- Любовные романы
- Фантастика и фэнтези
- Ненаучная фантастика
- Ироническое фэнтези
- Научная Фантастика
- Фэнтези
- Ужасы и Мистика
- Боевая фантастика
- Альтернативная история
- Космическая фантастика
- Попаданцы
- Юмористическая фантастика
- Героическая фантастика
- Детективная фантастика
- Социально-психологическая
- Боевое фэнтези
- Русское фэнтези
- Киберпанк
- Романтическая фантастика
- Городская фантастика
- Технофэнтези
- Мистика
- Разная фантастика
- Иностранное фэнтези
- Историческое фэнтези
- LitRPG
- Эпическая фантастика
- Зарубежная фантастика
- Городское фентези
- Космоопера
- Разное фэнтези
- Книги магов
- Любовное фэнтези
- Постапокалипсис
- Бизнес
- Историческая фантастика
- Социально-философская фантастика
- Сказочная фантастика
- Стимпанк
- Романтическое фэнтези
- Ироническая фантастика
- Детективы и Триллеры
- Проза
- Феерия
- Новелла
- Русская классическая проза
- Современная проза
- Повести
- Контркультура
- Русская современная проза
- Историческая проза
- Проза
- Классическая проза
- Советская классическая проза
- О войне
- Зарубежная современная проза
- Рассказы
- Зарубежная классика
- Очерки
- Антисоветская литература
- Магический реализм
- Разное
- Сентиментальная проза
- Афоризмы
- Эссе
- Эпистолярная проза
- Семейный роман/Семейная сага
- Поэзия, Драматургия
- Приключения
- Детская литература
- Загадки
- Книга-игра
- Детская проза
- Детские приключения
- Сказка
- Прочая детская литература
- Детская фантастика
- Детские стихи
- Детская образовательная литература
- Детские остросюжетные
- Учебная литература
- Зарубежные детские книги
- Детский фольклор
- Буквари
- Книги для подростков
- Школьные учебники
- Внеклассное чтение
- Книги для дошкольников
- Детская познавательная и развивающая литература
- Детские детективы
- Домоводство, Дом и семья
- Юмор
- Документальные книги
- Бизнес
- Тайм-менеджмент
- Кадровый менеджмент
- Экономика
- Менеджмент и кадры
- Управление, подбор персонала
- О бизнесе популярно
- Интернет-бизнес
- Личные финансы
- Делопроизводство, офис
- Маркетинг, PR, реклама
- Поиск работы
- Бизнес
- Банковское дело
- Малый бизнес
- Ценные бумаги и инвестиции
- Краткое содержание
- Бухучет и аудит
- Ораторское искусство / риторика
- Корпоративная культура, бизнес
- Финансы
- Государственное и муниципальное управление
- Менеджмент
- Зарубежная деловая литература
- Продажи
- Переговоры
- Личная эффективность
- Торговля
- Научные и научно-популярные книги
- Биофизика
- География
- Экология
- Биохимия
- Рефераты
- Культурология
- Техническая литература
- История
- Психология
- Медицина
- Прочая научная литература
- Юриспруденция
- Биология
- Политика
- Литературоведение
- Религиоведение
- Научпоп
- Психология, личное
- Математика
- Психотерапия
- Социология
- Воспитание детей, педагогика
- Языкознание
- Беременность, ожидание детей
- Транспорт, военная техника
- Детская психология
- Науки: разное
- Педагогика
- Зарубежная психология
- Иностранные языки
- Филология
- Радиотехника
- Деловая литература
- Физика
- Альтернативная медицина
- Химия
- Государство и право
- Обществознание
- Образовательная литература
- Учебники
- Зоология
- Архитектура
- Науки о космосе
- Ботаника
- Астрология
- Ветеринария
- История Европы
- География
- Зарубежная публицистика
- О животных
- Шпаргалки
- Разная литература
- Боевые искусства
- Прочее
- Периодические издания
- Фанфик
- Военное
- Цитаты из афоризмов
- Гиды, путеводители
- Литература 19 века
- Зарубежная образовательная литература
- Военная история
- Кино
- Современная литература
- Военная техника, оружие
- Культура и искусство
- Музыка, музыканты
- Газеты и журналы
- Современная зарубежная литература
- Визуальные искусства
- Отраслевые издания
- Шахматы
- Недвижимость
- Великолепные истории
- Музыка, танцы
- Авто и ПДД
- Изобразительное искусство, фотография
- Истории из жизни
- Готические новеллы
- Начинающие авторы
- Спецслужбы
- Подростковая литература
- Зарубежная прикладная литература
- Религия и духовность
- Старинная литература
- Справочная литература
- Компьютеры и Интернет
- Блог
Флатландия. Сферландия - Эдвин Эбботт


- Жанр: Математика / Научная Фантастика
- Название: Флатландия. Сферландия
- Автор: Эдвин Эбботт
- Возрастные ограничения: (18+) Внимание! Книга может содержать контент только для совершеннолетних. Для несовершеннолетних просмотр данного контента СТРОГО ЗАПРЕЩЕН! Если в книге присутствует наличие пропаганды ЛГБТ и другого, запрещенного контента - просьба написать на почту для удаления материала.
