Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров - РАЛЬФ РАЛЬФ ВИНС

Таким образом, мы можем сказать, что существует некий делитель (число между 0 и 1) наибольшего предполагаемого убытка для определения количества контрактов. Например, если при счете в 50 000 долларов вы ожидаете, в худшем случае, убыток 5000 долларов на контракт, и открыто 5 контрактов, то делителем будет 0,5, так как:

50 000/(5000/0,5) =5

Другими словами, у вас есть 5 контрактов на счет в 50 000 долларов, т. е. 1 кон­тракт на каждые 10000 долларов баланса. Вы ожидаете в худшем случае потерять 5000 долларов на контракт, таким образом, вашим делителем будет 0,5. Если бы у вас был один контракт, то делителем в этом случае было бы число 0,1, так как:

50 000/(5000/0,1)=1

Этот делитель мы назовем переменной f. Таким образом, сознательно или подсоз­нательно при любой сделке вы выбираете значение f, когда решаете, сколько кон­трактов или акций приобрести.

Теперь посмотрите на рисунок 1-1. На нем представлена игра, где у вас 50% шансов выиграть 2 доллара против 50% шансов потерять 1 доллар в каждой игре. Отметьте, что здесь оптимальное f составляет 0,25, когда TWR составляет 10,55 после 40 ставок (20 последовательностей +2, -1). TWR — это «относитель­ный конечный капитал» (Terminal Wealth Relative), он представляет доход по ва­шим ставкам в виде множителя. TWR = 10,55 означает, что вы увеличили бы в 10,55 раз ваш первоначальный счет, или получили бы 955% прибыли. Теперь посмотрите, что произойдет, если вы отклонитесь всего лишь на 0,15 от опти­мального f= 0,25. Когда f равно 0,1 или 0,4, ваш TWR = 4,66. Это не составляет даже половины того, что будет при 0,25, причем вы отошли только на 0,15 от оп­тимального значения и сделали только 40 ставок!

О какой сумме в долларах мы говорим? При f = 0,1 вы ставите 1 доллар на каж­дые 10 долларов на счете. При f= 0,4 вы ставите 1 доллар на каждые 2,50 долларов на счете. В обоих случаях мы получаем TWR = 4,66. При f= 0,25 вы ставите 1 дол­лар на каждые 4 доллара на счете. Отметьте, что если вы ставите 1 доллар на каж­дые 4 доллара на счете, то выигрываете в два раза больше после 40 ставок, чем в случае ставки одного доллара на каждые 2,50 доллара на вашем счете! Очевидно, что не стоит излишне увеличивать ставку. При ставке 1 доллар на каждые 2,50 доллара вы получите тот же результат, что и в случае ставки четверти этой суммы, то есть 1 доллар на каждые 10 долларов на вашем счете! Отметьте, что в игре 50/50, где вы выигрываете вдвое больше, чем проигрываете, при f= 0,5 вы только «оста­етесь при своих»! При f больше 0,5 вы проигрываете в этой игре, и теперь оконча­тельное разорение — это просто вопрос времени! Другими словами, если f (в игре 50/50, 2:1) на 0,25 отклоняется от оптимального, вы будете банкротом с вероят­ностью, которая приближается к определенности, если продолжать играть доста­точно долго. Таким образом, нашей целью будет объективный поиск пика кривой f для данной торговой системы.

0,05 0,15 0,25 0,35 0,45 0,55 0,65 0,75 значения f

Рисунок 1-1 20 последовательностей +2, -1

В этой книге определенные концепции освещаются с позиции азартных игр. Основное отличие азартной игры от спекуляции заключается в том, что азар­тная игра создает риск (и отсюда многие настроены против нее), в то время как спекуляция является переходом уже существующего риска (предположи­тельного) от одной стороны к другой. Иллюстрации азартных игр использу­ются для наглядного примера излагаемых концепций. Математика управления капиталом и принципы, используемые в торговле и азартных играх, доволь­но похожи. Основная разница состоит в том, что в математике азартных игр мы обычно имеем дело с бернуллиевыми результатами (только два возмож­ных исхода), в то время как в торговле мы сталкиваемся со всем распределе­нием результатов, которые только могут быть в реальной сделке.

Основные концепции

Вероятность задается числом от 0 и 1, которое определяет, насколько вероятен ре­зультат, где 0 — это полное отсутствие вероятности происхождения определенного события, а 1 означает, что рассматриваемое событие определенно произойдет. Про­цесс независимых испытаний (отбор с замещением) является последовательностью результатов, где значение вероятности постоянно от одного события к другому Бросок монеты является примером такого процесса. Каждый бросок имеет вероят­ность 50/50 независимо от результата предыдущего броска. Даже если последние 5 раз выпадал орел, вероятность того, что при следующем броске выпадет орел, все равно не изменяется и составляет 0,5.

