Пространства, времена, симметрии. Воспоминания и мысли геометра - Борис Розенфельд

Коломенский пединститут, как и Загорский, был в 1953 г. преобразован из Учительского института. В этом институте были такие же два факультета, как и в Загорском. Впоследствии к ним добавили технический факультет, готовящий учителей труда, которые могли работать и инженерами.

Институт был раньше расположен в бывшем школьном здании недалеко от Москва-реки. Позднее для института было построено здание на берегу Оки.

Кафедрой математики заведовал алгебраист, ученик А.Г.Куроша, Петр Абрамович Гольберг. Преподаватели, приезжающие из Москвы, ночевали в общежитии.

Мне поручили читать лекции по всем геометрическим дисциплинам - по аналитической, элементарной, дифференциальной, проективной, начертательной геометрии и основаниям геометрии. Я читал также лекции по истории математики. В 1961 г., когда Гольберг перешел на работу в Москву, меня назначили заведующим кафедрой. С 1960 г. в институте появилась аспирантура.

Александр Иванович Горшков

Из преподавателей других кафедр Коломенского пединститута отмечу доцента кафедры русского языка Александра Ивановича Горшкова, впоследствии известного лингвиста.

Горшков подарил мне свою книгу "Старославянский язык", из которой я узнал, что в этом языке слова мужского рода имели окончания -ос, -ус, и -ис, которые впоследствии потеряли согласный звук "с" и превратились в неопределенные гласные звуки, которые обозначались буквами ъ и ь. В дальнейшем эти гласные звуки также исчезли и буквы ъ и ь стали обозначать только твердость или мягкость предшествующего согласного звука.

"Многомерные пространства"

Начав работу над шестью геометрическими курсами для пединститутов, я решил написать серию учебников по всем этим курсам. Эти учебники я договорился писать вместе с И.М.Ягломом и З.А.Скопецом. Первой из этих книг была "Аналитическая геометрия", написанная мной и И.М.Ягломом. Мы включили в эту книгу много новинок : применение линейных операторов при изложении аффинных преобразований и движений и теории линий и поверхностей второго порядка. Мы рассматривали также уравнения тел и плоских фигур, например, квадрата и куба. Рецензент книги А.П.Норден дал отрицательный отзыв: по его мнению книга перегружена новшествами и такой курс невозможно прочитать за то время, которое отводится на него в пединститутах. Он советовал убрать новшества. Я на это не согласился: без наших новшеств книга превратится в обычный учебник по аналитической геометрии.

Я избрал другой путь: решил выбросить из книги обычную аналитическую геометрию на плоскости и в пространстве, оставить применение линейных операторов, и излагать геометрию в n-мерном пространстве. К многомерной аналитической геометрии я решил добавить многомерное обобщение теории многогранников, изучаемой в курсе элементарной геометрии, многомерное обобщение теории скользящих векторов, изучаемых в статике, многомерную проективную, конформную и дифференциальную геометрию, а также многомерную псевдоевклидову геометрию, являющуюся обобщением теории пространства - времени специальной теории относительности и многомерную псевдоконформную геометрию, тесно связанную с псевдоевклидовой геометрией.

Написанную книгу я назвал "Многомерные пространства". Она состоит из 12 глав: 1) Векторы и аффинные операции над ними, 2) Метрические операции над векторами, 3) Прямые и плоскости, 4) Движения и аффинные преобразования, 5) Многогранники, 6) Сферы, 7) Квадрики, 8) Скользящие векторы, 9) Проективные преобразования, 10) Дифференцирование векторов, 11) Комформные преобразования, 12) Пространство и время.

А.П.Норден дал положительный отзыв. Книга вышла в издательстве "Наука" в 1966 году.

Особые группы Ли классов Е и Е

Во время работы в Коломне я продолжал размышлять о геометрических интерпретациях особых простых групп Ли. В 1956 г. Я опубликовал в "Докладах Академии наук СССР" заметку, в которой высказал предположение, что компактные особые простые гуппы Ли классо Е и Е являются группами движений эрмитовых эллиптических плоскостей над тензорными произведениями алгебр октонионов и кватернионов и двух алгебр октонионов. Это предположение, являющееся обобщением геометрической интерпретации компактной особой простой группы Ли класса Е, которую я доказал в 1954 г., было основано на установленном Э.Картаном факте, что среди симметрических пространств, группами движений которых являются компактные простые особые группы Ли классов Е и Е, имеются пространства размерности 64 и 128.

Моя заметка была представлена в Доклады Академии наук СССР". академиком И.Г.Петровским на основании положительного отзыва Е.Б.Дынкина.

Мое предположение было доказано Э.Б.Винбергом в 1964 г. в докладе "Конструкция особых простых алгебр Ли" на Семинаре по векторному и тензорному анализу при МГУ.

Более подробное изложение результатов моих заметок 1954 и 1956 гг. я опубликовал в статье "Простые группы Ли и неевклидовы геометрии" в "Ученых записках Коломенского педагогического института". Заметку в "Докладах" и статью в "Ученых записках" я послал в Утрехт Гансу Фрейденталю, которому я в 1955 г. прислал мою книгу "Неевклидовы геометрии" и с которым после этого переписывался по-русски.

В 1959 г. Фрейденталь организовал в Утрехте Международный коллоквиум "Алгебраические и топологические основания геометрии" и пригласил меня на этот коллоквиум. Приехать я не смог, и просил Фрейденталя перевести мою статью с некоторыми добавлениями на немецкий язык.

На коллоквиуме Фрейденталь выступил с докладом "О теории Розенфельдовских эллиптических плоскостей". Этот доклад и немецкий перевод моей статьи были опубликованы в 1962 г. в материалах коллоквиума.

Фрейденталь включил свой доклад о моих эллиптических плоскостях в составленный им сборник наиболее важных статей о расширении понятия пространства, озаглавленный "Теория пространства ". Сборник был опубликован в 1978 г.

Фрейденталь предложил несколько интересных геометрических интерпретаций особых простых групп Ли, некоторые из которых он объединил в "магический квадрат Фрейденталя".

Впоследствии я рассмотрел геометрические интерпретации всех некомпактных особых простых групп Ли, аналогичные моим интерпретациям компактных особых простых групп Ли.

В 50-х годах я еще не умел записывать в явном виде движения эрмитовых неевклидовых плоскостей, группы которых являются особыми простыми группами Ли, я научился делать это значительно позже.

В докладе, представленном на Утрехтский коллоквиум, я рассматривал также геометрические образы пространств с простыми фундаментальными группами и параболическими стационарными подгруппами. Эти образы играют важную роль в теории унитарных представлений некомпактных простых групп Ли и во многих других случаях. Первоначально я называл их "образами простоты и полупростоты" и в 1963 г. посвятил им статью в "Трудах семинара по векторному и тензорному анализу при МГУ". В настоящее время многообразия этих образов называются "параболическими пространствами" и "флаговыми многообразиями".