У интуиции есть своя логика. Гёдель. Теоремы о неполноте. - Gustavo Pineiro

Но именно в том месте и в то время, когда математики собрались, чтобы прийти к согласию о надежных методах рассуждений, Курт Гёдель поднял руку и попросил слова, чтобы рассказать о своей теореме о неполноте: если даже придерживаться методов, исключающих ошибку, всегда будут существовать истинные гипотезы, которые нельзя доказать, и математические проблемы, которые невозможно решить с помощью самых надежных методов. Мы можем иметь потенциальную способность решать проблемы (без уверенности в том, что решение правильное), но никогда не сможем одновременно иметь уверенность в своих методах и возможность решить все проблемы.

Гёдель представил две теоремы о неполноте, первая из которых также известна как теорема Гёделя, а вторая получила название второй теоремы Гёделя.

Эта книга — об истории открытия Гёделя и его следствиях для философии математики. В главе 1 описаны исторический процесс, приведший к полемике о методах доказательства в математике, и роль, которую сыграла в этой полемике теорема Гёделя. В главе 2 приведены сама теорема и объяснение ее доказательства. Но как на том историческом этапе, когда почти все методы математического доказательства были поставлены под сомнение, Гёделю удалось убедить всех в своей правоте? Ответ на этот вопрос проанализирован в главе 3, в то время как глава 4 посвящена другим работам математика, среди которых — исследования в теории относительности. В последней главе обсуждаются некоторые философские следствия теорем Гёделя, связанные с природой математической истины.

1906 Курт Гёдель родился 28 апреля в Брно, в Австро-Венгерской империи (современная Чешская Республика), в семье Рудольфа Гёделя и Марианны Хандшу. У него был только один старший брат, которого, как и отца, звали Рудольфом.

1912 Гёдель перенес приступ ревматической лихорадки. Эта болезнь стала катализатором его ипохондрии как доминирующей черты личности.

1923 Поступил в Венский университет, чтобы изучать теоретическую физику, однако, благодаря влиянию профессора Филиппа Фуртвенглера, занялся математикой.

1926 Приглашен в Венский кружок — группу интеллектуалов, основанную в 1922 году немецким философом Морицем Шликом для обсуждения науки и эпистемологии. Здесь Гёдель познакомился с дебатами вокруг теории доказательства и решил посвятить себя математической логике.

1929 Завершил докторскую диссертацию, которую представил в следующем году в Венском университете.

1930 С 5 по 7 сентября в Кёнигсберге проходил конгресс, посвященный теории доказательства и связанным с ней темам. На пленарном заседании 7 сентября Гёдель впервые провозгласил свою теорему о неполноте.

1931 Опубликована статья ученого «О формально неразрешимых предложениях Principia Mathematica у родственных систем», содержащая формулировку и доказательство его теоремы о неполноте.

1933 Назначен приват-доцентом Венского университета. Совершил серию поездок в США, где читал различные курсы и лекции.

1938 Женился на Адель Поркерт, разведенной танцовщице, на шесть лет старше его.

1939 Под давлением нацистов, пришедших к власти в Австрии, бежал с супругой США. В Европу они так больше и не вернулись.

1940 Присоединился к Институту перспективных исследований в Принстоне, где началась его дружба с Альбертом Эйнштейном.

1951 Прочитал Гиббсовскую лекцию, в которой проанализировал некоторые возможные философские следствия из своей теоремы о неполноте.

1978 Курт Гёдель скончался в Принстонской больнице вечером 14 января.

ГЛАВА 1

Кризис оснований

В начале XX столетия математика переживала один из самых глубоких кризисов. Первая треть века была наполнена спорами о том, какие методы рассуждения считать подходящими и нужно ли допускать существование бесконечности. Курту Гёделю было предназначено решительно проявить себя в данной ситуации. Но как назрел этот спор? Почему математики начали сомневаться в своей науке после более чем 2500 лет ее развития?

Все люди, даже самые великие, когда-то были детьми. Это прописная истина, но все же любопытно думать, что был день, когда Моцарт не знал даже названий музыкальных нот, было время, когда Леонардо да Винчи еще не смешивал краски... и период, когда Курт Гёдель не начал изучать логику. Пусть знания будущего ученого тогда были невелики, но стремление к интеллектуальному поиску было присуще ему с самого детства. Гёдель рос любопытным ребенком и задавал много вопросов обо всем, что видел вокруг, поэтому в семье его называли герр Варум, что в переводе с немецкого означает «господин Почему».

