У интуиции есть своя логика. Гёдель. Теоремы о неполноте. - Gustavo Pineiro

Открытие противоречивости теории множеств развязало кризис оснований математики. Если такая невинная с виду аксиома выделения порождает противоречие, чего ждать от теории Кантора с актуальной бесконечностью и «бесконечностями, которые больше, чем другие бесконечности»? Положение осложнялось тем, что теория Кантора уже проникла в основные области математики, такие как анализ и топология.

В 1904 году британский философ и математик Бертран Рассел (1872-1970) представил популярную версию своего парадокса. Он предложил представить себе, что в некой деревне есть только один брадобрей, бреющий всех мужчин, которые не бреются сами. Но бреет ли он сам себя? Ответ в том, что брадобрей не может бриться сам, но также не может и не делать этого.

Из-за открытия Рассела математики задались вопросом о справедливости всех математических открытий по меньшей мере за 30 предыдущих лет. Они начали сомневаться в справедливости любого рассуждения, включающего в себя бесконечность, и даже задавали вопросы о смысле и значении математики. Каков конкретно объект изучения математики? Какие критерии подтверждают справедливость ее рассуждений?

Сам Фреге почувствовал, что открытие Рассела разрушает всю его работу. Во второй том своих «Основных законов...» он добавил следующие слова:

«Ученому сложно встретиться с чем-то более нежелательным, чем увидеть, как подрывается фундамент, когда работа уже заканчивается. Таково положение, в которое меня поставило письмо господина Бертрана Рассела, когда работа была уже почти напечатана».

Сразу после этого Фреге оставил борьбу и сдался. Он прожил до 1925 года, но никогда больше не вернулся к теме оснований.

Какую реакцию вызвало открытие парадокса Рассела? С самого начала было предложено два решения. Первая попытка принадлежит самому Расселу и выражена в монументальной работе «Основания математики», которую он написал вместе со своим учителем Альфредом Уайтхедом.

Предложение Рассела, которое получило название «логицизм», состояло в том, чтобы вернуться к работе Фреге, но перечислить ошибки, приведшие к кризису. Рассел говорил, что любой парадокс возникает от наличия самореференции. Например, знаменитый парадокс лжеца, который возникает, когда встает вопрос, является фраза «это предложение ложно» истинной или ложной. Он рождается из-за анализа фразы, в которой говорится о ней же. Сам парадокс Рассела возникает из вопроса о том, выполняет ли некое множество свойство, определяющее само множество.

Во избежание этих ситуаций логицизм предлагает радикальное изменение логического языка с помощью теории типов. Общая идея заключается в том, чтобы назначить языку математики строгую иерархию, в которой каждое утверждение может относиться только к сущностям или утверждениям, расположенным на более низких уровнях. Таким образом, сама структура языка избегает самореференций и, следовательно, парадоксов.

На нулевом уровне иерархии находятся индивиды; на уровне 1 — утверждения, в которых говорится об индивидах; на уровне 2 — утверждения, в которых говорится об утверждениях типа 1, и так далее. Например:

1, 2,3, 4,... (индивиды, тип 0);

«2 + 2 = 4» (утверждение типа 1, в котором говорится об индивидах);

«Верно, что 2 + 2 = 4» (утверждение типа 2, в котором говорится о предыдущем).

Однако по техническим причинам Рассел был вынужден усложнить свою стратификацию и ввести произвольные и неинтуитивные правила. Вследствие этого система потеряла убедительность, и Рассел в итоге оставил ее. Хотя некоторые элементы, введенные логицизмом, дошли до наших дней, к 1920 году влияние этой школы практически исчезло.

Второе решение стало известно как интуиционизм, или конструктивизм, и его лидером был нидерландский математик Лёйтзен Эгберт Ян Брауэр (1881-1966).

Решение задач, которые до этого времени окружали математическую бесконечность, — возможно, самое большое из достижений, которыми может гордиться наша эпоха.

Бертран Рассел, 1910 год

Интуиционисты утверждали, что появление парадоксов напрямую обязано введению понятия актуальной бесконечности и это понятие, как утверждали еще Аристотель и Галилей, противоречиво само по себе. Вся теория Кантора не имеет смысла и должна быть оставлена, а математика — в том, что касается бесконечности, — должна вернуться к положению, существовавшему до 1870 года.

Основой математики должны быть натуральные числа и операции с ними — сложение и умножение. Эти числа не нуждаются в определении, поскольку понятие о них априори заложено в нашем сознании. Числа должны пониматься не как законченная бесконечная совокупность, а как результат непрерывного процесса (упомянутый ранее пример с народом), который начинался с числа 1 и продолжался неопределенное время за счет применения понятия последующего элемента (1 — первый элемент, 2 — элемент, следующий за 1, 3 — элемент, следующий за 2, и так далее).

Для утверждения о том, что существует математический объект, отличный от натуральных чисел, необходимо, чтобы его можно было построить за конечное число шагов на основе натуральных чисел с помощью строго определенной процедуры. Объекта, который невозможно построить таким образом, просто не существует. В некотором смысле интуиционисты возвращались к идее, содержащейся в сентенции Леопольда Кронекера: «Бог создал целые числа, все остальное — дело рук человека».

Лёйтзен Эгберт Ян Брауэр родился в Роттердаме, Голландия, 27 февраля 1881 года, за два года до публикации статьи Кантора, в которой впервые была введена в математику актуальная бесконечность. В1904 году, сразу после окончания университета, Брауэр доказал несколько оригинальных результатов о непрерывном движении в четырех измерениях, которые были опубликованы Амстердамской королевской академией наук. В его докторской диссертации, опубликованной в 1907 году, речь шла о проблеме оснований математики. В этой работе он ввел первые понятия об интуиционизме. Также ученый внес значительный вклад в топологию, где доказал знаменитую теорему о неподвижной точке, носящую его имя. Что любопытно, доказательство этой теоремы не выполняет интуиционистских стандартов. В1935 году Брауэр занялся политикой и практически отдалился от математических исследований, хотя в том же году основал журнал Compositio Mathematica и продолжал деятельность в качестве его издателя. Брауэр скончался 2 декабря 1966 года в Бларикюме (Голландия) в результате автокатастрофы.

С другой стороны, согласно интуиционистам, для того чтобы определение свойства было справедливым, должна существовать механическая процедура (которую можно реализовать на компьютере, поскольку алгоритм — это не что иное, как последовательность действий), и с ее помощью можно проверить, выполняется ли свойство. Например, свойство «быть простым числом» для интуиционистов справедливо, поскольку его всегда можно проверить за конечное количество шагов. Чтобы узнать, является ли число 17677 простым, достаточно разделить его на все числа, меньшие его. Если во всех случаях деления есть остаток, то число простое. Процедура, которую мы описали, не самая лучшая (есть более быстрые методы), но она всегда дает правильный ответ за конечное количество шагов.

Чтобы рассмотреть пример свойства, не принимаемого интуиционистами, определим число р, используя знаки числа π = 3,14159265... (которое, как мы знаем, является иррациональным, то есть имеет бесконечное непериодическое количество знаков после запятой). Число р определяется следующим образом: если среди знаков числа π появится хотя бы одна последовательность ровно из 15 нулей подряд, то р — это цифра (отличная от нуля), следующая после первого появления этих нулей. Если никогда не появятся 15 нулей подряд, то р равно 0. Отметим, что среди знаков числа π, вычисленных на сегодняшний день, последовательность из 15 нулей еще не появилась.

Существует ли число р? Чему оно равно? В 1900 году Гильберт написал, что если мы определим математический объект и это определение не противоречит само себе, то мы можем утверждать, что объект существует.

Почти любой современный математик ответит, что р существует. Более того, все они согласятся, что хотя мы не знаем точно, чему оно равно, можно утверждать: это число от 0 до 9. Именно в тот момент, когда мы узнаем, появится или не появится эта последовательность из 15 нулей в числе π, мы узнаем точное значение р. Однако для интуиционистской философии р не существует, поскольку оно определено на основе свойства, которое невозможно проверить за конечное количество шагов, так как у числа π бесконечное количество знаков после запятой, и для проверки требуется просмотреть их все. Если бы среди знаков числа π, вычисленных до сих пор, появилось 15 нулей подряд, то р существовало бы и мы знали бы его точное значение. Более того, если в будущем эти 15 нулей кто-то найдет, в тот же момент р начнет существовать.