У интуиции есть своя логика. Гёдель. Теоремы о неполноте. - Gustavo Pineiro

Чем так интересна Гиббсовская лекция? В ней Гёдель очень детально (больше, чем в любой другой своей работе) изложил собственное понимание философских следствий из своих теорем о неполноте. В этой лекции он утверждал: теоремы доказывают, что математический платонизм — правильная позиция философии математики.

Вопрос состоит в следующем: математика создается или открывается? Это человеческое творение, или ученые открывают факты, существующие во внешней реальности независимо от них?

Платонизм утверждает, что математические объекты имеют объективное существование, и работа ученых состоит в том, чтобы открывать характеристики этих объектов. Платон был уверен, что наши ощущения — только деформированное отражение высшей действительности, существующей в "мире идей". В этом самом мире живут и объекты, исследуемые математиками.

Знаменитая теорема Гёделя о неполноте показывает, что нет никаких формальных [синтаксических] методов доказательства, с помощью которых можно доказать все математические истины.

Уиллард ван Орман Куайн о теореме Гёделя

Противоположная позиция, которая обычно называется формализмом и в которой собраны некоторые идеи интуиционизма и программы Гильберта, утверждает, что математика — это творение человека, подобное музыке. С этой точки зрения математика — лингвистическая (синтаксическая) игра, в которой есть некоторые отправные точки (аксиомы) и логические правила, позволяющие осуществлять операции на их основе. Работа ученого состоит в том, чтобы открыть, куда нас заведут правила игры (что, по сути, не сильно отличается от работы шахматиста, который ищет оптимальный ход в определенной позиции). Если, согласно платонизму, математические объекты существуют сами по себе, а ученые открывают их свойства, то формализм утверждает обратное: математические объекты и их свойства существуют лишь благодаря ученым. У обеих позиций есть сильные и слабые стороны, и они существуют в математической мысли параллельно друг другу. Современный философ математики Джон Барроу пишет: "Математики — формалисты с понедельника по пятницу и платонисты по выходным".

То есть для повседневной работы, для доказательства теорем и написания статей формалистская позиция является более подходящей, поскольку в конечном счете любая истина основывается на аксиомах, выбор которых не нуждается в дальнейших подтверждениях (в формализме требуется только, чтобы аксиомы были непротиворечивыми, но они не обязаны отражать внешнюю истинность). Однако по выходным, когда математики расслабляются, они чувствуют, что работают с "истинными объектами", существование которых независимо и реально (что бы это ни означало).

Обе позиции четко разделены в отношении вопроса континуум-гипотезы. В предыдущей главе мы увидели, что континуум-гипотеза (СН) неразрешима относительно аксиом теории множеств. Так истинна она или ложна? Для чистого формалиста (хотя сегодня таких почти не существует) ответ не имеет смысла. Аксиомы — это правила игры, выбранные произвольно, не отражающие никакую внешнюю "истинность"; существуют только синтаксические понятия "доказуемого" и "недоказуемого", а не понятия "истинности" или "ложности". Согласно этой точке зрения так же законно добавить в теорию множеств новую аксиому, при которой СН будет доказуема, как и добавить другую аксиому, при которой она будет опровергнута. Две различные теории множеств могут существовать параллельно друг другу так же, как одновременно существуют различные виды шахмат (например, китайские и японские), которые допускают варианты правил игры, и нет необходимости думать, что существуют "истинные" шахматы.

Для платонизма, наоборот, аксиомы теории множеств отражают истину, которая существует объективно и в которой СН либо истинна, либо ложна, и не хватает всего лишь аксиомы, которая позволила бы решить вопрос.