Шрифт:
Интервал:
Закладка:
Предисловие
Многомерные пространства давно утратили тот ореол таинственности, которым они были некогда окутаны. Идеи и методы многомерной геометрии (причем не только евклидовой, но и неевклидовой) находят ныне столь широкое применение, что трудно понять, как наши предки могли обходиться без них. К услугам многомерной геометрии прибегают химик, исследующий свойства многокомпонентных систем, и физик, пытающийся выяснить отдельные подробности поведения многих тел (трудности проблемы n тел столь велики, что вынуждают говорить о «многих телах» всякий раз, когда n ≥ 3), астроном и биолог. Проектировщик машин, создавая зубчатую передачу с большим числом шестерен, также вынужден будет воспользоваться методами многомерной геометрии, если хочет, чтобы его творение не просто соответствовало назначению, а выполняло свою функцию (в том или ином смысле) оптимально.
Четырехмерное евклидово пространство, ближайшего по размерности соседа привычного нам трехмерного пространства, постигла та же участь, что и другие многомерные пространства: оно утратило былую экзотичность и стало привычным инструментом в руках современного исследователя.
Четырехмерный мир — далеко не самое удивительное из того, что создано математической мыслью. Пытаясь найти ответы на внешне простые, но в действительности необычайно глубокие вопросы, математики совершили немало удивительных открытий. Они узнали, что существует не одна, а несколько геометрий, что размерность геометрической фигуры нельзя определять по такому интуитивно очевидному признаку, как «запас» принадлежащих фигуре точек, поскольку, например, множество точек, составляющих отрезок, равномощно множеству точек, составляющих квадрат или куб (иначе говоря, отрезок содержит «столько же» точек, сколько их содержит квадрат или куб), что размерность пространства не обязательно должна быть конечной и даже целой.
Не следует думать, будто столь странное па первый взгляд понятие, как нецелая размерность, является своего рода математическим курьезом и не имеет отношения к действительности.
Как доказывается в механике, простейшая из задач N тел — задача трех тел — приводит к необходимости рассматривать пятимерное пространство, а при произвольном N ≥ 3 — пространство с числом измерений, равным 3N − 4. Но почему нельзя считать N нецелым? Что мешает нам, например, говорить о π-мерном мире? Формулы n-мерной геометрии нам удается без особых ухищрений распространить на случай n = π. Но самое главное состоит в том, что представление о нецелых размерностях оказывается весьма эффективным в теории фазовых переходов и теории ноля. При рассмотрении некоторого процесса в системе с огромным числом частиц (или степеней свободы) может оказаться, что со временем в него вовлекаются все новые и новые частицы (участвует все большее число степенен свободы). Поэтому и число переменных, которые приходится учитывать в уравнениях, меняется со временем. Быть может, число переменных удобно считать не дискретной, как обычно, а непрерывной величиной. Тут-то и появляются пространства размерности π, √2 и 1,879. Правда, трудно сказать, понадобится ли кому-нибудь рассматривать треугольник в π-мерном пространстве и нужно ли выяснять, чему равна сумма его углов. Возвращаясь из π-мерного пространства в «обычное» 4-мерное, невольно испытываешь большое облегчение — настолько все становится простым и понятным!
