Большая Советская Энциклопедия (РИ) - БСЭ БСЭ

  В 1851 защитил докторскую диссертацию «Основы общей теории функций одной комплексной переменной». С 1854 приват-доцент, с 1857 профессор Гёттингенского университета. Лекции Р. легли в основу ряда курсов (математической физики, теории тяготения, электричества и магнетизма, эллиптических функций), изданных после смерти Р. его учениками. Умер от туберкулёза.

  Работы Р. оказали большое влияние на развитие математики 2-й половины 19 в. и в 20 в. В докторской диссертации Р. положил начало геометрическому направлению теории аналитических функций; им введены так называемые римановы поверхности, важные при исследованиях многозначных функций, разработана теория конформных отображений и даны в связи с этим основные идеи топологии, изучены условия существования аналитических функций внутри областей различного вида (так называемый принцип Дирихле) и т.д. Разработанные Р. методы получили широкое применение в его дальнейших трудах по теории алгебраических функций и интегралов, по аналитической теории дифференциальных уравнений (в частности, уравнений, определяющих гипергеометрические функции), по аналитической теории чисел (например, Р. указана связь распределения простых чисел со свойствами дзета-функции, в частности с распределением её нулей в комплексной области — так называемая гипотеза Римана, справедливость которой ещё не доказана) и т.д.

  В ряде работ Р. исследовал разложимость функций в тригонометрические ряды и в связи с этим определил необходимые и достаточные условия интегрируемости в смысле Р. (см. Интеграл), что имело значение для теории множеств и функций действительного переменного. Р. также предложил методы интегрирования дифференциальных уравнений с частными производными (например, с помощью так называемых инвариантов Римана и функции Римана).

  В знаменитой лекции 1854 «О гипотезах, лежащих в основании геометрии» (1867) Р. дал общую идею математического пространства (по его словам, «многообразия»), включая функциональные и топологические пространства. Он рассматривал здесь геометрию в широком смысле как учение о непрерывных n-мерных многообразиях, т. е. совокупностях любых однородных объектов и, обобщая результаты Гаусса по внутренней геометрии поверхности, дал общее понятие линейного элемента (дифференциала расстояния между точками многообразия, см. Риманова геометрия), определив тем самым то, что называется финслеровыми пространствами. Более подробно Р. рассмотрел так называемые римановы пространства, обобщающие пространства геометрий Евклида, Лобачевского и Римана (см. Неевклидовы геометрии), характеризующиеся специальным видом линейного элемента, и развил учение об их кривизне. Обсуждая применение своих идей к физическому пространству, Р. поставил вопрос о «причинах метрических свойств» его, как бы предваряя то, что было сделано в общей теории относительности (см. Тяготение).

  Предложенные Р. идеи и методы раскрыли новые пути в развитии математики и нашли применение в механике и физике.

  Соч.: Gesammelte mathematische Werke und wissenschaftlicher Nachlass, 2 Aufl., N. Y., 1953; в рус. пер. — Сочинения, М. — Л., 1948.

  Лит.: Клейн Ф., Лекции о развитии математики в XIX столетии, пер. с нем., ч. 1, М. — Л., 1937.

Г. Ф. Б. Риман.

Риман Карл Вильгельм Юлиус Хуго

Ри'ман (Riemann) Карл Вильгельм Юлиус Хуго (18.7.1849, Гросмельра, близ г. Зондерсхаузен, — 10.7.1919, Лейпциг), немецкий музыковед. Профессор Лейпцигского университета (с 1901), директор основанного им института музыкознания (Collegium musicum, с 1908), института музыкальной науки (с 1914). Деятельность Р. охватывает все области музыкальной теории, а также историю музыки, музыкальную эстетику и критику. При анализе музыкального произведения он привлекал данные естествознания для объяснения явлений гармонии, ритма, музыкальной формы, агогики и др. С его именем связано развитие так называемой функциональной теории в музыковедении. Опираясь на взгляды Ж. Ф. Рамо, Р. разработал систему функциональных отношений аккордов. Среди многочисленных работ Р. — «Музыкальный словарь» (1882), выдержавший затем 12 изданий и переведённый на многие языки (рус. пер. 1901), «Руководство по истории музыки» (т. 1—5, 1901—13). Труды Р. обогатили музыковедение важными теоретическими выводами, вместе с тем в них сказалась ограниченность позитивистской методологии автора, зачастую отсутствие подлинного историзма. Почётный член Национальной академии «Санта-Чечилия» в Риме (1887), королевской Академии во Флоренции (1894), Музыкальной ассоциации в Лондоне (1900), почётный доктор музыки Эдинбургского университета (1899).

  Лит.: Мазель Л., Функциональная школа, в книга: Рыжкин И., Мазель Л., Очерки по истории теоретического музыкознания, в. 1, М., 1934; История европейского искусствознания, т. 4, книги 1—2 — Вторая половина XIX в. — нач. XX в., М., 1969.

Римана геометрия

Ри'мана геоме'трия, эллиптическая геометрия, одна из неевклидовых геометрий, т. е. геометрическая теория, основанная на аксиомах, требования которых (в значительной части) отличны от требований аксиом евклидовой геометрии. Основными объектами, или элементами, трёхмерной Р. г. являются точки, прямые и плоскости; основные понятия Р. г. суть понятия принадлежности (точки прямой, точки плоскости), порядка (например, порядка точек на прямой или порядка прямых, проходящих через данную точку в данной плоскости) и конгруэнтности (фигур). Требования аксиом Р. г., касающиеся принадлежности и порядка, полностью совпадают с требованиями аксиом проективной геометрии. Соответственно, в Р. г. имеют место, например, следующие предложения: через каждые две точки проходит одна прямая, каждые две плоскости пересекаются по одной прямой, каждые две прямые, лежащие в одной плоскости, пересекаются (в одной точке), точки на прямой расположены в циклическом порядке (как и прямые, лежащие в одной плоскости и проходящие через одну точку). Требования аксиом Р. г., касающиеся конгруэнтности, сходны с требованиями соответствующих аксиом геометрии: во всяком случае они обеспечивают движения фигур по плоскости и в пространстве Римана столь же свободные, как на плоскости и в пространстве Евклида. Метрические свойства плоскости Римана «в малом» совпадают с метрическими свойствами обыкновенной сферы. Точнее: для любой точки плоскости Римана существует содержащая эту точку часть плоскости, изометричная некоторой части сферы; радиус R этой сферы — один и тот же для всех плоскостей данного пространства Римана. Число К = 1/R2 называется кривизной пространства Римана (чем меньше К, тем ближе свойства фигур этого пространства к евклидовым). Свойства плоскости Римана «в целом» отличаются от свойств целой сферы; так, например, на плоскости Римана две прямые пересекаются в одной точке, а на сфере два больших круга, которые играют роль прямых в сферической геометрии, пересекаются в двух точках; прямая, лежащая на плоскости, не разделяет эту плоскость (т. е., если прямая а лежит в плоскости a, то любые две точки плоскости a, не лежащие на прямой а, возможно соединить отрезком, не пересекая прямой а).

  По-видимому, первое сообщение о Р. г. сделано Б. Риманом в его лекции «О гипотезах, лежащих в основании геометрии» (1854, опубликовано в 1867), где Р. г. рассматривалась как частный случай римановой геометрии — теории римановых пространств в широком смысле. Р. г. относится к теории пространств постоянной положительной кривизны.

  Лит. см. при статье Неевклидовы геометрии.

  Н. В. Ефимов.

Римана дзета-функция

Ри'мана дзе'та-фу'нкция (математическая), см. Дзета-функция.

Римана интеграл

Ри'мана интегра'л, обычный определённый интеграл. Само определение Р. и. по существу было дано О. Коши (1823), который, однако, применял его к непрерывным функциям. Б. Риман впервые указал (1853, опубликовано в 1867) необходимое и достаточное условие существования определённого интеграла, которое в современных терминах может быть выражено так: для существования определённого интеграла функции на некотором интервале необходимо и достаточно, чтобы: 1) интервал был конечным; 2) функция была на нём ограниченной и 3) множество точек разрыва функции на этом интервале имело лебеговскую меру нуль (см. Мера множества).

Римана сфера

Ри'мана сфе'ра, одно из возможных геометрических изображений совокупности комплексных чисел, введённое Б. Риманом. Комплексное число