Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики - Пенроуз Роджер

Первое уравнение[116] связывает изменения электрического поля с текущими значениями магнитного поля и электрического тока; тогда как второе, наоборот, описывает изменения магнитного поля в зависимости от величины электрического поля. Третье уравнение, грубо говоря, представляет собой закодированную форму закона обратных квадратов, показывающую, как электрическое поле (в данный момент времени) должно быть связано с распределением зарядов. Что же касается четвертого уравнения, то оно говорит то же самое о магнитном поле (с той лишь разницей, что «магнитные заряды» — отдельные «северные» и «южные» полюсы частиц — не существуют).

Уравнения Максвелла несколько напоминают уравнения Гамильтона тем, что определяют скорость изменения по времени соответствующих величин (электрического и магнитного полей) в зависимости от их текущих значений в любой заданный момент времени. Следовательно, уравнения Максвелла являются по сути детерминистскими — точно так же, как и система уравнений в обычной гамильтоновой теории. Единственное (хотя и важное) различие состоит в том, что уравнения Максвелла полевые, а не корпускулярные. Это означает, что для описания состояния такой системы необходимо бесконечно много параметров (векторы поля в каждой точке пространства) вместо всего лишь конечного числа параметров (трех координат положения и трех компонент импульса каждой частицы) в корпускулярной теории. Таким образом, фазовое пространство в теории Максвелла бесконечномерно! (Как я уже упоминал выше, уравнения Максвелла в действительности могут быть включены в общую гамильтонову схему, но из-за их бесконечномерности гамильтонову схему перед этим необходимо слегка обобщить[117].)

Принципиально новой составляющей в той картине нашего физического мира, которая выстраивалась на основе теории Максвелла (помимо и сверх того, что было известно ранее), стала необходимость рассматривать поля уже не как математические придатки к «реальным» частицам, или корпускулам, в ньютоновской теории — но как самостоятельно существующие объекты. Действительно, Максвелл показал, что когда поля распространяются в виде электромагнитных волн, они переносят с собой определенное количество энергии. Ему удалось получить даже явное выражение для этой энергии. То есть оказалось, что энергию, на самом деле, могли переносить с места на место «нематериальные» электромагнитные волны. Этот факт был экспериментально подтвержден Герцем, сумевшим зарегистрировать электромагнитные волны. То, что радиоволны действительно могут переносить энергию, до сих пор представляется удивительным даже тем, кто в той или иной степени знаком с этим феноменом!

Вычислимость и волновое уравнение

Непосредственно из своих уравнений Максвелл сумел вывести, что в областях пространства, где нет ни зарядов, ни токов (т. е. там, где в приведенных выше уравнениях j = 0, ρ = 0) все компоненты электрического и магнитного полей должны удовлетворять так называемому волновому уравнению.[118] Волновое уравнение можно рассматривать как «упрощенный вариант» уравнений Максвелла, так как оно записано для одной-единственной величины, а не для всех шести компонент электрического и магнитного полей. Решения уравнения Даламбера дают пример волнообразного движения без дополнительных усложняющих свойств наподобие «поляризации» в теории Максвелла (направления вектора электрического поля, см. гл. 6 «Спин фотона»).

Волновое уравнение представляет сейчас для нас тем больший интерес, что оно было предметом целенаправленного изучения именно в связи с его свойствами вычислимости. Действительно, Мариану Б. Пур-Элю и Яну Ричардсу (Пур-Эль, Ричардс [1979, 1981, 1982], см. также [1989]) удалось показать, что, даже несмотря на детерминистское (в обычиом смысле) поведение решения волнового уравнения — при котором данные в начальный момент времени однозначно определяют решение во все остальные моменты времени — существуют вычислимые начальные данные некоего «особого» рода, обладающие тем свойством, что для них однозначно рассчитать значения поля в более поздний (вычислимый) момент времени — невозможно. Таким образом, уравнения вполне допустимой физической теории поля (хотя и отличающейся от теории Максвелла, которая действительно «работает» в нашем мире) могут, согласно Пур-Элю и Ричардсу, породить невычислимую эволюцию!

