Математические головоломки и развлечения - Мартин Гарднер

Обращаясь к двумерным структурам, мы видим, что, например, христианский крест симметричен, а древний китайский религиозный символ (рис. 88) — несимметричен.

Рис. 88 Китайская монада инь — ян.

Его темные и светлые участки называются инь и ян. Они символизируют все фундаментальные противоположности, в том числе правое и левое. Их комбинаторные аналоги — четные и нечетные числа.

Асимметрия китайского символа делает менее удивительным тот факт, что два именно китайских физика (фамилия одного из них к тому же была Ян!) получили в 1957 году Нобелевскую премию за теоретическую работу, которая привела к открытию несохранения четности. В отличие от музыки все асимметричные рисунки и изображения можно без ущерба для эстетической ценности произведения отражать в зеркале. Рембрандт однажды сделал гравюру с зеркального отражения своего знаменитого «Снятия с креста».

Высказывалось предположение, что распространенная на Западе привычка читать слева направо будет оказывать некоторое влияние на восприятие отраженного изображения. Если даже это и так, то, во всяком случае, влияние привычки читать слева направо сказывалось крайне незначительно.

Большинство слов, даже набранных типографским шрифтом, несимметрично, и поэтому обычно прочесть отраженное в зеркале слово невозможно, однако не всегда. Если вы посмотрите на зеркальное отражение слов «QUALITY CHOICE», напечатанных на боковой поверхности пачки американских сигарет «Кэмел», держа пачку параллельно полу так, чтобы ее верхний конец смотрел вправо, то увидите неожиданное зрелище: слово «QUALITY» станет совершенно неудобочитаемым, а слово «CHOICE» останется без малейшего изменения.[30] Причина кроется в том, что написанное прописными буквами слово «CHOICE» имеет горизонтальную ось симметрии, потому его можно наложить на зеркальное отражение, перевернув вверх ногами. Другие слова, например «ТОМАТ», «НАТАША», асимметричны в горизонтальной записи, но, написанные по вертикали, приобретают ось симметрии.

Рассматривая привычные трехмерные структуры, мы видим, что в них изящно сочетаются симметричные и асимметричные элементы. Большинство живых организмов с виду симметричны, исключение составляют спиральные раковины, клешни краба-скрипача, клюв у клеста и глаза плоских рыб, расположенные на одной стороне головы. Даже поведение может быть асимметричным; например, стаи летучих мышей, живущих в пещерах Карло-Карловых Вар, кружат по спирали против часовой стрелки. Предметы, сделанные руками человека, обычно выглядят симметричными, но при ближайшем рассмотрении некоторые из них все-таки оказываются несимметричными, например ножницы, лист Мёбиуса, гексафлексагоны и простые замкнутые узлы. Два узла на рис. 89 имеют одинаковую топологическую структуру, но не могут переходить друг в друга. Игральная кость также имеет две различные формы. Сумма очков на противоположных гранях должна быть равна семи, но существует два способа разметки граней; получающиеся кости являются зеркальным отражением друг друга.

Рис. 89 Левые и правые листы Мёбиуса (вверху), узлы (в середине) и игральные кости (внизу).

Скрещивая руки на груди, вы завязываете их узлом, причем это можно сделать двумя разными способами. Однако мы настолько привыкаем к одному способу, что бывает очень трудно сложить руки наоборот. Скрестите руки как обычно, возьмитесь за концы веревки и разъедините руки. Теперь узел, которым были завязаны руки, перешел на веревку. Повторите свое движение, сложив руки наоборот, — вы получите узел, являющийся зеркальным отражением первого. Существует одна интересная (и до сих пор не решенная) топологическая задача: доказать, что непрерывной деформацией замкнутой кривой зеркальные узлы нельзя перевести друг в друга.

Найти доказательство этого утверждения не удалось еще никому, хотя эти два узла очень легко объединить в один симметричный (рифовый, или прямой) узел. Проделав то же с двумя узлами одной и той же «ручности», вы получите асимметричный узел.

Все это далеко не тривиальные факты. Если некоторые части-частицы в самом деле обладают какой-то асимметрией в пространстве, то физикам придется объяснять, почему при встрече частица и античастица аннигилируют и выделяют симметричную энергию.

Глядя в зеркало, Алиса размышляла над тем, можно ли пить зазеркальное молоко. Одно время считалось, что такое молоко несъедобно, потому что наш организм привык иметь дело с «левыми» молекулами и не смог бы справиться с «правыми». Сейчас ситуация значительно серьезнее. Эксперименты по сохранению четности говорят о том, что частица и античастица представляют собой две зеркальные формы одного и того же образования. Если это верно, а так считают большинство физиков, то первая же попытка Алисы попробовать зазеркальное молоко закончилась бы сильнейшим взрывом. [Скорее всего, как только Алиса приблизилась бы к антимолоку, начавшаяся аннигиляция создала бы между ними высокое давление, которое откинуло бы ее в сторону. Вспомните, как медленно горит оставленный на свободе порох. ] Можно с уверенностью сказать, что физики еще долго будут обсуждать проблемы правого и левого.

* * *

Вопрос, заданный в начале этой главы, побудил Р. Тширги и Дж. Л. Тэйлора написать следующие письма.

Уважаемая редакция!

