Красота физики. Постигая устройство природы - Фрэнк Вильчек

Квантовая механика не дает простых уравнений для облаков вероятности. Однако облака вероятности вычисляются из волновых функций.

Волновая функция отдельной частицы, как и ее облако вероятности, задает определенную амплитуду для всех возможных положений частицы. Другими словами, она определяет число для каждой точки в пространстве. Амплитуда волновой функции – это комплексное число, таким образом, волновая функция – это задание комплексного числа в каждой точке пространства[62].

Чтобы задать правильные вопросы, мы должны провести особые эксперименты, которые различными способами исследуют волновую функцию. Например, мы можем поставить эксперименты, определяющие положение частицы, или эксперименты, определяющие ее импульс. Эти эксперименты дают ответы на следующие вопросы: «Где частица?», «Как быстро она движется?».

Как волновая функция отвечает на эти вопросы? Вначале проводится некоторая обработка, а потом вам выдаются шансы в виде чисел.

Для вопроса о положении обработка достаточно проста. Мы берем значение (или амплитуду) волновой функции – напомню, комплексное число – и возводим его модуль в квадрат. Вычисление дает нам для каждого возможного положения положительное число или нуль. Это число и является плотностью вероятности обнаружить частицу на этом месте, как мы уже говорили.

Для вопроса об импульсе обработка значительно более сложна, и я не буду пытаться описать ее в деталях. Чтобы найти вероятность наблюдать какой-либо импульс, вы должны вначале получить средневзвешенное значение волновой функции – каким именно способом это будет сделано, зависит от того, какой именно импульс вас интересует, – а затем возвести модуль этого значения в квадрат.

Ответы на эти вопросы требуют различных способов обработки волновой функции, которые оказываются взаимно несовместимыми. Согласно квантовой теории, невозможно ответить на оба вопроса одновременно. Вы не можете это сделать, хотя каждый вопрос сам по себе является полностью законным и имеет содержательный ответ. Если бы кто-нибудь понял, как это сделать экспериментально, он бы опроверг квантовую теорию, потому что последняя утверждает, что это невозможно. Эйнштейн неоднократно пытался придумать эксперименты такого рода, но ни разу не достиг успеха и в конце концов признал поражение.

Итак, три основных момента:

• Вы получаете вероятности, а не определенные ответы.

• Вы не получаете доступ к самой волновой функции, а только можете украдкой посмотреть на ее обработанные варианты.

• Ответы на разные вопросы могут потребовать обработки волновой функции различными способами.

Каждый из этих моментов поднимает фундаментальные вопросы.

Первый поднимает вопрос о детерминизме. Действительно ли расчет вероятностей – это лучшее, что мы можем сделать?

Второй поднимает вопрос о множественности миров. Что описывает полная волновая функция, когда мы не пытаемся ее изучать, даже косвенно? Представляет ли она огромное расширение реальности – или является просто мыслительным инструментом, не более реальным, чем сон?

Третий поднимает вопрос о дополнительности. Чтобы отвечать на различные вопросы, мы должны обрабатывать информацию разными способами. В приведенном и других важных примерах эти методы обработки оказываются взаимоисключающими. Таким образом, ни один подход, каким бы мудрым он ни был, не может обеспечить ответы на все возможные вопросы. Чтобы увидеть реальность во всей полноте, мы должны рассматривать ее с разных точек зрения. Таков философский принцип дополнительности. Это урок смирения, который преподносит нам квантовая теория. Например, у нас есть принцип неопределенности Гейзенберга: вы не можете измерить и положение, и импульс частицы в одно и то же время. Теоретически это следует из математики волновых функций. Экспериментально он возникает потому, что измерения требуют активного воздействия на измеряемый объект. Исследовать означает взаимодействовать, а взаимодействие – это потенциальное возмущение.

Каждый из этих вопросов увлекателен, и первые два привлекли большое внимание ученых. Однако мне кажется особенно состоятельным и значительным именно третий вопрос. Дополнительность – это одновременно характеристика физической реальности и урок мудрости, к которому мы должны возвращаться.