На первый взгляд это кажется весьма удивительным результатом, который вроде бы противоречит тому, о чем я говорил в предыдущем разделе относительно возможной вычислимости «разумных» гамильтоновых систем. Однако, несмотря на то, что поразительный результат Пур-Эля — Ричардса исполнен, несомненно, глубокого математического смысла, он все же не противоречит высказанной выше гипотезе — причем по причине, имеющей глубокий физический смысл. Причина же эта состоит в том, что начальные условия «особого» рода не относятся к «плавно изменяющимся»[119], а именно это свойство обычно требуется от каждого поля, имеющего физический смысл. Пур-Эль и Ричардс в действительности доказали, что невычислимость не может возникнуть в случае волнового уравнения, если мы не будем рассматривать поля «особого» рода. С другой стороны, даже если бы такие поля считались допустимыми, было бы трудно понять, как может использовать подобную «невычислимость» любое физическое «устройство» (например, головной мозг человека)? Она могла бы иметь существенное значение только при наличии возможности производить измерения со сколь угодно высокой степенью точности (которые, как я объяснял выше, нереальны с физической точки зрения). Тем не менее, результаты Пур-Эля— Ричардса открывают интригующую область знания, которая до сих пор остается практически нетронутой.

Уравнение движения Лоренца; убегающие частицы

Система уравнений Максвелла в том виде, как мы ее выписали, не является, на деле, полной. Эти уравнения великолепным образом описывают распространение электрических и магнитных полей при наличии заданного распределения электрических зарядов и токов. Эти заряды физически нам даны в виде заряженных частиц — в основном, электронов и протонов, как нам сейчас известно — а токи порождаются движением этих частиц. Если мы знаем, где находятся заряженные частицы и как они движутся, то уравнения Максвелла позволяют определить поведение электромагнитного поля. Но вот что уравнения Максвелла нам не говорят — это как должны себя вести сами частицы. Частичный ответ на этот вопрос был известен еще во времена Максвелла, но удовлетворительной системы уравнений не было до тех пор, пока в 1895 году замечательный голландский физик Хендрик Антон Лоренц, воспользовавшись идеями, близкими к идеям специальной теории относительности, не вывел уравнения движения заряженной частицы, известные ныне как уравнения Лоренца (см. Уиттекер [1910]). Эти уравнения позволяют описывать непрерывные изменения скорости заряженной частицы под действием электрического и магнитного полей в той точке, где она в данный момент находится[120]. Присоединив уравнения Лоренца к уравнениям Максвелла, мы получаем систему уравнений, описывающих эволюцию во времени и заряженных частиц, и электромагнитного поля.

Но эта система уравнений, в свою очередь, тоже не безукоризненна. Она дает превосходные результаты, если поля однородны вплоть до масштабов порядка диаметра самих частиц (за единицу измерения диаметра принимается «классический радиус» электрона — около 10-15 м), а движения частиц не слишком интенсивны. Однако здесь имеется принципиальная трудность, обойти которую при других обстоятельствах становится невозможно. Дело в том, что уравнения Лоренца подразумевают измерения электромагнитного поля в той самой точке, где находится заряженная частица (по существу, такое измерение должно дать нам значение «силы», действующей в этой точке со стороны электромагнитного поля на нашу частицу). Но где следует выбирать эту точку, если частица имеет конечные размеры? Следует ли принять за нужную точку «центр» частицы, или поле («силу») необходимо усреднить по всем точкам поверхности частицы? Если поле неоднородно в масштабе порядка размера частицы, то разный выбор точки может привести к отличающимся результатам. Есть и другая, более серьезная проблема: каково на самом деле электромагнитное поле на поверхности частицы (или в ее центре)? Напомним, что мы рассматриваем заряженную частицу. Следовательно, электромагнитное поле, обусловленное самой частицей, необходимо добавить к «фоновому полю», в котором находится частица. Вблизи самой «поверхности» частицы ее собственное поле становится чрезвычайно интенсивным и легко поглощает все остальные поля в окрестности частицы. Кроме того, собственное поле частицы всюду вокруг нее направлено преимущественно наружу (или вовнутрь), вследствие чего результирующее истинное поле, на которое по предположению реагирует частица, вовсе не однородно, а в каждой точке на «поверхности» частицы направлено в свою сторону, не говоря уже о «внутренности» частицы (рис. 5.15).