Пространства, времена, симметрии. Воспоминания и мысли геометра - Борис Розенфельд

Казань

В Казань, город, где Лобачевский создал неевклидову геометрию, я впервые попал в 1952 году, когда там отмечалось 125-летие открытия Лобачевского.

Заведующий кафедрой геометрии А.П.Норден познакомил меня с ректором Казанского университета астрономом Дмитрием Яковлевичем Мартыновым, геометрами Борисом Лукичем Лаптевым, Александром Петровичем Широковым и другими геометрами. Он показал мне Казанский Кремль и могилу Н.И.Лобачевского на Арском кладбище.

Я познакомился также с Главным редактором издательства физико- математической литературы и одним из редакторов ИМИ Георгием Федоровичем Рыбкиным.

На конференции я сделал доклад о своих работах, который был напечатан в сборнике трудов конференции.

В 1954 г. я летал в Казань вместе с М.А.Джавадовым на конференцию, посвященную 150-летию Казанского университета. Там Джавадов сделал доклад по теме своей диссертации и договорился о ее защите.

А.П.Широков прислал мне много материалов об учебе и работе А.П. Котельникова в Казани, которые я использовал в статье о Котельникове в ИМИ и в книге, написанной мной совместно с Б.Л.Лаптевым и с киевскими механиками Т.В.Путятой и Б.Н.Фрадлиным. Книга вышла в 1968 г.

Впоследствии Б.Л.Лаптев и А.П.Широков защитили докторские диссертации и стали профессорами. В течение многих лет Б.Л.Лаптев был директором Научно-исследовательского института математики и механики им. Н.Г.Чеботарева в Казани, а А.П.Широков возглавлял кафедру геометрии Казанского университета.

Залман Алтерович Скопец

На обеих конференциях в Казани я встречал Залмана Алтеровича Скопеца, заведующего кафедрой геометрии Ярославского пединститута. Меня незадолго до этого познакомил с ним в Москве П.К.Рашевский. После встречи в Казани мы со Скопецом подружились.

З.А.Скопец родился в 1917 г. в местечке Краславе в той части Витебской губернии, которая впоследствии вошла в состав Латвии. Скопец окончил математический факультет Рижского университета. Он рассказывал мне, что лекции по геометрии в этом университете читали западно­европейские профессора на немецком и французском языках. Скопец знал русский язык и читал "Проективную геометрию"Н.А.Глаголева. После окончания университета Скопец служил в латвийской армии и был демобилизован после присоединения Латвии к СССР.

Когда началась война и немцы приближались к Риге, Скопец бежал без документов вглубь СССР и остановился в одном селе Ярославской области, где стал преподавать математику в школе. Он рассказывал, что школьники не могли выговорить его имени и отчества, и называли его "Залп Артиллерич". Коллеги посоветовали ему выбрать более привычное для окружающих имя и отчество, и его стали называть "Захар Александрович".

Через некоторое время Скопец съездил в Московский университет, где его проэкзаменовали и дали справку о том, что он имеет высшее образование. Скопец стал преподавать в Ярославском пединституте. Он защитил в Москве кандидатскую диссертацию по геометрии.

Скопец был великолепным знатоком алгебраической, проективной, нееклидовой и начертательной геометрии и большим мастером решения сложных геометрических задач. Скопец стал заведовать кафедрой геометрии Ярославского Пединститута и руководить отделом задач в журнале "Математика в школе".

В Казани Скопец рассказал о предложенной им новой интерпретации геометрии Лобачевского и поздравил Казанский университет с 150-летием от имени его "старшего брата" Ярославского пединститута - Демидовского лицея, который был основан в 1803 г.

В 1952 г. мы с З.А.Скопецом опубликовали совместную статью "Квадратичные кремоновы преобразования на плоскости и комплексные числа". В этой статье З.А.Скопец определил инверсии относительно конических сечений как такие преобразования плоскости, при которых всякая точка Х плоскости переходит в точку Х' пересечения поляры точки Х относительно конического сечения с диаметром этого конического сечения, проходящим через точку Х. Он доказал, что квадратичные кремоновы преобразования на проективной плоскости являются произведениями проективных преобразований на инверсии относительно конических сечений, а я выразил инверсии относительно окружностей на евклидовой и псевдоевклидовой плоскостях и относительно циклов на изотропной плоскости с помощью однотипных функций комплексного, двойного и дуального переменных.

Впоследствии З.А.Скопец защитил докторскую диссертацию, стал профессором, автором многих учебников и воспитал большое количество учеников - геметров и методистов. З.А.Скопец умер в 1984 г.

Особые группы Ли классов F и Е

Основателю теории групп Ли Софусу Ли были известны 4 бесконечные серии вещественных простых групп Ли, которые в настоящее время обозначаются А, C, D - группы коллинеаций n-мерных проективных пространств, группы движений 2-n мерных эллиптических пространств, группы симплектических преобразований (2n + 1) -мерных симплектических пространств и группы движений (2n + 1) - мерных эллиптических пространств. Группы первой и третьей из этих серий некомпактны, группы второй и четвертой из этих серий компактны. Э.Штуди и Г.Г.Фубини установили, что компактными группами класса А являются группы движений n-мерных комплексных эрмитовых эллиптических пространств, К.Шевалле установил, что компактными группами класса C являются группы движений n-мерных кватернионных эрмитовых эллиптических пространств.

В.Киллинг и Э.Картан установили, что кроме бесконечных серий групп Ли имеются 5 классов особых простых групп Ли, которые в настоящее время обозначаются G, F, E, E и Е. Э. Картан доказал, что компактная группа класса G является группой автоморфизмов алтернативного тела октонионов a + bi + cj + dk + el + fp + gq + hr, где i2 = j2 = l2= -1, ij = -ji =k, kl = -lk = r, lj = -jl = q, il = - li = p, jp = - pj = r.

Ганс Фрейденталь в 1951 г. доказал, что компактная группа класса F является группой движений октонионной эрмитовой эллиптической плоскости, а одна из некомпактных групп класса Е является группой коллинеаций октонионной проективной плоскости.

В 1954 г. я опубликовал в "Докладах Академии наук Азербайджанской ССР" заметку, в которой, применяя тот же прием, что и в моей докторской диссертации, доказал, что некомпактная группа класса Е, рассматривавшаяся Фрейденталем, является группой движений эрмитовой эллиптической плоскости над тензорным произведением алгебр октонионов и двойных чисел, откуда следует, что компактная группа класса Е является группой движений эрмитовой эллиптической плоскости над тензорным произведением алгебр октонионов и комплексных чисел. Академиков математиков в Баку в то время еще не было и эта заметка была представлена в Доклады академиком - механиком И.Г.Есьманом.