Занимательная теория вероятности - Александр Исаакович Китайгородский

Чтобы оправдать эту тысячу рублей, надо установить страховой взнос что-нибудь около 10 рублей в год за тысячу рублей страховки. Принимая во внимание, что страхование должно приносить доход, эта сумма должна быть соответственно увеличена. Страховка восьмидесятилетних стариков возможна лишь на гораздо более дорогих началах: из ста страховок уплатить придется в среднем более чем в двенадцати случаях. Следовательно, годовой страховой взнос должен быть выше чем 120 рублей за тысячу.

Надеюсь, что читатель не сердится на меня за напоминание о конечности жизни; мне кажется, что «Моmento mori!» — полезный возглас. Человек живет значительно разумнее, спокойнее и полнее, если он время от времени вспоминает о сроке, отпущенном ему природой, зная, сколько «в среднем» живут люди его возраста.

Кстати, для ответа на этот последний вопрос существуют особые таблицы среднего срока ожидаемой жизни. Скажем, для пятидесяти лет этот срок близок к 20 годам, для шестидесяти — к 13, для семидесяти — к 8 и для восьмидесяти — к 4 годам. Смысл этих чисел таков: средняя продолжительность жизни лиц, перешагнувших за пятьдесят, равна 70 годам, за шестьдесят — 73, за семьдесят — 78 и за восемьдесят — 84.

Так что не надо прибегать к услугам кукушки, чтобы выяснить, сколько еще осталось лет для того, чтобы поумнее распорядиться своей жизнью.

А теперь о погоде

Вряд ли есть радиопередача, пользующаяся большей популярностью, чем сообщение о погоде. Хорошая погода для человека — это залог хорошего настроения. Ведь план ближайшего дня иногда сильно зависит от погоды, не говоря уже о планах отпуска.

Прогноз погоды слушают внимательно: негодуют, когда он не выполняется, радуются удачам метеорологов.

Метеостанции, раскиданные по всем уголкам земного шара, ведут систематические наблюдения за погодой уже много десятков лет. Ими накоплен огромный материал о температуре воздуха и почвы, об облачности и ветре, о давлении и количестве осадков. Хотите узнать, какая температура воздуха была в 10 часов утра 12 июля 1927 года в городе Ефремове? Пожалуйста, порывшись

в архивах, вы найдете эти сведения. Все они обрабатываются по тем правилам, которые мы обсуждали.

Для каждого элемента погоды построены самые разные кривые распределения. Ведь не угадаешь наперед, какие случайные величины заинтересуют специалиста, планирующего сельскохозяйственные работы, и курортника, интересующегося погодой в прогулочных целях. В метеорологических справочниках приведены средняя годовая температура, средняя месячная температура, средняя максимальная температура (для каждого дня всегда отмечается верхняя отметка, до которой добиралась ртуть термометра), средняя минимальная температура… Все эти величины подвержены беспорядочным (и систематическим) колебаниям. Поэтому интересны средние отклонения от средних значений для всех этих величин.

В этом году я собираюсь поехать встречать Новый год в Сухуми или Гагру. Перед принятием такого решения я выписал из библиотеки справочник по климату и с нудной дотошностью ученого деятеля стал анализировать данные о погоде этих мест.

Оказалось, что у меня есть шансы попасть в настоящую жару. В городе Сухуми в январе был однажды зафиксирован абсолютный максимум температуры в 24 градуса. Вспомнив, о чем писал на предыдущих страницах, я решил не полагаться на мизерную вероятность повторения такой температуры в эту зиму и в соответствующей таблице нашел «средний из абсолютных максимумов». (Это вот что такое. Каждый год отмечается максимальная температура января, февраля и так далее. «Среднее», о котором говорится, было выведено чуть ли не за 100 лет.) «Средний абсолютный максимум» оказался равен 18 градусам. А на такую температуру, хотя бы в течение одного-двух дней, уже можно рассчитывать даже невезучему субъекту. Восемнадцать градусов в тени — этого совершенно достаточно, чтобы с полным наслаждением загорать; а загорать на солнце в январе — это совершенно превосходно. Значит, беру отпуск в январе.

Но, скажет внимательный читатель, знание одного лишь среднего значения абсолютных максимумов совершенно недостаточно, чтобы судить о вероятности события. Ведь нормальная кривая может быть очень плоской, колокол может быть невысоким, и тогда вероятность среднего будет невелика.

Правильно. Такие 18 градусов — сомнительный залог блаженства. Я продолжаю листать справочник и нахожу то, что требуется. Другая таблица дает значение «среднего отклонения» «средней максимальной температуры» от «многолетнего среднего январского»: это 2 градуса. («Среднее отклонение» — это еще одна характеристика ширины кривой нормального распределения. Полуширина кривой, с которой мы подробно знакомили читателя, немного больше «среднего отклонения».)

Как получены эти 2 градуса? Предположим, в 1900 году средняя январская температура равнялась 15 градусам, в 1901 году — 14, в 1902 — 18, в 1903 — 20, в 1904 — 17 и так далее. Поместив рядом, в следующей графе таблицы, абсолютные отклонения от среднего (то есть от 18 градусов), получим для 1900 года — 3, 1901 — 4, 1902 — 0, 1903 — 2, 1904 — 1 и так далее. Теперь остается сложить эти цифры за все годы наблюдений и разделить на число лет. Так были получены эти 2 градуса.

Добыв «среднее отклонение», я значительно прояснил условия проведения своего отпуска. То есть могу достаточно смело рассчитывать на то, что встречусь с такими днями, когда температура будет лежать в пределах 16–20 градусов. Ну а будут ли отклонения от 18 градусов больше 2? Возможно. Но если температура не поднимается выше 14 градусов (отклонение в два раза больше среднего), то я буду считать, что мне не повезло. Если же за месяц пребывания в Сухуми столбик термометра не пересечет 12 градусов — это уже редкостное невезение, и старожилы скажут, что такого они не помнят.

На этом можно было бы закончить разговор о метеорологических исследованиях, но я засомневался в его исчерпывающей полноте. Наши рассуждения насчет вероятности отклонений справедливы в том случае, если распределение температуры подчиняется нормальному гауссову закону. А подчиняется ли оно на самом деле? Данные о «среднем значении» и о «среднем отклонении» от среднего — это хорошо, а «полная кривая распределения» все-таки лучше. Какова она?

Составители справочника предусмотрели и такой запрос и привели данные для построения многолетней средней кривой распределения максимальных температур января. Согласно этим данным, ниже нуля температура в январе не наблюдалась ни разу. В среднем 2,2 дня в январе имеют температуру между 0 и 5 градусами (можно сказать и так: вероятность температуры между 0 и 5 градусами в январе в городе Сухуми равняется 2,2/31, то есть 0,07 (семь процентов шансов). Температура между 5 и 10 градусами наблюдалась в среднем в течение 11,3 дня января; между 10 и 15 градусами — 12,4 дня; между 15 и 20 — 4,7 и, наконец, между 20 и 25 градусами — 0,4 дня. Я