Стационарные состояния как собственные колебания

Уравнение, которое описывает, как волновая функция электрона меняется во времени, называется уравнением Шрёдингера. Если рассматривать это уравнение как часть математики, то оно близко связано с уравнениями, которые мы используем для описания музыкальных инструментов.

Атом водорода, рассматриваемый как музыкальный инструмент, выглядит как трехмерный гонг, который является жестким на внешней стороне – далеко от протона, – но который легче привести в движение вблизи от середины. Это означает, что «вибрации» нашего инструмента, сила которых зашифрована в амплитуде волновой функции, будут иметь тенденцию сфокусироваться в середине. Волновая функция также будет стремиться сконцентрироваться в середине и, конечно, то же самое произойдет со связанным с ней облаком вероятности. Таково строгое квантово-механическое описание явления, в обиходе формулируемого как «протон притягивает электрон»!

Теперь мы готовы понять, как современная квантовая механика, основанная на волновых функциях и уравнении Шрёдингера, одновременно схватывает и передает «наивысшую музыкальность» Бора.

Самый важный шаг в понимании того, как действует любой музыкальный инструмент с физической точки зрения, – это понимание его естественных колебаний. Они соответствуют его «нотам», т. е. рисункам колебаний, которые инструмент может поддерживать на протяжении значительного времени и которые легко извлечь (сыграть).

Поскольку уравнение Шрёдингера для электрона в атоме очень похоже на уравнение колебаний музыкального инструмента, мы должны рассмотреть его решения, которые выглядят подобно естественным колебаниям. И оказывается, что естественные колебания волновой функции означают нечто совершенно простое и замечательное по отношению к облаку вероятности – а именно, что оно не меняется совсем!

(Опишем это более подробно, используя комплексные числа. Когда мы говорим о вибрирующей струне, как на илл. 24, колеблется, т. е. меняется со временем, только положение элементов струны. Для волновой функции меняется только набор комплексных чисел, которые она присваивает различным точкам пространства. При естественных колебаниях изменение является простым: амплитуды комплексных чисел остаются одними и теми же, но меняются их фазы, причем все на одну и ту же величину. В результате квадраты модулей амплитуд, которые и проявляются в облаке вероятности, не меняются вообще.)

Эти естественные колебания волновой функции, которые соответствуют не меняющимся облакам вероятности, имеют как раз такие свойства, которых Бор ожидал от своих «стационарных состояний». Электрон будет сохраняться в любом режиме колебаний из этого набора, и ни один другой их вид не имеет этого свойства. Более того, можно рассчитать энергию, присущую этим естественным колебаниям, и окажется, что она совпадает с энергией «разрешенных орбит» Бора.

Давайте посмотрим на какое-нибудь из этих стационарных состояний. На илл. 26 изображены их облака вероятности. Во всех случаях протон находится в центре и то, на что вы смотрите, является двумерной проекцией трехмерного облака. Яркость облака обозначает его величину как математической функции, т. е., скорее всего, электрон в любом из своих состояний будет обнаружен там, где облако ярче. Более компактные облака соответствуют стационарным состояниям с более низкой энергией.

Илл. 26. Каждое изображение – это моментальный снимок облака вероятности электрона атома водорода в том или ином стационарном состоянии. Электрон скорее всего будет обнаружен там, где облако ярче. В каждом случае в центре облака находится единственный протон. (Те же самые формы орбит имеют и электроны других атомов, таких как углерод.)

Чтобы оценить по достоинству сами волновые функции в отличие от получаемых из них облаков вероятности, требуется как следует постараться, но и результаты получаются более богатые. На вклейке CC мы видим только одно из стационарных состояний. Изображенные поверхности – это поверхности, где амплитуда волновой функции имеет постоянное значение. Они показаны в разрезе, так что вы можете видеть, что у них внутри. Цвета обозначают фазу волновой функции как комплексного числа. Вы должны воспринимать эту иллюстрацию как моментальный снимок. С течением времени цвета изменяются циклически. Воистину атомы – психоделичны!