Большая Советская Энциклопедия (РИ) - БСЭ БСЭ

вдоль этой кривой (что соответствует как бы измерению длин «малым масштабом», как отметил ещё Риман). Если любые две точки пространства R соединимы кривой, то R становится метрическим пространством: расстояние r(Х, Y) между двумя точками определяется как точная нижняя грань длин кривых, соединяющих эти точки, и называется внутренней метрикой риманова пространства R.

  2) Угол между двумя исходящими из одной точки А кривыми определяется как угол между касательными векторами к кривым в точке А.

  3) Объём V n-мерной области G риманова пространства определяется по формуле:

 где .

  Геодезические. Линии, которые в достаточно малых областях являются кратчайшими из всех кривых с теми же концами, называются геодезическими, они играют роль прямых в римановом пространстве R. По определению, они являются экстремалями функционала

(см. Вариационное исчисление) и удовлетворяют уравнениям:

,

где Гijk — так называемые Кристоффеля символы, выражающиеся через компоненты метрического тензора gij и их первые производные. Через каждую точку риманова пространства в любом направлении проходит геодезическая; любые две точки А, В достаточно малой области можно соединить кратчайшей [длина её будет равна внутреннему расстоянию r(А, В) между этими точками], и притом единственной, однако единственность может нарушаться, если точки достаточно удалены друг от друга (например, полюсы сферы соединимы бесконечным множеством дуг больших кругов, являющихся кратчайшими).

  Представляет интерес (для описания периодических движений в механической задаче многих тел, например) оценка числа n замкнутых геодезических пространства R; эта задача (поставленная Ж. А. Пуанкаре в 1905 в связи с некоторыми вопросами небесной механики), несмотря на усилия многих математиков, ещё далека от завершения, наилучший результат: n ³ 2, если R односвязно.

  Соприкасающееся пространство. Между римановым пространством R и касательным к нему евклидовым пространством в окрестности U некоторой точки А можно установить такое соответствие, при котором оба пространства будут совпадать с точностью до малых выше второго порядка. Для этого проводят из точки А геодезические во всех направлениях и каждой из них в касательном пространстве сопоставляют луч соответствующего направления, а затем устанавливают такое соответствие этих лучей и геодезических, при котором длины дуг геодезических b соответствующих им лучей равны. В достаточно малой окрестности такое соответствие будет взаимно однозначным; если ввести в касательном пространстве декартовы координаты x1,..., xn и приписать их значения соответствующим точкам окрестности U, то между линейными элементами ds риманова и dso евклидова пространств будет такая связь:

+, где  при

i = 1, …, n.

откуда следует, что разность ds — dso имеет порядок не ниже, чем

.

Евклидово пространство, поставленное в такое соответствие с римановым, и называется соприкасающимся (в отличие от обычного касательного пространства). Добиться более высокого порядка совпадения за счёт специального выбора соответствия между римановым и евклидовым пространствами в общем случае уже невозможно. Поэтому коэффициенты Rmlki характеризуют отличие риманова пространства от евклидова; они являются компонентами так называемого тензора кривизны (или тензора Римана — Кристоффеля), определяемого по формуле

лишь через gik, и их производные до второго порядка.

  Тождественное обращение в нуль тензора кривизны необходимо и достаточно для того, чтобы пространство в окрестности каждой точки совпадало с евклидовым (в целом оно может отличаться от него своим строением, подобно тому как боковая поверхность цилиндра отличается от плоскости).

  Параллельное перенесение. Для всякой гладкой кривой L риманова пространства существует отображение её окрестности UL в евклидово пространство EL при котором оно оказывается соприкасающимся во всех точках кривой L. Образ кривой L в пространстве EL называется развёрткой L' этой кривой на евклидово пространство (для поверхности F в евклидовом пространстве соприкасающееся евклидово пространство вдоль кривой L можно интерпретировать как развёрнутую на плоскость огибающую семейства плоскостей, касательных к F вдоль L). Вектор (и любой тензор) параллельно переносится вдоль кривой L, если параллельно переносится соответствующий вектор (тензор) в евклидовом пространстве EL, соприкасающемся с римановым вдоль этой кривой. Аналитически параллельное перенесение вектора ai вдоль кривой xi = xi (t) определяется дифференциальным уравнением

.

  Если , то получается уравнение геодезических; т. о., геодезические можно определить как кривые, вдоль которых касательный к ним вектор переносится параллельно, т. е. развёртка геодезической — прямая, что углубляет их сходство с прямыми. Результат параллельного перенесения вектора из точки А в точку В зависит, как правило, от кривой AB, вдоль которой происходит перенесение, — в этом отсутствии «абсолютного параллелизма» наглядно проявляется отличие риманова пространства от евклидова.

  Геодезическая кривизна (первая кривизна) кривой L в точке М оценивает её отклонение от геодезической L0, касающейся L в точке М, и определяется следующим образом. Пусть касательный вектор к L в точке М параллельно перенесён в точку M' и образует там угол j с касательной к L в точке М, пусть s — длина дуги MM' кривой L. При стремлении M' к М существует предел

,

который и называется геодезической кривизной кривой L в точке М. Аналитически геодезическая кривизна кривой xI = xi (s), параметризованной длиной дуги, определяется формулами:

,

где

;

таким образом, геодезическая кривизна кривой L совпадает с (первой) кривизной её развёртки L, а геодезические линии во всех точках имеют нулевую геодезическую кривизну.

  Для кривой L в римановом пространстве R определяются также вторая и т.д. кривизны и имеют место соотношения, аналогичные обычным формулам Френе (см. Дифференциальная геометрия) для кривых евклидова пространства.

  Риманова кривизна. Пусть М — точка риманова пространства, F — двумерная поверхность xi = xi (u, u), проходящая через М, L — простой замкнутый контур на F, проходящий через М, s — площадь участка поверхности, ограниченного контуром L. Пусть произвольный вектор ai, касательный к поверхности F (т. е. линейно выражающийся через векторы ), перенесен параллельно по L.

  Тогда составляющая перенесённого вектора, касательная к F, окажется повёрнутой по отношению к ai на угол j (положительное направление отсчёта углов должно совпадать с направлением обхода L). При стягивании L в точку М существует предел

,

называется кривизной риманова пространства (римановой кривизной) в данной точке в направлении двумерной поверхности; К зависит не от поверхности, а лишь от её направления в точке М, т. е. от направления двумерной плоскости касательного евклидова пространства, содержащей векторы .

  Риманова кривизна К связана с тензором кривизны формулой: