Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров - РАЛЬФ РАЛЬФ ВИНС

Время, необходимое для достижения определенной цели, и проблема дробного f

Допустим, мы знаем среднее арифметическое HPR и среднее геометрическое HPR для данной системы. Мы можем определить стандартное отклонение HPR из формулы для расчета оценочного среднего геометрического:

где AHPR = среднее арифметическое HPR;

SD = стандартное отклонение значений HPR.

Поэтому мы можем рассчитать стандартное отклонение SD следующим образом:

Возвращаясь к нашей игре с броском монеты 2:1, где математическое ожида­ние 0,50 долларов и оптимальное f- ставка в 1 доллар на каждые 4 доллара на сче­те, мы получим среднее геометрическое 1,06066. Для определения среднего ариф­метического HPR можно использовать уравнение (2.05):

где AHPR = среднее арифметическое HPR;

МО = арифметическое математическое ожидание в единицах;

f$= наибольший проигрыш/-f

f = оптимальное f (от 0 до 1).

Таким образом, среднее арифметическое HPR равно:

AHPR =1+(0,5/(-1/-0,25)) =1+(0,5/4) =1+0,125 =1,125

Теперь, так как у нас есть AHPR и EGM, мы можем использовать уравнение (2.04) для определения оценочного стандартного отклонения HPR:

=1,125 ^2- 1,06066 ^62

= 1,265625-1,124999636 =0,140625364

Таким образом, SD ^ 2, то есть дисперсия HPR, равна 0,140625364. Извлекая квад­ратный корень из этой суммы, мы получаем стандартное отклонение HPR =0,140625364 ^(1/2) =0,3750004853. Следует отметить, что это оце­ночное стандартное отклонение, так как при его расчете используется оце­ночное среднее геометрическое. Это не совсем точный расчет, но вполне приемлемый для наших целей. Предположим, мы хотим преобразовать зна­чения для стандартного отклонения (или дисперсии), арифметического и среднего геометрического HPR, чтобы отражать торговлю не оптимальным f, а некоторой его частью. Эти преобразования даны далее:

(2.07) FSD = SD * FRAC

(2.08) FGHPR= (FAHPR ^ 2 - FSD ^ 2) А^(1/2),

где FRAC = используемая дробная часть оптимального f;

АН PR= среднее арифметическое HPR при оптимальном f;

SD = стандартное отклонение HPR при оптимальном f;

FAHPR== среднее арифметическое HPR при дробном f;

FSD = стандартное отклонение HPR при дробном f;

FGHPR = среднее геометрическое HPR при дробном f.

Например, мы хотим посмотреть, какие значения приняли бы FAHPR, FGHPR и FSD в игре с броском монеты 2:1 при половине оптимального f (FRAC = 0,5). Мы знаем, что AHPR= 1,125 и SD = 0,3750004853. Таким образом:

=(1,125- 1)*0,5+ 1 =0,125* 0,5 + 1 = 0,0625 + 1 = 1,0625

(2.07) FSD = SD * FRAC

=0,3750004853*0,5 = 0,1875002427

= (1,0625 ^ 2 - 0,1875002427 ^2) ^ (1/2) = (1,12890625 - 0,03515634101) ^ (1/2) =1,093749909 ^ (1/2) = 1,04582499

Для оптимального f= 0,25 (1 ставка на каждые 4 доллара на счете) мы получаем значения 1,125, 1,06066 и 0,3750004853 для среднего арифметического, среднего геометрического и стандартного отклонения HPR соответственно. При дробном (0,5) f =0,125 (1 ставка на каждые 8 долларов на счете) мы получаем значения 1,0625, 1,04582499 и 0,1875002427 для среднего арифметического, среднего гео­метрического и стандартного отклонения HPR соответственно. Посмотрим, что происходит, когда мы используем стратегию дробного f. Мы уже знаем, что при дробном f заработаем меньше, чем при оптимальном f. Более того, мы определили, что проигрыши и дисперсии прибылей будут меньше при дробном f. Что произойдет со временем, необходимым для достижения опреде­ленной цели?

Мы можем определить только ожидаемое количество сделок, необходи­мое для достижения определенной цели. Это не то же самое, что ожидаемое время, требуемое для достижения определенной цели, но, так как наши из­мерения производятся в сделках, мы будем считать время и количество сделок синонимами.

(2.09) N = 1п(Цель) / 1n(Среднее геометрическое),

где N = ожидаемое количество сделок для достижения цели;

Цель = цель в виде множителя первоначального счета, т.е. TWR;

1n() = функция натурального логарифма.

Вернемся к нашему примеру с броском монеты 2:1. При оптимальном f среднее геометрическое равно 1,06066, а при половине f оно составляет 1,04582499. Теперь давайте рассчитаем ожидаемое количество сделок, необходимое для удвоения на­шего счета (Цель = 2). При полном f:

N=ln(2)/ln( 1,06066) =0,6931471/0,05889134 =11,76993

Таким образом, в игре с броском монеты 2:1 при полном f следует ожидать 11,76993 сделок для удвоения нашего счета. При половине f получаем:

N=ln(2)/ln( 1,04582499) =0,6931471/0,04480602 = 15,46996

Таким образом, при половине f мы ожидаем, что потребуется 15,46996 сделок для удвоения счета. Другими словами, чтобы достичь цели при торговле на уровне f/ /2, от нас понадобится на 31,44% сделок больше. Ну что же, это звучит не так уж плохо. Проявляя терпение для достижения поставленной цели, мы потратим времени на 31,44% больше, но сократим худ­ший проигрыш и дисперсию наполовину. Согласитесь, половина — это до­вольно много. Чем меньшую часть оптимального f вы будете использовать, тем более гладкую кривую счета получите, и тем меньшее время вы будете в проигрыше. Теперь посмотрим на эту ситуацию с другой стороны. Допустим, вы открывае­те два счета: один для торговли с полным f и один для торговли с половиной f. После 12 игр ваш счет с полным f увеличится в 2,02728259 в 12 раза. После 12 сделок (с половиной f) он вырастет в 1,712017427 (1,04582499 ^ 12) раза. С половиной f первоначальный счет увеличится в 2,048067384 (1,04582499 ^ 16) раза при 16 сделках. Поэтому, торгуя на одну треть дольше, вы достигнете той же цели, что и при полном оптимальном f, но при активности, меньшей наполо­вину. Однако к 16 сделке счет с полным f будет в 2,565777865 (1,06066 ^ 16) раза больше вашего первоначального счета. Полное f продолжает увеличивать счет. К 100 сделке ваш счет с половиной f увеличится в 88,28796546 раз, но полное f уве­личит его в 361,093016 раз!

Единственный минус торговли с дробным f— это большее время, необходимое для достижения определенной цели. Все дело во времени. Мы можем вложить деньги в казначейские обязательства и достичь-таки заданной цели через опреде­ленное время с минимальными промежуточными падениями баланса и диспер­сией! Время — это суть проблемы.

Сравнение торговых систем

Мы увидели, что две торговые системы можно сравнивать на основе их сред­них геометрических при соответствующих оптимальных f. Далее, мы можем сравнивать системы, основываясь на том, насколько высокими являются их оптимальные f, поскольку более высокие оптимальные f соответствуют более рискованным системам. Это связано с тем, что исторический проигрыш мо­жет понизить счет, по крайней мере, на процент f. Поэтому существуют две основные величины для сравнения систем: среднее геометрическое при опти­мальном f, где более высокое среднее геометрическое предпочтительнее, и само оптимальное f, где более низкое оптимальное f лучше. Таким образом, вместо одной величины для измерения эффективности системы мы получаем две; эффективность должна измеряться в двухмерном пространстве, где одна ось является средним геометрическим, а другая — значением f. Чем выше сред­нее геометрическое при оптимальном f, тем лучше система. Также чем ниже оп­тимальное f, тем лучше система.

Среднее геометрическое ничего не скажет нам о проигрыше. Высокое среднее геометрическое не означает, что проигрыш системы большой (или, наоборот, не­значительный). Среднее геометрическое имеет отношение только к прибыли. Оптимальное f является мерой минимального ожидаемого исторического проиг­рыша как процентное понижение баланса. Более высокое оптимальное f не гово­рит о более высоком (или низком) доходе. Мы можем также использовать эти по­ложения для сравнения определенной системы при дробном значении f с другой системой при полном значении оптимального f. При рассмотрении систем вам следует учитывать, насколько высоки средние геометрические и каковы оптимальные f. Например, у нас есть система А, которая имеет среднее геометрическое 1,05 и оптимальное f= 0,8. Также у нас есть система В, которая имеет среднее геометрическое 1,025 и оптимальное f=0,4. Система А при половине уровня f будет иметь то же минимальное историческое падение баланса худшего случая (проигрыш) в 40%, как и система В при полном f, но среднее гео­метрическое системы А при половине f вce равно будет выше, чем среднее геометри­ческое системы В при полном значении f. Поэтому система А лучше системы В. «Минутку, — можете возразить вы, — разве не является самым важным то об­стоятельство, что среднее геометрическое больше 1, и системе необходимо быть только минимально прибыльной, чтобы (посредством грамотного управления деньгами) заработать желаемую сумму!» Так оно и есть. Скорость, с которой вы зарабатываете деньги, является функцией среднего геометрического на уровне используемого f. Ожидаемая дисперсия зависит от того, насколько большое f вы используете. Вы, безусловно, должны иметь систему с оптимальным f и со сред­ним геометрическим, большим 1 (то есть с положительным математическим ожи­данием). С такой системой вы можете заработать практически любую сумму через соответствующее количество сделок. Скорость роста (количество сделок, необхо­димое для достижения определенной цели) зависит от среднего геометрического при используемом значении f. Дисперсия на пути к этой цели также является функцией используемого значения f. Хотя важность среднего геометрического и применяемого f вторична по срав­нению с тем фактом, что вы должны иметь положительное математическое ожи­дание, эти величины действительно полезны при сравнении двух систем или ме­тодов, которые имеют положительное математическое ожидание и равную уве­ренность в их работе в будущем.