Популярно о конечной математике и ее интересных применениях в квантовой теории - Феликс Лев

Как одно из следствий указанных результатов, отмечу следующее. Как показано в моих работах, в квазиклассическом приближении, результаты квантовой теории с симметрией де Ситтера для космологического расширения формально такие же как и результаты OTO, если Λ=3/R^2. Как объяснено выше, вопрос о том почему R такое, а не другое, не стоит т.к. ответ такой: R такое потому что мы хотим измерять расстояния в метрах. Поэтому, в моем подходе, результат для космологического расширения получается без всяких модельных предположений и вопрос о том почему Λ такое, а не другое не стоит. Мой подход к космологическому расширению более общий чем подход ОТО т.к. ОТО – чисто классическая теория, а любая классическая теория должна быть следствием квантовой в квазиклассическом приближении. Кроме того, если в ОТО, R – модельно зависимый параметр, то моем подходе нет свободы в выборе R. Поэтому, в моем подходе, космологическое расширение объясняется без всяких модельных предположений и модельных параметров, и, для этого объяснения, dark energy, quintessence и прочая экзотика не нужны.

11.4. Почему конечная математика самая фундаментальная и фундаментальная квантовая теория будет основана на конечной математике

В воздухе всегда была идея, что избежать расходимостей в квантовой теории можно будет только если теория будет основана на конечной математике. Какие-то попытки в этом направлении были, но они не были популярны у физиков. Наверное, одна из основных причин та, что, как правило, физики не знают даже самых азов конечной математики. Математическое образование на физических факультетах исходит из того, что математика нужна физикам только для приложений. А т.к. вся физика, в том числе и квантовая, основана на стандартной классической математике, то и незачем преподавать физикам конечную математику.

Как я отмечал в разделе 9.5, из самого факта существования атомов и элементарных частиц сразу становится очевидным, что стандартное деление не может быть фундаментальным понятием. А значит понятия бесконечно малых, бесконечно больших, непрерывности, дифференцируемости и т.д. могут быть только приближенными, и фундаментальная квантовая теория не должна быть на них основана. Я спрашивал у физиков, согласны ли они с этим. Философия абсолютного большинства физиков такая, что раз стандартная математика работает, но незачем философствовать и придумывать что-то другое, тем более, что ничего другого они не знают.

Такая философия общепринята несмотря даже на то, что проблема расходимостей как возникла в 40х годах 20-го века, так и существует до сих пор. В так наз. перенормируемых теориях эту проблему можно как-то обойти, но в квантовой гравитации и это не удается. Тем не менее, большинство физиков не считают проблему расходимостей серьезной. По их мнению, раз теория дает 8 правильных знаков для аномальных магнитных моментов электрона и мюона, 5 правильных знаков для Лэмбовского сдвига и т.д., то рано или поздно все остальные проблемы тоже решатся при помощи стандартной математики.

Например, Weinberg, который внес большой вклад в QFT, пишет что QFT должна рассматриваться "in the way it is," но в то же время она является "low energy approximation to a deeper theory that may not even be a field theory, but something different like a string theory". Т. е. он признает, что проблемы существуют и думает, что они будет решены в какой-то теории обобщающей QFT, но которая опять-таки будет основана на стандартной непрерывной математике.

Таким образом, получается странная ситуация: все, вроде бы, согласны, что природа дискретна и об этом говорит даже термин "квантовая теория". Но все проблемы теории пытаются решить при помощи непрерывной математики. Т.е., все получается как в анекдоте, который рассказал мне мой друг Толя Штилькинд: "Группа обезьян получила задание достичь Луну. После этого все обезьяны начали карабкаться на деревья. Та обезьяна, которая залезла выше всех, думает, что у нее самый большой прогресс, и она ближе к цели чем остальные обезьяны". Этот анекдот я привел даже в своей монографии [7]. Этот анекдот также содержит мораль, что, чтобы достичь Луну, надо вначале слезть с деревьев. Эту мораль я не привел, считая ее очевидной.

Из сказанного ясно, что у физиков необходимость в конечной математике может возникнуть только в двух случаях: а) они убедятся, что при помощи только стандартной математики проблемы решить нельзя (т.е., пока гром не грянет, мужик не перекрестится); 2) при помощи конечной математики будут получены важные физические результаты, которые не могут быть получены в непрерывной математике.

Как и большинство физиков, я не знал самых основ конечной математики. Чисто случайно, когда мне было около 40, наткнулся на книгу (уже не помню какую), которая показалась мне интересной. Из нее узнал про поля Галуа и удивился, что физики их не знают, хотя их можно преподавать уже в первом или втором классе (например, после того как прошли деление).

Простой пример поля Галуа – множество F5 из пяти элементов (0, 1, 2, 3, 4), в котором действия определяются так. Сложение определяется как обычно, но по модулю 5. Например, 1+1=2, 2+2=4 как обычно, но 2+3=0 или 4+4=3. Если a – элемент множества F5, то противоположный элемент b=-a определяется так, что в a+b=0 в F5. Например, – 1=4, – 2=3 и т. д. Так что мы имеем сложение и вычитание. Произведение определяется как обычно, но по модулю 5. Например, 2·2=4, но 2·4=3. Наконец, противоположный элемент

b=1/a определяется так, что a·b=1 в F5. Например, 1/2=3, 1/4=4 и т.д.

Более общий пример поля Галуа – множество Fp из p элементов (0,1,2,… p-1), где действия определяются по модулю p. Тогда, если p – простое, то в Fp возможны все 4 арифметических действия.

Читатель может сказать, что пример с F5 не имеет никакого отношения к реальной жизни, где, например 3+2=5, а не 3+2=0. Но допустим, что физика в нашем мире определяется математикой с полем Галуа Fp, где p – очень большое. Т.к. операции в Fp определяются по модулю p, то мы можем обозначать элементы из Fp не только как (0,1,2,…p-1), но и, например, как (-(p-1)/2,-(p-3)/2,… —1,0,1,…(p-3)/2,(p-1)/2). Этот набор называется набором минимальных вычетов. Тогда все будет как обычно до тех пор пока будем складывать, вычитать и умножать числа, которые по модулю намного меньше p, т.е., при этом существование p не будет чувствоваться, а отличие от обычной математики будет чувствоваться только когда мы имеем дело с числами не намного меньшими чем p.

Но читатель может сказать, что пример с Fp тоже нереалистический