В веселой и захватывающей статье Мартина Гарднера о симметрии читателю задается безнадежный вопрос: «Почему зеркало меняет местами правое и левое, но не переворачивает верх и низ?» Отвечая на него, обычно приводят подробнейшее описание хода лучей и оптических законов. Но нам кажется, что существует даже более серьезная причина, которую надо искать в области психофизиологии. Внешне люди двусторонне симметричны, однако поведение их довольно несимметрично. Умением отличать правое от левого мы, как писал в 1900 году Эрнст Мах, обязаны асимметрии наших органов чувств. Таким образом, мы представляем собой до некоторой степени асимметричный дух, вселенный во внешне симметричное тело, таков по крайней мере результат беглого исследования нашего внешнего облика. Здесь термин «симметрия» употребляется в информационном смысле и означает, что наблюдатель никаким другим способом, кроме как с помощью органов чувств, не может различить два или более объектов вокруг себя. Уточняя наблюдение, он, безусловно, может получить информацию о каких-нибудь различиях, и тогда рассматриваемая система перестанет быть симметричной.

Стоя перед зеркалом, мы видим в нем внешне двусторонне симметричную структуру, и это создает у нас неправильное представление о том, что мы сами и наше отражение совершенно идентичны, а не являются энантиоморфами (существами с противоположной «ручностъю»). Поэтому мы можем мысленно повернуть в трехмерном пространстве наше отражение на 180° вокруг вертикальной оси и, совершив параллельный перенос на расстояние, равное удвоенному расстоянию до зеркала, совместить себя и отражение. При этом мы исходим из предположения, что у нашего отражения органы чувств и центральная нервная система такие же, как у нас самих, а не как у нашего энантиоморфа. С этим и связано ошибочное утверждение, будто, когда мы поднимаем правую руку, отражение поднимает левую. Если мы теперь (что более точно) представим себе, что органы чувств внутри зеркального отражения энантиоморфны нашим, то станет ясно, что его определение правого и левого надо тоже отразить в зеркале, и поэтому, когда мы поднимаем ту руку, которая является правой для нас, отражение тоже поднимает руку, но ту, которая является правой для него. Надо снабдить зеркального двойника не нашей собственной координатной системой, а системой координат, отраженной в зеркале. Это очень легко показать.

Возьмите в одну руку бумажный пакет и следующим образом переопределите координатные оси: «голова — ноги», «вперед — назад» и «рука — пакет» (вместо «левое — правое»). Встаньте теперь перед зеркалом и убедитесь в том, что, когда вы качаете головой, отражение качает головой, когда вы шевелите ногой, отражение шевелит ногой, когда вы шевелите рукой, отражение шевелит рукой, а когда вы поднимаете пакет, отражение тоже поднимает пакет. Что же случилось с перестановкой правого и левого? Асимметрия исчезла как призрак в результате простейшей процедуры: вы сделали себя внешне несимметричным относительно замены правого на левое.

Теперь вам больше не удастся совместить себя и отражение поворотом на 180° вокруг вертикальной или любой другой оси.

Отсюда видна энантиоморфная природа нашего отражения.

Для иллюстрации того, как общепринятое соглашение о вращении предметов вокруг вертикальной оси приводит к заключению о перестановке в зеркале правого и левого не только у нас самих, но и у окружающих предметов, рассмотрим обычную карту Америки, на которой север находится вверху, а восток — справа. Чтобы увидеть зеркальное отражение этой карты, мы обычно вращаем ее по направлению к зеркалу вокруг оси север — юг. Несомненно, такая привычка появилась от того, что большая часть движений, которые мы делаем, изучая окружающие предметы, представляет собой вращение вокруг вертикальной оси. Если бы, например, карта висела на стене напротив зеркала, мы бы сначала посмотрели в карту, а потом повернулись бы вокруг вертикальной оси, чтобы увидеть отражение. В обоих случаях восток был бы у нас слева, но север оставался бы всегда наверху. Однако если для того, чтобы увидеть зеркальное отражение, мы повернем карту вокруг оси восток — запад или будем смотреть на отражение, стоя на голове, то восток у нас окажется справа, зато север переместится вниз. Таким образом, оказывается, что зеркало перевернуло верх и низ, а не правое и левое. Единственной определенной координатной системой является система, которую наблюдатель может привязать к окружающим предметам, а координатные оси при этом выбираются так, чтобы начало координат можно было поместить в любую точку пространства, доступную восприятию наблюдателя. Описывая относительное расположение частей объекта, мы обычно так располагаем координатную систему, чтобы начало координат оказалось в самом объекте. Тогда координатные оси верх — низ, сзади — спереди и правое — левое будут соответствовать осям наблюдателя. Благодаря движению объекта или самой координатной системы (то есть наблюдателя) предметы в такой системе координат вращаются и некоторые координаты объекта будут менять знак. В результате вращения предмета вокруг вертикальной оси меняются знаки его координат правое — левое и вперед — назад; вращение вокруг оси правое — левое меняет знак координат вперед — назад и верх — низ; наконец, вращение вокруг оси вперед — назад меняет знак координат верх — низ и правое — левое. Поскольку система координат связана с наблюдателем, вращение наблюдателя не влияет на знаки координат частей его тела. Таким образом, если мы смотрим на себя в зеркало, стоя на голове, мы все равно ошибочно считаем, будто зеркало меняет местами правое и левое, потому что, перевернув себя, мы одновременно перевернули и систему координат.