Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров - РАЛЬФ РАЛЬФ ВИНС

Х = 2 * (Общее число выигрышей) * (Общее число проигрышей).

B) Общее число серий в последовательности, т.е. R.

2. Предположим, что произошли следующие сделки:

-3, +2, +7, -4, +1, -1, +1, +6, -1, 0, -2, +1.

Чистая прибыль составляет +7. Общее число сделок 12, поэтому N = 12. Теперь нас интересует не то, насколько велики выигрыши и проигрыши, а то, сколько было выигрышей и проигрышей, а также серий. Поэтому мы можем переделать наш ряд сделок в простую последовательность плюсов и минусов. Отметьте, что сделка с нулевой прибылью считается проигрышем. Таким образом:

- + + - +-++---+

Как видно, последовательность состоит из 6 прибылей и 6 убытков, поэтому X =2 * 6 * 6 = 72. В последовательности есть 8 серий, поэтому R = 8. Мы называ­ем серией каждое изменение символа, которое встречается при чтении последова­тельности слева направо (т.е. хронологически).

1. Последовательность будет выглядеть следующим образом:- + + - +-++---+ т.е. 1 2 3 4 5 6 7 8

2. Вычислите значение выражения:

N*(R-0,5)-X Для нашего примера:

12* (8 -0, 5) -72

12*7,5-72

90 - 72

18

3. Вычислите значение выражения:

(X*(X-N))/(N-1) Для нашего примера:

(72* (72-12))/(12-1)

(72* 60)/11

4320/11

392,727272

4. Возьмите квадратный корень числа, полученного в пункте 3. В нашем примере:

392,727272 ^(1/2) = 19,81734777

5. Разделите ответ из пункта 2 на ответ из пункта 4. Это и есть счет Z. В нашем примере:

18/19,81734777 = 0,9082951063

6. Теперь преобразуйте ваш счет Z в доверительную границу. Распределение периодов является биномиальным распределением. Однако когда рассмат­риваются 30 или больше сделок, мы можем использовать нормальное рас­пределение, как близкое к биномиальному. Таким образом, если вы исполь­зуете 30 или более сделок, вы просто можете преобразовать ваш счет Z в до­верительную границу, основываясь на уравнении (3.22) для нормального распределения.

Серийный тест подскажет вам, содержит ли ваша последовательность выигры­шей и проигрышей больше или меньше полос (серий выигрышей или проигры­шей), чем можно было бы ожидать от действительно случайной последовательно­сти, в которой нет зависимости между испытаниями. Так как в нашем случае мы находимся на уровне относительно низкой доверительной границы, то можно допустить, что между сделками в этой последовательности нет зависимости.

Если счет Z имеет отрицательное значение, то при расчете доверительной гра­ницы просто возьмите его абсолютное значение. Отрицательный счет Z говорит о положительной зависимости, то есть полос меньше, чем при нормальном распре­делении вероятности, и следовательно, выигрыши порождают выигрыши, а про­игрыши порождают проигрыши. Положительный счет Z говорит об отрицатель­ной зависимости, то есть полос больше, чем при нормальном распределении ве­роятности, и следовательно, выигрыши порождают проигрыши, а проигрыши порождают выигрыши.

Какой уровень доверительной границы считать приемлемым? Статистики, как правило, рекомендуют доверительную границу не менее 90%. Некоторые рекомендуют доверительную границу свыше 99%, чтобы быть уверенными, что за­висимость существует, другие рекомендуют менее строгий минимум 95,45% (2 стандартных отклонения).

Очень редко система демонстрирует доверительную границу свыше 95,45%, чаще всего она менее 90%. Даже если вы найдете систему с доверительной гра­ницей от 90 до 95,45, это не будет золотым самородком. Чтобы убедиться в зави­симости, на которой можно хорошо заработать, вам нужно как мини­мум 95,45%. Пока зависимость находится на приемлемой доверительной границе, вы мо­жете изменить систему, чтобы улучшить торговые решения, даже если вы не по­нимаете основной причины зависимости. Если вы узнаете причину, то сможете оценить, когда зависимость действовала, а когда нет, а также когда можно ожи­дать изменение степени зависимости. До настоящего момента мы смотрели на зависимость только с точки зрения того, была ли последняя сделка выигрышем или проигрышем. Теперь мы попыта­емся определить, есть ли в последовательности выигрышей и проигрышей зави­симость или нет. Серийный тест на наличие зависимости автоматически прини­мает в расчет процент выигрышей и проигрышей. Однако серийный тест по пе­риодам выигрышей и проигрышей учитывает последовательность выигрышей и проигрышей, но не их размер. Для того чтобы получить истинную независи­мость, не только сама последовательность выигрышей и проигрышей должна быть независимой, но и размеры выигрышей и проигрышей в последовательнос­ти также должны быть независимыми. Выигрыши и проигрыши могут быть неза­висимыми, однако их размеры могут зависеть от результатов предыдущей сделки (или наоборот). Возможным решением является проведение серийного теста только с выигрышными сделками. При этом полосы выигрышей следует разде­лить на длинные (по сравнению со средним значением распределения вероятнос­ти) и менее длинные. Только затем надо искать зависимость между размером вы­игрышных сделок, после этого необходимо провести ту же процедуру с проиг­рышными сделками.

