Флатландия. Сферландия - Эдвин Эбботт

— Вполне возможно, — согласился доктор Пункто. — Признав правильность измерений, мы тем самым бросаем вызов тем, кто производил измерения до нас, а нам бы не хотелось делать этого без крайней необходимости.

— Займемся в таком случае поиском другой причины, — продолжал я. — Приводили ли прежние наблюдатели лишь округленные результаты измерений или выписывали столько десятичных знаков, сколько им удавалось получить?

— Я специально интересовался этим. У меня сложилось впечатление, что каждый наблюдатель приводил полученные им результаты с максимальной точностью, которой ему удавалось достичь. Тем не менее мне не довелось встретить ни одного упоминания о том, что величина суммы углов треугольника может быть значительно больше 180°. Малые же отклонения, естественно, можно приписать ошибкам измерения.

— Необходимо выяснить, в чем состоят различия между старыми и новыми методами измерений. Короче говоря, что не так или делается не так, как раньше?

— Между старыми и новыми методами измерений существует одно большое различие. Раньше измерения производили на маленьких, а теперь на больших треугольниках.

— Тогда нам прежде всего необходимо выяснить, как влияет на результаты измерений величина выбранных для триангуляции треугольников. Каким образом мы могли бы это сделать? Вы сейчас находитесь в отставке, следовательно, не можете производить изменения — у вас нет для этого ни приборов, пи помощников. А коль скоро это так, то не существует ли какого-нибудь иного способа раздобыть все необходимое?

— Надеюсь, — вздохнул доктор Пункто, — что мои бывшие сотрудники, когда я расскажу им, в чем дело, охотно согласятся произвести нужные измерения.

— Прекрасно, — сказал я. — Буду ждать вас у себя дома вместе с результатами измерений. Там мы сможем подробно обсудить наши дальнейшие планы.

Мы расстались как лучшие друзья. Я был убежден, что господин Пункто исполнит все пунктуальнейшим образом и в кратчайший срок, и не ошибся.

18. НЕРАЗРЕШИМАЯ ЗАДАЧА

Прошла целая неделя, прежде чем мой друг Пункто навестил меня, чтобы обсудить полученные им данные. За это время он успел построить множество больших и малых треугольников и с высокой точностью измерить их углы. Сумма углов у больших треугольников неизменно оказывалась больше 180°, причем с увеличением размеров треугольника невязка возрастала. У маленьких треугольников отклонение суммы их углов от 180° было столь незначительным, что обнаружить его не удалось.

Немало часов я провел, проверяя выкладки доктора Пункто, по не нашел ни одной ошибки.

— Отсюда следует, — констатировал я, — что собранные вами факты можно считать твердо установленными и теперь мы вправе перейти к следующему этапу.

— Боюсь, что в дальнейшем ничем не смогу быть вам полезным, — огорченно заметил доктор Пункто. — Все по-прежнему выглядит весьма странно, и мы не располагаем ни малейшим намеком на то, в каком направлении надлежит искать объяснение.

— Без вас мы не сможем продвинуться ни на шаг, — заверил я его. — Прежде всего факты, объяснение придет потом. Мы на правильном пути, и я не сомневаюсь в том, что в конце концов нам удастся найти истину.

Мы сидели до поздней ночи, перебирая всевозможные гипотезы, но безрезультатно. Случай был поистине удивительный! Мы условились, что до следующей встречи, назначенной через три дня, каждый из нас попытается самостоятельно обдумать факты, после чего мы обменяемся идеями. Даже в том случае, если они окажутся неудачными, ошибка одного вполне может навести другого на верную мысль. Мы сердечно распрощались и расстались в полной уверенности, что совместными усилиями найдем выход из лабиринта.

Излишне говорить о том, что все три дня я провел в напряженных размышлениях. Ежедневно, прежде чем заснуть, я подолгу обдумывал проблему в надежде увидеть во сне какую-то подсказку, которая бы помогла ее решить или хотя бы направила поиски решения по правильному пути. Но все было напрасно. Днем я пытался выстроить в логической последовательности все известные мне факты, но каждый раз заходил в тупик: логика была бессильна найти ответ на столь «нелогичный» вопрос. Погруженный в свои размышления, я забыл обо всем на свете. Перед моим мысленным взором мелькали разнообразнейшие треугольники: большие и маленькие, правильные и неправильные, тупоугольные и остроугольные. Каждый из них я обходил по периметру, измерял все углы и принимался за следующий.

Мои близкие, не желая мне мешать, и не пытались пробудить меня от грез наяву. Но порой мне случалось ловить на себе их удивленные взгляды. Я не слышал, когда ко мне обращались, и в ответ неизменно задавал один и тот же сакраментальный вопрос: «Не могли бы вы указать треугольник, у которого сумма углов больше 180°?»

На утро третьего дня (того самого, на который у меня была назначена встреча с моим другом Пункто) ко мне в кабинет заглянул мой внук.

— Дедушка, — сказал он, — не знаю, смогу ли я помочь тебе, но вчера ты все время спрашивал о треугольнике, сумма углов которого больше 180°.

— Да, — подтвердил я, — и мне хорошо известно, о чем ты сейчас думаешь. Ты, естественно, считаешь, что твой старый дедушка выжил из ума. Я и сам прекрасно знаю, что мой вопрос звучит бессмысленно, но это, поверь мне, далеко не так. Я пытаюсь найти ответ на один вопрос и не знаю толком, математический он или философский, а для того чтобы найти ответ, мне необходимо своим глазом увидеть треугольник, у которого сумма углов была бы больше 180°.

— Дедушка, — воскликнул мой внук, — я прекрасно понимаю, что какой бы обычный треугольник мы ни взяли, сумма его углов не будет отличаться от суммы углов любого другого обычного треугольника. Треугольник, который нужен тебе, должен быть необычным треугольником, ибо лишь у необычного треугольника может быть необычное свойство. Если ты разрешишь, я нарисую один такой треугольник.

Хотя я не возлагал особых надежд на помощь со стороны представителя младшего поколения, тем не менее мой утвердительный ответ на его просьбу был продиктован не только любовью к внуку, но и любопытством: мне не терпелось узнать, что за необычный треугольник выдумал мой внук. Мальчик был очень польщен, увидев, что дед проявляет к его открытию искренний интерес, и тотчас же принялся рисовать «необычную» фигуру.

— Дедушка, вот треугольник, у которого сумма углов больше двух прямых углов.

Треугольник, нарисованный моим внуком. Сумма углов такого треугольника больше 180°.

— Да, но у твоего треугольника стороны не прямые, — возразил я.

— В этом и заключается мое открытие, — заявил юный геометр. — Нужно же было придумать нечто необычное для того, чтобы ответить на необычный вопрос.

— Что касается необычности, то тут мы квиты, — вынужден был признать я. — Но должен