Занимательная теория вероятности - Александр Исаакович Китайгородский

Еще пример. Во многих задачах требуется вычислить, через сколько времени достигнет заданного барьера некая точка, если известно, откуда она вышла, и сказано, что движется она случайными шагами одинаковой длины, но направленными как попало. Разбив это «как попало» на 10 направлений (скажем, под углами 36°, 72°, 108° и так далее), мы можем перемещать точку при помощи книги случайных цифр.

Итак, случайные цифры нужны. Но что же такое ряд случайных цифр?

На первый взгляд безупречным выглядит следующее определение: нет правила, по которому можно было бы, закрыв пальцами любую из цифр книги, угадать, какая она, с вероятностью большей, чем 0,1 (потому что цифр 10).

Однако это определение не подходит, и вот почему. При помощи счетных машин с точностью до ста тысяч цифр после запятой вычислена величина «пи» — замечательное число, начинающееся цифрами 3,14… Если бы вы взглянули на эту последовательность, то она вам показалась бы идеально беспорядочной. Во всяком случае, вы будете действительно угадывать любую цифру лишь с вероятностью 0,1. Более того, исследуя число «пи» повнимательнее, вы найдете, что у него нет склонности к какой-либо особенной цифре и все они встречаются в среднем одинаково часто. Вы не найдете также никаких особенностей в расположении двух или трех ближайших цифровых соседей. И тем не менее тот, кто знает, что это число «пи», может предсказать каждую следующую цифру.

Но дело обстоит еще хуже для составителей книги случайных цифр, когда исследуется еще одно число. Структура числа «пи» в глаза не бросается, а вот у такого числа, как 12345678910111213141516171819… закономерность в расположении цифр — так сказать, узор ряда — вполне ясна. В то же время оказывается, что этот ряд удовлетворяет всем требованиям беспорядочной серии: вероятность появления каждой цифры равна 0,1; двух определенных цифр рядом — 0,01; трех определенных цифр — 0,001 и так далее. То есть никакие комбинации не имеют преимуществ.

После размышлений математики пришли к такому выводу: нет ничего странного в том, что ограниченная последовательность цифр обладает некоторым узором. При этом чем длиннее серии случайных цифр, тем чаще на отдельных ее отрезках будут встречаться самые странные узоры.

Все сказанное показывает, что было бы большой ошибкой ставить знак равенства между отсутствием узора в следовании цифр, штрихов или событий, с одной стороны, и случайностью этих событий — с другой.

Вот вам пример: большего «беспорядка», чем расположение звезд на небе, пожалуй, не придумаешь. Тем не менее оно полно созвездий, имеющих характерный рисунок.

В ряду случайных событий, таких, как появление «черного» и «красного» в рулетке, мы найдем и длинные ряды одинакового цвета, и ряды, в которых множество раз два «черных» чередуются с одним «красным». Будут такие случаи, когда «красного» будет больше в четные дни месяца, а «черного» — в нечетные. Найдутся последовательности месяцев, когда число 13 упорно приходится на воскресенье. Любые такие события возможны, а чтобы увидеть их, надо просто подсчитать вероятность их появления и убедиться в том, что она больше одной миллионной.

Узоры случайностей — идея абстрактной живописи Джексона Поллока. Сообщалось, что этот «художник» выплескивает как попало на длинное полотно краски с помощью разных леек, шлангов, ведер. Рассуждал Поллок вполне правильно. При совершенно случайном нанесении красок на полотно на нем будут образовываться различные узоры, и не исключено, что часть из них будет смотреться с интересом и удовольствием.

Случайно возникающие узоры в форме или цвете создают красоту природы. Но беспорядок без узоров не производит впечатления; в нем нет никаких зрительных образов, которые вызывали бы у зрителя ассоциации и воспоминания. Беспорядок эмоционально беден.

Одним из способов введения порядка в беспорядок является наложение симметрии на хаотически разбросанные цветовые пятна в бессюжетной декоративной живописи. Для этого художники зачастую прибегают к услугам калейдоскопа. Нехитрое это устройство, многократно отражающее в системе зеркал случайное расположение нескольких десятков цветных пятен, создает выразительные узоры. Многие из них потом оказываются рисунками на обоях.

Мастера декоративной живописи используют часто и другие приемы введения порядка в хаос цвета и формы, например ритмическое повторение рисунка вдоль запутанного пути: спирали, зигзаги и так далее.

Декоративная живопись смело могла бы принять на вооружение таблицы случайных цифр и некоторые приемы теории вероятностей, но художники, как правило, еще сторонятся математики.

Эстетически невыразительной, по моему мнению, является и противоположная крайность в расположении цветов и форм — идеальный порядок. Справедливость этого утверждения видна из того, что даже в архитектуре идеальная симметрия и повторяемость вышли из моды.

Введением беспорядка в порядок заинтересовался один геометр, который стал известным живописцем. Пример творчества этого голландского художника Эшера читатель найдет в книге А. Шубникова и В. Копцика «Симметрия».

Довольно легко и широко стали использоваться идеи и методы теории вероятностей в музыке. Так же как декоративная живопись, музыка (мелодия) лежит «посередине» между гудком телефона (порядок) и беготней котенка по клавишам рояля (беспорядок). Следование друг за другом нот подчиняется правилам композиции лишь отчасти. Поэтому вполне правомерно поставить вопрос о вероятности следующей ноты в рамках правил, предписанных музыке. Но об испытании «гармонии алгеброй» написано много научных работ и популярных книг. Не устоял против этой темы и я, посвятив ей несколько страниц в книге «Реникса». Там я рассказал, как, вводя различное число инструкций, накладывающих узы на хаотическое следование звуков, получают музыку различных стилей.

Такими приемами можно при желании исследовать музыкальную структуру того или иного произведения, можно характеризовать различных композиторов степенью случайности в выборе соседних звуков. Насколько мне известно, энтузиасты такого рода исследований встречаются редко. Причины надо, видимо, искать в различном духовном складе человека искусства и человека точной науки.

Цель наших замечаний сводится к тому, чтобы показать, что закономерности случая могут проявить себя в фактуре произведений искусства, а также и в том, чтобы отметить некоторые возможности использования миллиона случайных цифр в анализе предметов живописи, музыки, а может быть, и поэзии.

Телепатия — друг случайностей

Я беру монету и накрываю ее шапкой. Мне известно, какой стороной кверху она лежит. Некто берется отгадать это положение и просит меня лишь напряженно думать о том, как лежит монета, воссоздать мысленно образ этой монеты. Что ж, можно считать это игрой и заключать пари: отгадает — не отгадает.

Если кто-нибудь мне скажет, что «этот человек великолепный отгадчик», то я смело вступлю с ним в игру и поставлю рубль, что он не отгадает, скажем, 10 раз подряд против его двух