Математические головоломки и развлечения - Мартин Гарднер

Многие читатели прислали подробный анализ игры на доске 4x4. Простой стратегии найти не удалось никому, но теперь уже нет никаких сомнений в том, что второй игрок всегда может выиграть как на этой доске, так и на доске 4 х 4 с заранее снятыми угловыми фишками. Было высказано предположение, что на любой квадратной или прямоугольной доске, имеющей хотя бы одну нечетную сторону, начинающий игру одерживает победу, если он снимает первым ходом весь средний ряд, а на досках с четными сторонами всегда выигрывает второй игрок. Однако эти предположения до сих пор не доказаны.

Сейчас положение вещей таково: для «так-тикстов», овладевших игрой 4x4, лучше всего начать играть на доске 6 х 6. Она достаточно мала для того, чтобы игра не слишком затягивалась, и все-таки достаточно велика, чтобы игра была захватывающей и результат ее нельзя было предсказать.

Ответы

В первой задаче можно было выиграть несколькими разными способами: например, взяв фишки с полей 9-10-11-12 или 4-8-12-16.

Для второй задачи выигрыш приносит взятие фишек, стоящих на клетках 9 или 10.

Глава 15. ПРАВОЕ ИЛИ ЛЕВОЕ?

Недавнее «яркое и удивительное открытие» (по выражению Роберта Оппенгеймера) существования правой и левой «ручности»[27] у фундаментальных частиц несет с собой много новых идей. Имеют ли все частицы во Вселенной одинаковую «ручность»? Будет ли когда-нибудь восстановлена «двуручность» природы, если обнаружатся галактики, состоящие из антивещества — вещества, сделанного из частиц, которые «ведут себя наоборот», как говорила Алиса об отражениях предметов в зеркале?

Мы в нашей повседневной жизни настолько привыкли к зеркальным отражениям, что уверены, будто прекрасно их понимаем.

Многих озадачит вопрос: «Почему зеркало меняет местами правое 8 левое, но не переворачивает верх и низ?» Вопрос еще более запутывается существованием очень простых в изготовлении зеркал, которые вовсе не переворачивают правое и левое.

[История, очень похожая на историю с зеркалом, неожиданно произошла в совсем другой области — в лунной картографии. В Давние времена Луну рисовали так: север помещали вверху, а юг соответственно внизу. Восточной называли левую часть карты, а западной — правую; это прямо противоположно тому, что принято называть востоком и западом на земных картах. Причина такой Путаницы кроется в том, что мы смотрим на Луну, стоя спиной к Полярной звезде, отсюда естественным было назвать востоком ту часть Луны, которая обращена к востоку. У Луны восток и запад Поменялись местами, как в зеркале.

Позже (и сейчас) в астрономических трубах исчезли переворачивающие линзы — астрономов не беспокоило, что простым глазом мы видим одно изображение, а в трубе — перевернутое. (На астрономических снимках серп, смотрящий вправо, соответствует растущей Луне, а серп, смотрящий влево, — убывающей. Земля и Луна вращаются вокруг своих осей в одну и ту же сторону.) В атласах стали помещать Луну так, что юг оказывался наверху, а восток справа. Так что теперь на картах верх и низ поменялись местами!

Дальше события развивались так. В 50-х годах астрономы забеспокоились. Им показалось, что космонавту, попавшему на Луну, будет непривычно видеть Солнце восходящим на западе и заходящим на востоке (хотя каждое такое событие происходит только раз в месяц). В 1961 году Международный астрономический союз переименовал восток Луны в запад, а запад Луны — в восток. Это все равно, что назвать правую руку при зеркальном изображении левой!

На всякий случай отметим, что в соответствии с современной терминологией Море дождей находится в северо-западной части Луны (до 1951 года оно было в северо-восточной!).]

И Платон в своих «Диалогах», и Лукреций в трактате «О природе вещей» описывают зеркало, сделанное из слегка изогнутого полированного металлического прямоугольника, которое изображено на рис. 87 в центре.

Рис. 87 Обычное зеркало и отражение в нем (слева) и два зеркала, дающие необращенные изображения (в центре и справа).

Взглянув в это зеркало, вы увидите себя таким, каким вас видят окружающие. Машинописный текст, отраженный в таком зеркале, читается обычным образом, без всяких трудностей.