Его отец, Рудольф, родился в Вене и рано оставил учебу, занявшись коммерцией, в которой добился больших успехов. В 1906 году, когда родился Курт, Рудольф Гёдель был управляющим и совладельцем одной из самых крупных текстильных фабрик в Брюнне — важном промышленном центре Австро- Венгерской империи, который славился своим текстильным производством.

У Рудольфа было два сына: старший, тоже Рудольф, и Курт. Ни один из них не пошел по его стопам. Рудольф-младший стал известным врачом и руководителем клиники в Вене. Курт, в свою очередь, считается самым влиятельным логиком современности (вторым после Аристотеля) и одним из знаменитых мыслителей XX века. Их мать Марианна, немка по национальности, изучала литературу Австро-Венгрии и Франции. В отличие от супруга она была тонкой, художественно восприимчивой натурой, и, возможно, поэтому стеснительный и замкнутый Курт был очень привязан к ней. Многие биографы говорят, что когда матери не было дома, мальчик чувствовал себя немного потерянным. Стеснительность и погруженность в себя сохранились в нем на всю жизнь. Гёдель никогда не был душой компании, никто не хохотал над его шутками, но ему это и не было нужно. Самые яркие умы XX века обратили на него внимание благодаря не его шуткам, но идеям, которые изменили видение математики и, возможно, всей науки. В своей жизни он дружил с немногими, но очень интересными людьми — одним из самых близких его друзей стал Альберт Эйнштейн.

В школе Курт был блестящим учеником. Естественно, он преуспевал в математике и языках. Даже сегодня многие из тех, кто живет в Восточной Европе, хотя бы знают немного языки своих соседей: чешский, немецкий, несколько слов по-русски и так далее. Гёдель, считавший немецкий язык родным, не был исключением, но даже в этой многоязычной среде его страсть и способность к языкам были выдающимися. С юности он в совершенстве говорил и писал по-английски и по-французски, а в последующие годы в его библиотеке всегда было большое количество словарей и грамматик различных языков.

Когда Гёделю было шесть лет, он перенес ревматическую лихорадку, из-за которой несколько дней провел в постели. Физически он полностью выздоровел, однако через некоторое время природное любопытство побудило его почитать о перенесенной болезни, и мальчик узнал, что она может вызывать в качестве осложнения хроническую слабость сердца. Гёдель всю свою жизнь был убежден в том, что это случилось и с ним, хотя врачи неоднократно уверяли его в обратном. Более того, без каких-либо рациональных оснований всю оставшуюся жизнь он был уверен, что если его сердце охладится, то он умрет, и даже в самые жаркие дни ученый ходил в теплой одежде.

Через много лет брат Рудольф говорил, что этот кризис стал причиной глубокой ипохондрии — одной из самых заметных черт личности Курта. Возможно, именно страх перед болезнями всю жизнь вызывал у Гёделя многочисленные недомогания, из-за которых он неделями находился в угнетенном состоянии и вынужден был прерывать любую интеллектуальную деятельность.

В 1912 году, когда шестилетний Курт, еще ничего не знавший о логике, переживал первую серьезную болезнь, математика как наука также находилась в кризисе. И хотя на тот момент Гёдель еще даже не подозревал об этом, ему было предназначено решительно проявить себя в решении этой проблемы.

Кризис, в котором находилась математика в 1912 году, известный сегодня как кризис оснований, начался в 1902-м, за четыре года до рождения Гёделя, с очень короткого письма Бертрана Рассела своему коллеге немцу Готлобу Фреге.

Бесконечность всегда в возможности, а не в действительности.

Аристотель, «Метафизика»

Если не знать исторического контекста, невозможно понять, как письмо, уместившееся на одной странице, развязало спор, который длился потом более 25 лет. На самом деле письмо Рассела к Фреге было лишь камешком, который вызвал сход лавины, ждавшей в течение десятилетий. Исторический процесс, который привел к этому моменту, начался с эпохи Аристотеля, с появления понятия бесконечности — одного из самых странных, сложных и чудесных, созданных человеческой мыслью.