Мир по Эйнштейну. От теории относительности до теории струн - Тибо Дамур

Немного расширив понимание упругости непрерывной среды (в смысле обычной механики), мы можем вернуться к главной цели этой главы: попытке понять общую теорию относительности как теорию упругости пространства-времени. Для этого необходимо обсудить два вопроса: (i) что является аналогом D, т. е. какой математический объект описывает «деформацию» пространства-времени по отношению к «однородному» пространству-времени Минковского; и (ii) что является аналогом T или, другими словами, какой математический объект описывает причину (или источник) пространственно-временной деформации, т. е. то, без чего пространство-время оставалось бы пространством-временем Минковского. Ответ на вопрос (ii) довольно быстро был получен Эйнштейном путем следующего рассуждения.

Во-первых, Эйнштейн предложил идентифицировать метрический тензор g, описывающий пространственно-временную хроногеометрию, с гравитационным полем. Этот вывод следовал из анализа принципа эквивалентности, открытого Эйнштейном в ноябре 1907 г. Рассмотрим, например, простой случай пространства-времени Минковского. Если наблюдатель исследует пространство-время Минковского, оставаясь при этом в «инерционной» системе отсчета, т. е. в системе, движущейся без ускорения, он не будет наблюдать гравитационное поле (свободные частицы не будут «падать», но будут оставаться в покое или же двигаться с постоянной скоростью), и метрический тензор g, описывающий пространственно-временную хроногеометрию будет тривиальным (т. е. будет задаваться постоянными коэффициентами){75}. В то же время наблюдатель, находящийся в ускоряющемся лифте, т. е. использующий координаты, нелинейно связанные с обычными координатами специальной теории относительности, наблюдает два взаимосвязанных явления: (i) метрический тензор g приобретает более сложное выражение с коэффициентами, которые изменяются от одной точки к другой, и (ii) в ускоряющемся лифте возникает кажущееся гравитационное поле, т. е. частицы в нем как будто падают с ускорением. Это ускорение кажущегося притяжения напрямую связано с тем, что коэффициенты g меняются от одной точки к другой.

Осознав, что g = хроногеометрия = гравитация, перейдем к следующему этапу, состоящему в понимании того, что является источником g и тем самым источником гравитации. Со времен Ньютона известно (из-за универсальности свободного падения и равенства действия и противодействия), что масса определяет и то, как действует гравитация (определяя вес), и то, что создает гравитационное поле. Таким образом, источником гравитационного поля по Ньютону является масса. Однако, как говорилось в главе 2, специальная теория относительности полностью изменила и обогатила понятие массы. А именно: оно было заменено понятием массы-энергии – величины, сохраняющейся при любых преобразованиях, в ходе которых в силу уравнения E = mc2 масса может преобразовываться в энергию, и наоборот. В связи с этим Эйнштейн ожидал, что в качестве источника гравитации будет выступать масса-энергия, распределенная во всем пространстве-времени. Наш поиск источника гравитации, однако, не может считаться законченным, поскольку более детальный анализ причин сохранения массы-энергии на основе специальной теории относительности показывает, что плотность массы-энергии на единицу объема является лишь одной из компонент более сложного математического объекта, называемого тензором энергии-импульса. Этот тензор имеет 10 компонент: одна компонента описывает плотность массы-энергии на единицу объема, еще три описывают плотность импульса (или количества движения) на единицу объема, а остальные шесть описывают тензор напряжений в том же смысле, как введенный нами ранее тензор напряжений для трехмерной сплошной среды. Этот десятикомпонентный тензор{76}, одновременно задающий как плотность массы (являющейся предметом закона Ньютона), так и тензор напряжений (являющейся предметом закона Гука), мы будем обозначать далее через T.