Другой тип случайного процесса характеризуется тем, что результат предыду­щих событий влияет на значение вероятности, и, таким образом, значение веро­ятности непостоянно от одного события к другому Эти виды событий называют­ся процессами зависимых испытаний (отбор без замещения). Игра «21 очко» являет­ся примером такого процесса. После того как вытаскивают карту, состав колоды изменяется. Допустим, что новая колода перемешивается и одна карта удалена, скажем, бубновый туз. До удаления этой карты вероятность вытянуть туза была 4/52, или 0,07692307692. Теперь, когда туза вытащили из колоды и не вернули об­ратно, вероятность вытянуть туза при следующем ходе составляет 3/51, или 0,05882352941.

Различие между независимыми и зависимыми испытаниями состоит в том, что вероятность или фиксирована (независимые попытки), или меняется (зависимые попытки) от одного события к другому, в зависимости от предыдущих результатов. Фактически это и есть единственное различие.

Серийный тест

Когда в случае с колодой карт мы проводим отбор без замещения, можно путем проверки определить, существует ли зависимость. Для определенных событий (таких, как поток прибыли и убытков по сделкам), где зависимость не может быть определена путем проверки, мы будем использовать серийный тест. Серий­ный тест подскажет нам, имеет ли наша система больше (или меньше) периодов последовательных выигрышей и проигрышей, чем случайное распределение.

Цель серийного теста — найти счет Z для периодов выигрышей и проигрышей в системной торговлеe. Счет Z означает, на сколько стандартных отклонений вы удалены от среднего значения распределения. Таким образом, счет Z = 2,00 озна­чает, что вы на 2,00 стандартных отклонения удалились от среднего значения (ожидание случайного распределения периодов выигрышей и проигрышей).

Счет Z — это просто число стандартных отклонений, на которое данные отстоят от среднего значения нормального распределения вероятности. Например, счет Z

в 1,00 означает, что данные, которые вы тестируете, отклонены на 1 стандартное отклонение от среднего значения.

Счет Z затем переводится в доверительную границу, которая иногда также на­зывается степенью достоверности. Площадь под кривой нормального распреде­ления вероятности шириной в 1 стандартное отклонение с каждой стороны от среднего значения равна 68% всей площади под этой кривой. Преобразуем счет Z в доверительную границу. Связь счета Z и доверительной границы следующая: счет Z является числом стандартных отклонений от среднего значения, а довери­тельная граница является долей площади под кривой, заполненной при таком числе стандартных отклонений.

При минимальном количестве 30 закрытых сделок мы можем рассчитать счет Z. Попытаемся узнать, сколько периодов выигрышей (проигрышей) можно ожи­дать от данной системы? Соответствуют ли периоды выигрыша (проигрыша) тес­тируемой системы ожидаемым? Если нет, существует ли достаточно высокая до­верительная граница, чтобы допустить, что между сделками существует зависи­мость, т.е. зависит ли результат текущей сделки от результата предыдущих сделок? Ниже приведено уравнение серийного теста. Счет Z для торговой системы равен:

(1.1) Z=(N*(R-0,5)-Х)/((Х*(Х-N))/(N-1))^(1/2), где

N = общее число сделок в последовательности;

R = общее число серий выигрышных или проигрышных сделок;

X=2*W*L;

W = общее число выигрышных сделок в последовательности;

L = общее число проигрышных сделок в последовательности.

Этот расчет можно провести следующим образом:

1. Возьмите данные по вашим сделкам:

A) Общее число сделок, т.е. N.

Б) Общее число выигрышных сделок и общее число проигрышных сделок.

Теперь рассчитайте X.

Х = 2 * (Общее число выигрышей) * (Общее число проигрышей).

B) Общее число серий в последовательности, т.е. R.

2. Предположим, что произошли следующие сделки:

-3, +2, +7, -4, +1, -1, +1, +6, -1, 0, -2, +1.

Чистая прибыль составляет +7. Общее число сделок 12, поэтому N = 12. Теперь нас интересует не то, насколько велики выигрыши и проигрыши, а то, сколько было выигрышей и проигрышей, а также серий. Поэтому мы можем переделать наш ряд сделок в простую последовательность плюсов и минусов. Отметьте, что сделка с нулевой прибылью считается проигрышем. Таким образом: