Занимательная теория вероятности - Александр Исаакович Китайгородский

построил кривую и увидел, что все в порядке — получилась нормальная колоколообразная кривая. Дни с температурой выше 10 градусов (в Москве в это время мороз и заносы) я считаю превосходной погодой: можно загорать, купаться, ходить на водных лыжах, кататься на катере. А таких дней в среднем за месяц будет 17,5, то есть больше половины. Значит, вероятность хорошей погоды одна вторая: орел или решка? Можно рискнуть — взять отпуск в январе и поехать загорать в Сухуми.

Итак, вы видите, что справочник по климату может великолепно служить руководством к действию: при его помощи можно делать определенные прогнозы. Некоторые предсказания оказываются почти категорическими: в январе в Сухуми температура ниже 0 не опускается, до плюс 12 в какие-то дни она повысится непременно и так далее. Менее решительные суждения могут быть сформулированы в виде предположений. И кой-какие прогнозы можно делать и без глубоких соображений. Разумеется, носят они вероятностный характер, но сохраняют этот характер и в том случае, когда их делают специалисты.

* * *

— Это ни на что не похоже, — сказала она тоскливо. — Пропал весь отпуск. Дождь и дождь не переставая. Сколько можно! А еще говорят, что этот месяц обычно не очень дождливый.

— Старожилы говорят, что такого не помнят, — сказал он. — Аномалия. Не повезло. А что сказало бюро погоды?

— Обещают на завтра такую же погоду, как сегодня, — и после паузы: — Слушай, давай уедем, черт с ними, с путевками.

— Не угадаешь. Уедешь, и как раз дожди кончатся. Хоть бы наука помогла. Вычислить вероятность продолжения дождей, что ли, а потом решить?

— Разве можно такие вещи вычислять? — с недоверием спросила она. — А потом… ну, допустим, вычислишь, получишь 30 процентов за дождь, а 70 против. Решим остаться и… проиграем. При 70 проиграть не так уж трудно.

Честно говоря, я не решился бы дать совет этой паре. Проиграть не так уж трудно и при шансах на выигрыш в 90 процентов. Но все же, если следовать вероятности всегда, то, подводя итоги, придешь к выводу, что расчеты помогли.

Что же касается возможности рассчитать, будет ли дождь идти завтра после того, как он уже льет целую неделю, то она имеется. Существует довольно простая формула математика прошлого Томаса Бейеса, опубликованная впервые в 1763 году в его посмертной работе «Опыт решения одной проблемы теории вероятностей». В ней впервые был поставлен вопрос о том, как может быть использована теория вероятностей для составления того или иного суждения о явлении, располагая лишь ограниченным рядом наблюдений. Пусть перед нами урна с шарами. Шары могут быть только белыми, могут быть только черными, а могут быть и белые и черные, то есть состав шаров — смешанный. Мы скажем, что любой состав урны имеет равные априорные вероятности.

(Что такое априорные? Латынь, которая обильно украшала научные сочинения прошлого, вышла сейчас из моды, но некоторые слова оказались стойкими. К ним относятся a priori и a posteriori, что означает «до опыта» и «после опыта». Впрочем, даже и в этом случае мы предпочитаем вводить соответствующие русские прилагательные.)

Предположим, мы вытащили один шар: он оказался белым. Ситуация после этого сразу изменилась, поскольку уже ясно, что предположение, будто все шары черные, надо отбросить. А если мы вытащили 5 белых шаров подряд? Этот факт сильно повышает вероятность гипотезы, что в урне много белых шаров. Можно ли выяснить, какова вероятность, что белых шаров 100 процентов, или 90, или 80, после того, как произведен опыт? Или короче — какова априорная вероятность того, что в урне столько-то белых шаров после того, как мы вытащили из урны 5 белых шаров?

Вот такие и подобные проблемы решал Бейес в своей работе.

Одна из формул, выведенных Бейесом, отвечает на вопрос, который интересовал неудачливую пару, попавшую в полосу дождей. Если какое-то событие произошло несколько раз, то можно высчитать, какова вероятность его свершения и в следующий раз. Формула, как говорилось, очень простая, и ее можно привести здесь, прибегнув — увы! — к алгебраическим символам, навевающим на некоторых все же страх или скуку: P = (q + 1)/(q+2) (вероятность равна дроби, числитель которой равен числу происшедших событий плюс единица, а знаменатель равен этому же числу плюс два). Значит, если дождь идет один день, то вероятность, что он будет идти завтра, равна 2/3, если дождь идет два дня, то назавтра вы можете ждать такой же погоды с вероятностью 3/4, три дня — 4/5… восемь дней — 9/10. Просто, не правда ли?

Но если бездумно применять эту формулу, то можно прийти к абсурду. Например, я два раза набирал по телефону 01, вызывая пожарную команду, и она приезжала: значит, если я буду вызывать ее третий раз, то она прибудет тушить пожар с вероятностью в 75 процентов. Глупо ведь? Конечно, глупо. Или в этом году с Эйфелевой башни бросились и разбились две девушки, обманутые женихами. Значит, следующая имеет шанс из четырех остаться в живых. Глупо? Конечно, глупо. Но при чем здесь наша простая формула? Прочитав внимательно работу этого превосходного математика, мы увидим, что формула введена в предположении, что о вероятности единичного события нам неизвестно ровно ничего, то есть что эта вероятность может быть любой — от 0 до 1.

Итак, формулу Бейеса следует применять в том случае, когда мы ровно ничего не знаем о единичном событии. Так ли обстоит дело с дождливой погодой?

На основании многолетних наблюдений в городе Брюсселе установлено, что если дождь идет 1 день, то вероятность того, что он будет идти и завтра, равняется 0,63; если дождь идет 2 дня — его вероятность на завтра равна 0,68, 3 дня — 0,70, 5 дней — 0,73. Согласно же формуле Бейеса мы должны были бы иметь 0,66; 0,75; 0,80 и 0,86. Хотя опыт и теория близки, полного совпадения нет: формула оказывается несколько более пессимистична, чем реальная действительность.

Лучше совпадают с выводами теоремы Бейеса данные, полученные при наблюдении смены температуры. По данным того же города Брюсселя, вероятность того, что завтра температура будет такой же, как и вчера, равна 0,75; если 2 дня температура была неизменной, то она останется такой же и завтра с вероятностью 0,76; если 3 дня неизменна, то сохранится и завтра с вероятностью 0,78; если 5 дней, то с вероятностью 0,83 и если температура не менялась 10 дней, то с вероятностью 0,85 она останется той же и в 11-й день.

Как