Вернемся к одному из наиболее важных моментов на пути к созданию Эйнштейном общей теории относительности. Как мы уже говорили, первая идея обобщения этой теории возникла у Эйнштейна в 1907 г., когда он все еще работал (по восемь часов в день, включая субботы) в бернском патентном бюро. Однако вскоре в связи с большим интересом к специальной теории относительности 1905 г., а также к некоторым другим его работам сразу несколько научных центров предложили Эйнштейну университетские позиции. В 1909 г. он оставил патентное бюро Берна, чтобы занять должность ассоциированного профессора в университете Цюриха (с той же зарплатой, которую он имел в Берне). Эйнштейн и Милева были счастливы вернуться в Цюрих – город, где они встретились во время учебы в Политехническом университете. Там в 1910 г. родился их второй сын Эдуард. Однако в 1911 г. Эйнштейн принял другой пост, на этот раз в качестве полного профессора, в немецком университете Праги. В Праге он провел лишь один год. Там он посещал литературный салон Берты Фант и встречался с (еврейскими) писателями и мыслителями Праги, в частности с Максом Бродом и Францем Кафкой. Именно в Праге он возобновил (поскольку в 1907–1911 гг. в основном занимался развитием своих квантовых идей, см. ниже) поиски обобщенной теории относительности и получил несколько очень важных результатов. В частности, он более точно понял принцип эквивалентности и пришел к идее о том, что этот принцип влечет наблюдаемое отклонение световых лучей, проходящих вблизи контура Солнца{77}, и сдвиг в красную (более низкочастотную) часть спектра световых лучей, испускаемых с поверхности массивного тела (такого как Солнце).

В конце июля 1912 г. Эйнштейн с семьей возвращается в Цюрих, поскольку принимает должность полного профессора в своем родном Политехническом университете, который завоевал к тому времени более высокий титул Швейцарского федерального технологического института (Eidgenössische Technische Hochschule – ETH). Вероятно, именно в Цюрихе примерно в августе 1912 г. Эйнштейн сделал свой очень важный концептуальный «шаг» в построении общей теории относительности. Он, в сущности, понял то, что мы уже объясняли выше, а именно: (i) что гравитационное поле эквивалентно деформации геометрии пространства-времени и, следовательно, должно описываться 10 компонентами «хроногеометрического тензора» g; (ii) что источником «поля g» является распределение массы-энергии, импульса и напряжения, описываемое объектом с 10 компонентами – тензором энергии-импульса T; и, наконец, (iii) что основное уравнение релятивистской гравитации должно иметь форму закона упругости пространства-времени{78}: D(g) = κT, где D(g) является математическим объектом, сконструированным из g и призванным описывать деформацию пространства-времени или, другими словами, определять насколько пространство-время, имеющее геометрию, описываемую g, отличается от пространства-времени Минковского.

С такими мыслями Эйнштейн отправился к своему старому другу Марселю Гроссману, который был его товарищем еще со времен учебы в ETH (тогда еще бывшего Политехом) и который много раз «спасал его», сначала предоставляя свои конспекты лекций перед экзаменами, затем помогая устроиться в патентное бюро Берна и, наконец, делая все, чтобы ETH предложил Эйнштейну пост заслуженного профессора. Марсель Гроссман был математиком, в 1907 г. он стал профессором геометрии в ETH, а с 1911 г. – деканом факультета математики и физики. Эйнштейн предложил Гроссману сотрудничество в поисках «хорошего определения» математического объекта D(g). Гроссман преподавал в ETH геометрию, и его математические работы также были сосредоточены на проблемах геометрии, но это была другая геометрия – геометрия структур, определяемых как множества прямых линий и точек в однородных пространствах. Гроссман не был знаком с тем типом «неоднородной» геометрии, которая требовалась Эйнштейну. Тем не менее, просмотрев математическую литературу, он быстро понял, что некоторые работы Римана, Кристоффеля, Риччи и Леви-Чивита несомненно содержали математические инструменты, необходимые и достаточные для построения объекта D(g), который искал Эйнштейн. Однако эти математические инструменты были довольно сложны, и, чтобы освоить их, а также понять их физический смысл, Эйнштейну и его другу приходилось прикладывать серьезные усилия в течение многих месяцев (а в случае Эйнштейна – многих лет). Приведем выдержку из письма Эйнштейна своему коллеге Арнольду Зоммерфельду, написанного в период, когда Эйнштейн прилагал «буквально сверхчеловеческие» усилия (используя его выражение) для решения проблемы релятивистской теории гравитации: