вдоль чисел, отмечая как «орел» каждое число с четным числом простых делителей и как «решку» — с нечетным. Получаем бесконечную строку из орлов и решек — нечто вроде того, что возникает в опыте по подбрасыванию монеты:

Далее, из классической теории вероятностей хорошо известно, чего ожидать от подбрасывания монеты большое число раз N. В среднем будет 1/2N орлов и 1/2N решек. Но, разумеется, далеко не всегда будут получаться в точности эти значения. Предположим, мы вычли число орлов из числа решек (или наоборот, в зависимости оттого, какое из них больше). Что мы ожидаем по поводу величины этого избытка? В среднем это будет √N, т.е. N1/2. Это было известно уже 300 лет назад, во времена Якоба Бернулли. Если подбрасывать «честную» монету миллион раз, то в среднем получится избыток в тысячу орлов (или решек). Может выйти больше или меньше — но в среднем, коль скоро вы продолжаете подбрасывать монету, т.е. при стремлении N к бесконечности, — величина избытка растет в определенном темпе: не быстрее, чем N1/2+ε для любого сколь угодно малого числа ε. Прямо как у нас в теореме 15.2!

На самом деле теорема 15.2, которая эквивалентна ГР, утверждает, что функция M растет точно так же, как избыток в опыте по подбрасыванию монеты. По-другому утверждение теоремы можно выразить так: свободное от квадратов число является орлом или решкой — т.е. имеет четное или нечетное число простых делителей — с вероятностью 50:50. Такое положение дел выглядит довольно правдоподобным и может на самом деле оказаться верным. Если вы сможете доказать, что это утверждение действительно верно, то вы тем самым докажете и ГР.[185]

Менее прямой вероятностный подход касается так называемой «модели Крамера». Харальд Крамер (Cramér), несмотря на букву «é» в своей фамилии, был шведом, причем еще одним служащим страховой компании — актуарием в Svenska Livförsöakringsbolaget[186], но одновременно и талантливым лектором, выступавшим с популярными рассказами о математике и статистике.[187] В 1934 году он опубликовал статью, озаглавленную «О простых числах и вероятности», в которой выдвинул идею, что простые числа распределены настолько случайным образом, насколько это вообще возможно.

Одно из следствий, вытекающее из Теоремы о распределении простых чисел (ТРПЧ), которое было продемонстрировано в главе 3.ix, состоит в том, что в окрестности некоторого большого числа N доля простых чисел составляет ~1/ln N. Например, логарифм триллиона равен 27,6310211…, так что в окрестности триллиона примерно одно из каждых 28 чисел простое. Модель Крамера утверждает, что помимо этого ограничения на среднюю частоту их появления простые числа распределены полностью случайно.

Один из способов понять, что это означает, состоит вот в чем.[188] Представим себе длинный ряд горшков из обожженной глины, на которых написаны натуральные числа: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, … до бесконечности (или до какого-нибудь очень большого числа). В каждый горшок положим некоторое количество деревянных шаров. Число шаров в горшке с номером N должно быть равно ln N (или ближайшему целому числу). Таким образом, первые несколько горшков содержат 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, … этих шаров. Более того, в каждом горшке должен быть по крайней мере один черный шар; все остальные шары в каждом горшке белые. Следовательно, в горшках с написанными на них числами 2, 3 и 4 имеется только черный шар; в горшках с числами от 5 до 12 лежит один черный и один белый; в горшках с 13 по 33 — один черный и два белых и т.д.

Теперь возьмем планшет и большой (желательно бесконечный) лист бумаги и отправимся на прогулку вдоль ряда из горшков. Случайным образом вытащим по шару из каждого горшка. Если это черный шар, запишем номер данного горшка. В конце такой прогулки у нас получится длинный список, начинающийся как 2, 3, 4, …. Шансы, что в списке окажется число 5, распределены как 50:50, поскольку в горшке 5 имеется один белый шар и один черный. Шанс, что там будет число 1 000 000 000 000, — один из 28.