Гёдель был убежденным платонистом и в статье, опубликованной в 1947 году под названием "Что представляет собой проблема континуума Кантора?", писал: "Следует отметить [...], что с точки зрения, принятой здесь, доказательство неразрешимости гипотезы Кантора на основе аксиом, принятых в теории множеств, [...] в какой-то степени решило бы проблему. Итак, если принять, что значение первичных символов теории множеств [...] корректно, то понятия и теоремы теории множеств описывали бы некую точно определенную действительность, в которой гипотеза Кантора должна была бы быть истинной или ложной". Позже, в 1963 году, дополнив доказательство о неразрешимости СН, Пол Коэн согласился с этой точкой зрения и рискнул предположить, что гипотеза Кантора на самом деле ложна.

Китайские шахматы — стратегическая игра из той же серии, что и западные шахматы и сёги (японские шахматы). Считается, что все они происходят от игры под названием чатуранга, зародившейся в Индии в VI веке. Для формалистов (которые подчеркивают синтаксические аспекты математики) выбор аксиом для математической теории не сильно отличается от определения правил настольной игры. Западные, китайские или японские шахматы — родственные настольные игры, но среди них нет "истинной" и "ложных". Подобно этому, поскольку континуум-гипотеза (СН) неразрешима относительно аксиом теории множеств, можно добавить СН или ее отрицание в качестве новой аксиомы. В обоих случаях получаются разные теории множеств (разные правила игры), и нельзя сказать, что одна из них истинная, а другая ложная. Для платонистов, наоборот, теория множеств относится к объективной действительности, в которой континуум-гипотеза на самом деле истинна или ложна.

Доска китайских шахмат с исходной позицией фигур.

РИС. 1

Как мы уже сказали, на Гиббсовской лекции 1951 года Гёдель утверждал, что его теоремы о неполноте доказывают справедливость платонистической точки зрения.

Рассмотрим кратко аргументацию Гёделя. В разуме каждого из нас есть интуитивное представление о том, что такое натуральные числа. Мы понимаем, как определяются основные операции и каковы их основные свойства. Например, мы воспринимаем, что умножение 8 на 5 равносильно физической операции образования восьми столбиков с пятью объектами в каждом из них (рисунок 1).

РИС. 2

Следовательно, у нас есть мысленная модель натуральных чисел, их структуры, которую изучают математики. С другой стороны, первая теорема Гёделя о неполноте доказывает, что эта модель не может быть полностью охарактеризована синтаксическими методами, то есть если мы ограничимся синтаксическими методами рассуждения, всегда найдутся недостижимые истины. Синтаксических методов доказательства недостаточно, чтобы постичь все свойства модели, которую мы не способны понять семантически. Это предполагает, согласно Гёделю, что эта мысленная модель, эти сущности, которые мы называем натуральными числами, со всеми их свойствами и взаимоотношениями, существуют в платонической реальности, находящейся за гранью чистой лингвистики (рисунок 2).

Парадокс Бертрана Рассела был в конце концов решен благодаря переформулировке аксиом теории множеств, предложенной немецким математиком Эрнстом Цермело в 1908 году и улучшенной через несколько лет также немецким математиком Абрахамом Френкелем. Хотя существовали и другие аналогичные предложения (одно из них было представлено самим Гёделем), аксиоматическая теория Цермело — Френкеля (или ZF, как ее обычно называют) сегодня является теорией множеств по умолчанию.

1. Два множества равны, если они имеют в точности одни и те же члены.

2. Существует пустое множество.

3. При заданных х и у существует упорядоченная пара (х, у).

4. Объединение множеств — это также множество.

5. Существует по крайней мере одно бесконечное множество.

6. Любое свойство, которое можно выразить на формальном языке теории множеств, может быть использовано для определения множества.

7. При заданном множестве всегда существует множество, образованное всеми его подмножествами.

8. При заданном конечном или бесконечном семействе непустых множеств всегда существует множество, содержащее ровно один член каждого множества этого семейства.

9. Ни одно множество не является членом самого себя.

Ключевая аксиома для избегания парадокса Рассела — шестая, которая уточняет, на каких свойствах могут основываться определения множеств. Эта аксиома в сочетании с девятой позволяет доказать, что парадоксального множества Рассела просто не существует.