Еще проще сделать зеркало, которое не меняет местами правое и левое, из двух зеркал без рамок, поставленных под прямым углом друг к другу, как показано на рис. 87. Что будет с вашим отражением, если это зеркало повернуть на 90°? Изображение перевернется вверх ногами (ранее описанное зеркало обладает этим же свойством).

Симметричной называется такая структура, которая не меняется при отражении в зеркале. Она может быть наложена точка в точку на своего зеркального двойника, а асимметричная — не может. Два вида асимметричных предметов обычно различают, называя их «правыми» и «левыми». Хотя оба вида различаются между собой, вам не удастся никакими опытами обнаружить ни у одного из них такого свойства, которого не было бы у другого. Это глубоко озадачило Канта. «Что может сильнее походить на мою руку, — писал он, — чем ее отражение в зеркале? И тем не менее я не могу совместить ту руку, которую я вижу в зеркале, со своей рукой».

Эта удивительная двойственность присуща структурам любого числа измерений, в том числе и того, которое больше трех. Например, отрезок прямой симметричен в одном направлении, но отрезок, составленный из длинного и короткого отрезков, асимметричен. Отражая его в зеркале, мы увидим, что длинный и короткий отрезки поменялись местами. Обращаясь к словам, как к символам, ориентированным в одном направлении, мы увидим, что в большинстве своем они симметричны, однако существуют слова-полиндромы типа «радар», «заказ», читающиеся одинаково в обоих направлениях.

Существуют даже полиндромные предложения:[28]

Draw pupil's lip upward! — Подтяни вверх губу ученика!

A man, a plan, a canal — Panama! — Человек, план, канал — Панама!

Egad! A base tone denotes a bad age. — Ей-богу! Низкий голос указывает на пожилой возраст.

«Мадам, Адам!» — первые слова Адама (вероятно, Ева ответила на них: «Угу!»).

Поэты нередко используют полиндромные звуковые эффекты.

Хороший тому пример — известные лирические стихи Роберта Браунинга «Ночная встреча». Каждая строка в них написана по схеме abccba, чтобы передать в стихах шум набегающих морских волн.

Мелодии также можно рассматривать как звуки, упорядоченные во времени. В пятнадцатом веке было модно сочинять полиндромные каноны,[29] в которых побочная тема лишь повторяла с конца к началу главную тему. Многие композиторы (в том числе Гайдн, Бах, Бетховен, Хиндемит и Шёнберг) использовали отражение мелодий для создания контрапунктных эффектов, но, как правило, перевернутые мелодии режут слух.

С помощью магнитофона можно провести много забавных экспериментов по музыкальному отражению. Фортепьянная музыка, проигранная в обратном направлении, воспринимается как органная, потому что каждая нота звучит сначала чуть слышно и лишь потом достигает полного звучания. Совершенно потрясающего эффекта можно достичь, если проигрывать пленку в обратном направлении в помещении с хорошей реверберацией и записывать музыку на второй магнитофон. Тогда, перевернув вторую запись, мы услышим первоначальную мелодию, но каждому звуку будет предшествовать эхо.

Музыкальное отражение можно получить и другим способом.

Для этого надо повернуть пианиста на 180°, то есть так, чтобы он играл слева направо, но высокие и низкие ноты на клавиатуре поменялись бы местами. Отраженная музыка получилась бы и в том случае, если бы пианист играл как обычно, но на инструменте, отраженном в зеркале. Мелодия стала бы неузнаваемой, кроме того, возник бы неожиданный эффект замены мажорного лада минорным, и наоборот. Этот прием также использовали в канонах композиторы эпохи Возрождения и в контрапункте — композиторы, жившие позднее. Классическим примером может служить «Искусство фуги» И. С. Баха, где двенадцатая и тринадцатая фуги допускают обращение именно второго типа. Моцарт однажды написал канон, в котором побочной темой служила главная тема, читаемая с конца. Это произведение два музыканта могли бы исполнять по одним и тем же нотам, только один из них читал бы их слева направо, а другой — справа налево.

Обращаясь к двумерным структурам, мы видим, что, например, христианский крест симметричен, а древний китайский религиозный символ (рис. 88) — несимметричен.

Рис. 88 Китайская монада инь — ян.

Его темные и светлые участки называются инь и ян. Они символизируют все фундаментальные противоположности, в том числе правое и левое. Их комбинаторные аналоги — четные и нечетные числа.