Корреляция

Есть другой, и, может быть, лучший способ определения зависимости между раз­мерами выигрышей и проигрышей. Этот метод позволяет рассмотреть размеры выигрышей и проигрышей с совершенно другой стороны, и когда он использует­ся вместе с серийным f тестом, то взаимосвязь сделок измеряется с большей глуби­ной. Для количественной оценки зависимости или независимости данный метод использует коэффициент линейной корреляции г, который иногда называют пирсоновским r. Посмотрите на рисунок 1-2. На нем изображены две абсолютно коррелиро­ванные последовательности. Мы называем это положительной корреляцией.

Рисунок 1-2 Положительная корреляция (r =1,00)

Рисунок 1-3 Отрицательная корреляция (r = -1,00)

Теперь посмотрите на рисунок 1-3. Он показывает две последовательности, которые находятся точно в противофазе. Когда одна линия идет вверх, другая следует вниз (и наоборот). Мы называем это отрицательной корреляцией.

Формула для коэффициента линейной корреляции г двух последовательностей Х и Y такова (черта над переменной обозначает среднее арифметическое значение):

Расчет следует производить следующим образом:

1. Вычислите среднее Х и Y (т.е. X и Y )•

2. Для каждого периода найдите разность между Х и средним X, а также Y и средним Y.

3. Теперь рассчитайте числитель. Для этого для каждого периода пере­множьте ответы из шага 2, другими словами, для каждого периода ум­ножьте разность между Х и средним X, на разность между Y и средним Y.

4. Сложите результаты, полученные в шаге 3, за все периоды. Это и есть числитель.

5. Теперь найдите знаменатель. Для этого возьмите результаты шага 2 для каждого периода, как для разностей X, так и для разностей Y, и возве­дите их в квадрат (теперь они будут положительными значениями).

6. Сложите возведенные в квадрат разности Х за все периоды. Проделайте ту же операцию с возведенными в квадрат разностями Y.

7. Извлеките квадратный корень из суммы возведенных в квадрат разно­стей X, которые найдены в шаге 6. Теперь проделайте то же с Y, взяв квадратный корень суммы возведенных в квадрат разностей Y.

8. Умножьте два результата, которые вы нашли в шаге 7, то есть умножьте квад­ратный корень суммы возведенных в квадрат разностей Х на квадратный корень суммы возведенных в квадрат разностей Y. Это и есть знаменатель.

9. Разделите числитель, который вы нашли в шаге 4, на знаменатель, кото­рый вы нашли в шаге 8. Это и будет коэффициент линейной корреляции г.

Значение г всегда будет между +1,00 и -1,00. Значение 0 указывает, что корре­ляции нет.

Теперь посмотрите на рисунок 1-4. Он представляет следующую последова­тельность из 21 сделки:

Чтобы понять, есть ли какая-либо зависимость между предыдущей и текущей сделкой, мы можем использовать коэффициент линейной корреляции. Для зна­чений Х в формуле для г возьмем P&L по каждой сделке. Для значений Y в фор­муле для г возьмем ту же самую последовательность P&L, только смещенную на одну сделку. Другими словами, значение Y — это предыдущее значение X. (См. рисунок 1-5.).

Рисунок 1-4 Отдельные результаты 21 сделки

Рисунок 1-5 Отдельные результаты 21 сделки, сдвинутые на 1 сделку

Средние значения различаются, потому что вы усредняете только те Х и Y, кото­рые частично перекрывают друг друга, поэтому последнее значение Y (3) не вносит вклад в среднее Y, а первое значение Х (1) не вносит вклад в среднее X. Числитель является суммой всех значений из столбца Е (0,8). Чтобы найти знаменатель, мы извлечем квадратный корень из итогового значения столбца F, то есть 8,555699, затем извлечем квадратный корень из итогового значения столб­ца G, то есть 8,258329, и перемножим их, что даст в результате 70,65578. Теперь разделим числитель 0,8 на знаменатель 70,65578 и получим 0,011322. Это наш ко­эффициент линейной корреляции г. В данном случае коэффициент линейной корреляции 0,011322 едва ли о чем-то говорит, но для многих торговых систем он может достигать больших значений. Высокая положительная корреляция (по крайней мере, 0,25) говорит о том, что большие выигрыши редко сменяются большими проигрышами, и наоборот. Отрицательные значения коэффициента корреляции (между -0,25 и -0,30) подразумевают, что после больших проигрышей следуют большие выигрыши, и наоборот. Для заданного количества сделок с по­мощью метода, известного как «Трансформация Z Фишера», коэффициент корре­ляции можно преобразовать в доверительный уровень. Эта тема рассматривается в приложении С. Отрицательную корреляцию так же, как и положительную, можно использовать в своих интересах. Например, если обнаружена отрицатель­ная корреляция и система показала большой проигрыш, то в следующей сделке можно ожидать большой выигрыш и таким образом открыть больше контрактов, чем обычно. Если и эта сделка принесет убыток, то он не должен быть очень боль­шим (из-за отрицательной корреляции).