9. Квантовая механика II - Ричард Фейнман

-bsinq/2. (15.34)

Те два процесса, к которым относятся эти амплитуды, показаны

на фиг. 15.9.

Фиг. 15.9. Два возможных состояния распада L0.

Теперь зададим такой немудреный вопрос. Пусть мы соби­раемся регистрировать протоны, вылетающие под углом q, не интересуясь их спином. Два спиновых состояния (вверх и вниз по оси z') различимы, даже если бы мы того и не хотели. Значит, чтобы получить вероятность, надо амплитуды возвысить в квад­рат и сложить. Вероятность f(q) обнаружить протон в неболь­шом телесном угле qW при q равна

Вспоминая, что

запишем f(q) так:

Угловое распределение имеет вид

Одна часть вероятности не зависит от q, а другая зависит от cosq линейно. Из измерений углового распределения мы можем получить a и b, а значит, и |а| , и |b|.

Можно получить ответ и на многие другие вопросы. Может быть, вас интересуют лишь те протоны, спин которых направлен вверх относительно старой оси z? Каждый член в (15.33) и (15.34) даст амплитуду того, что спин протона окажется направ­ленным вверх или вниз по отношению к оси z' (|+z'> и |-z'>). А состояние, когда спин направлен вверх относитель­но старой оси, | + z), можно выразить через два базисных со­стояния | + z'> и |-z'>. Можно тогда взять две амплитуды (15.33) и (15.34) с надлежащими коэффициентами (cosq/2 и -sinq/2) и получить полную амплитуду

Ее квадрат даст вероятность того, что протон вылетит под углом q со спином, направленным туда же, куда направлен спин L0 (вверх по оси z).

Если бы четность сохранялась, можно было бы сделать еще одно утверждение. Распад на фиг. 15.8 — это просто зеркальное отражение, скажем в плоскости yz, распада с фиг. 15.7. Если бы четность сохранялась, b равнялось бы либо a, либо -а. Тогда коэффициента в (15.37) был бы равен нулю и распад оди­наково часто происходил бы во всех направлениях.

Результаты опытов говорят, однако, что при распаде асим­метрия существует. Измеренное угловое распределение дейст­вительно, как мы предсказали, меняется по закону cosq, а не по закону cos2q или по другой степени. Из этого углового распределения, стало быть, следует, что спин L0 равен 1/2. Кроме того, мы видим, что четность не сохраняется. Действи­тельно, коэффициента на опыте найден равным -0,62±0,05, так что b примерно вдвое больше а. Отсутствие симметрии от­носительно отражений совершенно очевидно.

Вы видите, как много можно вывести из сохранения момента количества движения. Еще некоторые примеры будут приведены в следующей главе.

· · ·

Замечание после лекции. Под амплитудой а здесь мы подразумевали амплитуду того, что состояние

| протон летит по + z, спин по + z> обра­зовано за бесконечно малое время dt из состояния |L, спин по + z>, или, иными словами, что

<протон летит по +z, спин по +z|H|L, спин по + z>= iha, (15.38)

где H — гамильтониан всего мира или по крайней мере той его части, которая ответственна за L-распад. Сохранение момента количества дви­жения означает, что у гамильтониана должно быть такое свойство:

<протон летит по +z, спин по -z|H|L, спин по +z>=0. (15.39)

Под амплитудой b подразумевается, что

<протон летит по + z, спин по —z|H|L, спин по -z>=ihb. (15.40)

Сохранение момента количества движения предполагает, что

<протон летит по + z, спин по +z|H|L, спин по -z>=0. (15.41)

Если вам не ясно, как написаны амплитуды (15.33) и (15.34), можно их записать в более математической форме. Когда мы писали (15.33), нам нужна была амплитуда того, что Л со спином, направленным по +z, распадается на протон, движущийся вдоль направления +z' и обладаю­щий спином, направленным тоже по +z', т. е.