Изучать многомерные, и в частности четырехмерные, пространства можно по-разному. Ничто не мешает, например, воспользоваться аксиоматическим методом, неоднократно доказавшим свою мощь, тем более, что, по словам известного геометра Г. С. М. Кокстера, «аксиоматический подход рассеивает таинственность, не уменьшая очарования самой идеи».
Однако для первого знакомства с четырехмерным миром нам кажется более подходящим метод аналогии. Основываясь на наглядно-геометрических представлениях о размерности геометрических фигур, мы можем совершать постепенное восхождение по шкале размерностей и переходить от одномерных фигур к двумерным, от двумерных — к трехмерным и, наконец, сделать решающий шаг: воспользоваться замеченными закономерностями и перейти к рассмотрению четырехмерных фигур. Таков обычный путь использования аналогии — лестницы, ведущей от известного к неизвестному и позволяющей не только овладевать накопленными знаниями, но и открывать новое. Менее традиционное применение аналогии состоит в том, что мы мысленно пытаемся представить себе трудности, с которыми сталкивается двумерное существо при попытке наглядно вообразить себе третье измерение, и экстраполируем свое превосходство над обитателем двумерного мира… на самих себя!
Именно этот не совсем обычный способ изучения (или, лучше сказать, «постижения») геометрии четырехмерного евклидова пространства и искривленного расширяющегося пространства избрали авторы «Флатландии» и «Сферландии»: английский педагог Эдвин Э. Эбботт и голландский ученый Дионис Бюргер. Написанные в разное время различными авторами и на разных языках, эти произведения объединены не только преемственностью тематики, но и «родственными узами» героев, от лица которых ведется повествование. Если у Эбботта в роли рассказчика выступает Квадрат, то у Бюргера его сменяет Шестиугольник, который доводится Квадрату пнуком. Мир, в котором живет Шестиугольник, устроен гораздо сложнее евклидовой плоскости его деда: этот мир искривлен (Шестиугольник обитает на поверхности огромной сферы) и к тому же расширяется. В этом различии — отзвук великих перемен в воззрениях на природу реального пространства, происшедших с выхода и свет первого издания «Флатландии» A880 г.) до появления «Сферландии» A957 г.). Юмор, причудливая, подчас гротескная литературная форма, множество убедительных математических подробностей двумерного бытия сделали произведения Эбботта и Бюргера необычайно популярными. Их (наравне с бессмертной «Алисой» Льюиса Кэррола) охотно цитируют авторы серьезных научных трактатов по многомерной геометрии и теории относительности.
Не следует думать, будто произведения Эбботта и Бюргера, столь разительно отличающиеся от обычных «курсов», «введений» и «популярных очерков», служат своего рода четвертым измерением, «перпендикулярным» всей прочей литературе но занимательной математике. Яркие и самобытные, эти книги преследуют ту же цель, что и их «трехмерные» (то есть более привычные по форме) сородичи по жанру: учить математике так, как постигают мир дети, — играя. Именно общность цели в гораздо большей степени, чем сходство тех или иных особенностей изложения, роднит «Флатландию» и «Сферландию» с произведениями таких мастеров этого жанра, как Кэррол, Гарднер и Штейнгауз, уже известными нашему читателю.
Вместе с тем нельзя не отметить, что во Флатландии, и даже в Сферландии, с точки зрения физики не все обстоит благополучно. На первый взгляд кажется, что обитатели двумерия действительно не могут ничего узнать о существовании третьего измерения. Уступая искусству авторов, читатели склонны согласиться и с тем, что четвертое измерение, возможно, существует, но просто недоступно нашему непосредственному восприятию.
Все это правильно лишь до тех пор, пока речь идет о геометрии и о механике. (Кстати, говоря об измерении расстояний при помощи света, автор «Сферландии» действует в приближении геометрической оптики: свет распространяется в виде «лучей», а не «волновых фронтов»!) Прямая «выглядит» одинаково и в двух, и в трех измерениях, и по траектории материальной точки нельзя определить размерность