У интуиции есть своя логика. Гёдель. Теоремы о неполноте. - Gustavo Pineiro

Вернемся к проблеме Кантора. Способ, которым Гёдель и Коэн доказали, что континуум-гипотеза неразрешима на основе аксиом теории множеств, подобен способу, которым мы воспользовались для доказательства неразрешимости Р относительно аксиом 1 и 2. В статьях 1938 и 1939 годов, а также более детально в книге 1940 года Гёдель демонстрирует модель, выполняющую аксиомы теории множеств, для которой континуум-гипотеза верна. В этой модели нет множеств с промежуточными кардинальными числами между N и R — подобно тому, как мы нашли модель, в которой нет поглощающих элементов. Это доказывает, что СН не может быть опровергнута (если бы ее можно было опровергнуть на основе аксиом, она была бы ложной во всех моделях).

Изменение — это иллюзия видимости, вызванная особенностями нашего восприятия.

Курт Гёдель, 1949 год

В 1963 году Коэн нашел модель аксиом теории множеств, в которой существует множество с промежуточным кардинальным числом между N и К, то есть модель, в которой СН ложна, и таким образом доказал, что СН не может быть доказана на основе аксиом теории множеств.

Но в стандартной модели, которую мы имеем в виду, формулируя аксиомы теории множеств, континуум-гипотеза истинна или ложна? На этот вопрос еще нет ответа. Многие специалисты считают, что надо найти еще одну аксиому, которую будут согласны принять как верную все заинтересованные лица, и она позволит в конце концов доказать или опровергнуть СН в стандартной модели. Общее мнение, основанное на философских аргументах (Гёдель и Коэн его разделяли), состоит в том, что континуум-гипотеза на самом деле ложна.

ГЛАВА 5

Следствия из работы Гёделя

Теоремы Гёделя о неполноте обозначили поворотную точку в исследованиях, связанных с философией математики. Современные тексты по философии математики обязательно учитывают теоремы Гёделя, анализируют и делают из них выводы, которые часто становятся причиной споров. Изучение следствий из теорем о неполноте едва лишь началось и, возможно, будет длиться еще десятки или сотни лет.

В Принстоне Гёдель нашел спокойный и однообразный социальный климат, идеально подходящий его образу жизни. Однако даже благоприятное окружение не смягчило ни ипохондрию ученого, ни его чудачества. Напротив, с течением времени его странности усилились до такой степени, что в 1941 году директор Института перспективных исследований Франк Эйделотт был вынужден спросить у личного врача Гёделя, существует ли опасность того, что его начинающаяся паранойя станет опасной для него и окружающих. Хотя врач ответил, что такой опасности нет, сам факт возникновения этого вопроса говорит о многом.

Гёделем владел страх болезней, реальных и мнимых. Так, он был убежден, что от отопления и кондиционера исходит плохой воздух, вредный для здоровья. У него был навязчивый страх холода, и нередко в разгар лета ученого видели в пальто, шарфе и перчатках. Как ни парадоксально, этот страх перед болезнями сопровождался полным недоверием к врачам, которое медленно трансформировалось в опасение людей в целом. Его стремление к одиночеству росло, и иногда он проводил долгие периоды, избегая любого контакта с другими, за исключением супруги Адели и двух-трех самых близких друзей.

Франклин Риджвей Эйделотт родился в деревне округа Гибсон (Индиана, США) в 1880 году и изучал английскую литературу в Индианском университете, который окончил в 1911 году. С 1921 по 1940 год он руководил колледжем Свартмор — образовательным учреждением, в котором провел много инновационных реформ. С 1939 по 1947 год был директором Института перспективных исследований в Принстоне, Нью-Джерси. В тот период в нем работало много выдающихся преподавателей, среди них Альберт Эйнштейн, Гёдель и Джон фон Нейман. Эйделотт скончался в 1956 году в Принстоне.

Фотография, сделанная 14 марта 1951 года — в день, когда Эйнштейну исполнилось 72 года.

На снимке рядом с Эйнштейном — Франк Эйделотт и его супруга.

С момента прибытия в США Адель вела грустную и одинокую жизнь, которая в основном заключалась в заботе о муже, однако необходимость такой заботы становилась все сильнее. Вначале Адели помогал Освальд Веблен, первый друг Гёделя в Принстоне, который поспособствовал ему в получении работы в Институте перспективных исследований. Через некоторое время помощь в заботе о Гёделе стал оказывать Альберт Эйнштейн. Их дружба (особенно крепкая после 1942 года) оказала на Гёделя благотворное влияние; прогулки с Эйнштейном были для него, если можно так сказать, терапевтическими, и хотя чудачества не исчезли полностью, они значительно смягчились. Можно понять, что смерть Эйнштейна в 1955 году стала тяжелым ударом для Гёделя и вызвала обострение его ипохондрии и паранойи. Восполнить эту утрату было невозможно, хотя Адели и помогал в ее заботах о супруге еще один его друг, Оскар Моргенштерн.

Кажется ясным, что плодотворность его идей вдохновит на новые работы. Немногим математикам дарован этот вид бессмертия.

Некролог, посвященный Гёделю, в лондонской газете "Таймс"

Психическое расстройство прогрессировало и в середине 1970-х годов превратилось в бред преследования. Гёдель жил с навязчивой идеей, что его хотят отравить. Доверял он только Адели и Моргенштерну и решительно отказывался принимать пищу, если Адель до этого ее не пробовала.

Оскар Моргенштерн скончался 26 июля 1977 года, через некоторое время Адели пришлось на шесть месяцев лечь в больницу, и Гёдель, оставшийся наедине со своими страхами и навязчивыми идеями, практически перестал есть. Его организм, и так не очень крепкий, быстро ослабел от истощения. Ученого положили в больницу в Принстоне, где он скончался вечером 14 января 1978 года. В заключении о смерти в качестве причины указано "недоедание и истощение, вызванные личными проблемами".

Но в некотором смысле Гёдель так и не умер; его работы, идеи, мысли, теоремы все еще живы; его методы доказательства изучаются и используются по сей день, и не будет преувеличением сказать, что их будут анализировать в течение веков.

Оскар Моргенштерн — экономист и математик. Родился в Силезии (сегодня — часть Польши) в 1902 году. Учился в университетах Вены, Гарварда и Нью-Йорка. В Вене посещал знаменитые семинары, организованные Карлом Менгером (профессором Венского университета), в которых также участвовал Гёдель. Во время Второй мировой войны эмигрировал в Принстон и уже в США в 1944 году совместно с Джоном фон Нейманом опубликовал книгу Theory of Games and Economic Behavior ("Теория игр и экономического поведения"), которая положила начало современной теории игр. Моргенштерн скончался в 1977 году в Принстоне, Нью-Джерси, США.

В книге "За гранью чисел" американский математик Джон Аллен Полос пишет: 

"Логик математики Курт Гёдель был одним из интеллектуальных гигантов XX века, и если предположить, что наш вид выживет, возможно, этот ученый окажется в числе немногих наших современников, которых будут помнить еще тысячу лет. [...] Речь идет не о самоуспокоении математиков, хотя для представителей всех дисциплин характерна некоторая профессиональная близорукость. Просто это правда".

Хотя после 1950 года Гёдель публиковался очень мало, это не значит, что он перестал размышлять и писать. Ученый оставил внушительное число неизданных рукописей, посвященных в основном философии и теологии, с исследованиями, среди прочего, на тему существования Бога, переселения душ и анализа философских работ Готфрида Лейбница. Все эти рукописи — поскольку Гёдель не оставил инструкций о том, что делать с ними, — были унаследованы его супругой Аделью, которая, в свою очередь, перед смертью в 1981 году передала их библиотеке Института перспективных исследований, где они и хранятся.

Среди неизданных бумаг выделяется текст Гиббсовской лекции, которую Гёделя пригласили прочитать на ежегодной встрече Американского математического общества, состоявшейся в Провиденсе 26 декабря 1951 года. По свидетельствам, Гёдель ограничился тем, что быстро прочел подготовленную заранее рукопись и даже не предоставил права на вопросы и комментарии в конце, хотя его встречали громкими аплодисментами, вызванными редкой возможностью лично увидеть гения такого уровня.

В последующие годы Гёдель занимался тем, что исправлял и завершал рукопись с намерением опубликовать ее, однако ему так и не удалось придать ей форму, которая удовлетворяла бы его самого. В конце концов лекция была опубликована в 1994 году как часть сборника под названием "Курт Гёдель, неизданные очерки".