<протон летит по + z', спин по +z'|H|L, спин по +z>. (15.42)

По общим теоремам квантовой механики эту амплитуду можно записать так:

2S<протон летит по + z', спин по +z'|H|L, i><L, i|L, спин по +z>,

(15.43)

где суммирование проводится но базисным состояниям |L, i> покоящейся L-частицы. Поскольку спин L-частнцы равен 1/2,таких состояний два, л каком бы базисе мы ни работали. Если в качестве базисных мы выберем состояния со спином, направленным вверх и вниз по отношению к оси z'(|+z'>, |-z'>), то амплитуда (15.43) будет равна сумме

<протон летит по +z', спин по +z'|H|L, +z'> <L, +z'|L, +z>+ +<протон летит по +z', спин по +z'|H|L,-z'><L,-z|L, +z>. (15.44).

Первый множитель в первом слагаемом равен а [из (15.38)], а первый множитель во втором слагаемом равен нулю — из формулы (15.41), в свою очередь следующей из сохранения момента количества движения. Второй множитель <L, +z'|L, +z> из первого слагаемого — это как раз амплитуда того, что частица со спином 1/2, направленным вверх по одной оси, будет также обладать спином, направленным вверх по другой оси, повернутой относительно первой на угол q . Такая амплитуда равна cosq/2 [см. табл. 4.2 (вып. 8)]. Так что (15.44) равно просто а созq/2, как и было написано в (15.33). Амплитуда (15.34) следует из таких же рассуж­дений для L-частицы со спином, направленным вниз.

· · ·

§ 6. Сводка матриц поворота

Теперь мы хотим собрать воедино все, что мы узнали о пово­ротах частиц со спином 1/2 и спином 1; это будет удобно для дальнейшего. Ниже вы найдете таблицы двух матриц поворота Rz(j) и Ry(q) для частиц со спином 1/2, для частиц со спином 1 и для фотонов (частиц со спином 1 и нулевой массой).

Для каждого из них приведены элементы матрицы <j|R|i> по­воротов вокруг оси 2 или оси y. Они, конечно, в точности экви­валентны амплитудам типа <+Т|0S>, которыми мы поль­зовались в предыдущих главах. Под Rz(j) мы понимаем, что берется проекция состояния на новую систему координат, по­вернутую на угол j вокруг оси z, причем для определения направ­ления поворота всегда применяется правило правой руки; RV(q) означает, что оси координат повернуты на угол 9 вокруг оси у. Зная эти два поворота, вы запросто сможете рассчитать любой поворот. Как обычно, матричный элемент пишется так, что со­стояние слева — это базисное состояние новой (повернутой) системы, а состояние справа — это базисное состояние старой (неповернутой) системы. Клетки таблицы можно истолковывать по-разному. К примеру, клетка eij/2 в табл. 15.1 означает, что матричный элемент < — |R|—> = е-ij/2. Но это означает также, что R^| —>=е-ij/2| — } или что

<— | R^=<— |e-ij. Это все одно и то же.

* Вспомните, что спин — это аксиальный вектор и при отражении он переворачивается.

* Мы провели ось z' в плоскости xz и используем матричные элементы для Ry (q). То же получилось бы и при другом выборе осей.

* Мы сейчас предполагаем, что механизм квантовой механики вам настолько знаком, что обо всем можно говорить на чисто физическом языке, не тратя времени на расписывание всех математических деталей. Но если то, что мы здесь говорим, вам не очень ясно, то обратитесь к концу этого параграфа, где приведены некоторые недостающие детали.

* Мы попытались на худой конец доказать, что компонента момента количества движения вдоль направления движения у частицы с нулевой массой должна быть, например, кратной h/2, а не h/3. Но даже приведя в действие всевозможные свойства преобразований Лоренца (и многое дру­гое), мы с этим не справились. Может, этой не так. Надо было бы потол­ковать об этом с профессором Вигнером, который знает все о таких вещах.

* Прошу прощения! Этот угол имеет обратный знак по отношению к использовавшемуся в гл. 9, § 4.

** Как правило, момент количества движения атомной системы весьма удобно измерять в единицах h. Тогда можно говорить, что частица со спином 1/2 обладает по отношению к любой оси моментом количества движения ±1/2. И вообще, что z-компонента момента количества движе­ния есть т. Не приходится все время повторять h.