Математические головоломки и развлечения - Мартин Гарднер

— На этот вопрос я отвечу так, — сказал Смит. — Детей меньше восемнадцати, а если перемножить между собой число детей в семьях, то получится номер моего дома, который вы видели, когда пришли.

Джон достал из кармана блокнот и карандаш и принялся за вычисления. Через некоторое время он поднял голову и сказал:

— Нужна еще кое-какая информация. У Блэков больше одного ребенка?

Как только Смит ответил, Джон улыбнулся и правильно назвал число детей в каждой семье.

Джону задача показалась тривиальной, поскольку он знал номер дома, а профессор сообщил ему, сколько детей у Блэков — один или больше. Но оказывается, что число детей в каждой семье можно определить и без этой дополнительной информации!

Ответы

1. Существует несколько различных способов размещения сигарет.

На рис. 52 показано традиционное решение, которое обычно приводится в старых сборниках головоломок.

Рис. 52

К моему удивлению, около пятнадцати читателей обнаружили, что семь сигарет тоже можно разложить так, чтобы каждая касалась всех остальных! Из-за этого первую задачу следует считать устаревшей. На рис. 53, который прислали Дж. Рибики и Дж. нолдс, показано, как это делается.

Рис. 53

Схема нарисована для критического случая, когда отношение длины сигареты к ее диаметру равно

Тогда точки касания расположены точно на концах сигарет. Это решение годится также для любого отношения длины к диаметру, большего чем

Если изучить размеры существующих сигарет, то получится отношение около 8 к 1, то есть число, большее чем

поэтому наше решение останется в силе. Обратите внимание, что если убрать центральную сигарету, которая на рисунке обращена прямо на читателя, то шесть оставшихся дадут очень симметричное решение первоначальной задачи.

2. Когда паромы встречаются первый раз (верхняя часть рис. 54), сумма пройденных ими расстояний равна ширине реки.

Рис. 54

Когда каждый из них причаливает к противоположному берегу, эта сумма равна удвоенной ширине реки, а когда они встречаются второй раз (нижняя часть рис. 54), сумма пройденных ими расстояний в три раза больше ширины реки. Поскольку оба парома двигаются с постоянной скоростью в течение одного и того же промежутка времени, мы можем заключить, что к моменту второй встречи каждый из них прошел расстояние втрое больше пройденного к моменту первой встречи. Это расстояние равно ширине реки. Поскольку белый ааром прошел до первой встречи 720 м, к моменту второй встречи все пройденное им расстояние равно 720 х 3 = 2160 м. Из чертежа видно, что это расстояние на 400 м больше ширины реки, поэтому надо из 2160 вычесть 400. Получится 1760 м. Это и есть ширина реки. Время стоянки паромов в решение не входит.

К решению задачи можно подойти и иначе. Пусть ширина реки х. Вначале отношение расстояний, пройденных паромами, равно (x-720)/720. Ко второй встрече оно будет составлять (2х-400)/х+400. Эти отношения равны, из них мы легко находим х.

3. Линия АС является одной из диагоналей прямоугольника ABCD (рис. 55).

Рис. 55

Вторая диагональ BD служит радиусом окружности, длина которого равна 10 единицам. Поскольку диагонали равны, длина линии АС также равна 10 единицам.

4. Электрик закоротил на верхнем этаже пять пар проводов (закороченные попарно провода соединены пунктирными линиями на рис. 56), оставив один провод свободным. Потом он спустился вниз и с помощью тестера нашел нижние концы закороченных пар. На рисунке показано, какими буквами он обозначил провода. Затем он закоротил те провода, которые соединены пунктиром внизу.

Рис. 56

Вернувшись наверх, он разъединил закороченные провода, но оставил их скрученными попарно. Затем он подсоединил тестер к свободному проводу (он знал, что это верхний конец провода F) и к одному из остальных. Определив второй провод, он смог установить, что это Е2, а соседний провод — Е1. Затем он подключил прибор к Е1 и к проводу, который оказался D2. Это позволило электрику установить, что соседний конец принадлежит проводу D1. Следуя своему методу, он легко нашел все провода. Указанный способ годится для любого нечетного числа проводов.

Немного изменив этот метод, можно применить его к любому четному числу проводов больше двух. Предположим, что справа на рис. 56 есть двенадцатый провод. Наверху закорачиваются те же пять пар проводов, а два остаются свободными. Внизу провода закорачиваются, как прежде, а двенадцатый провод обозначается буквой G. Вернувшись наверх, электрик легко находит G: это единственный из двух свободных проводов, который ни с каким другим не связан. Остальные одиннадцать проводов распознаются так же, как раньше.

Существует в каком-то смысле более рациональный метод, применимый к любому числу проводов, кроме двух (задача о двух проводах не имеет решения). Этот метод легко объяснить на схеме из четырнадцати проводов (рис. 57).

Рис. 57

Метод заключается в следующем:

1. Верхний этаж. Закоротите провода по одному, два, три и т. д. Обозначьте закороченные группы буквами А, В, С, D и т. д. Последняя группа может быть неполной.

2. Нижний этаж. Установите выделенные ранее группы проводов с помощью тестера. Пронумеруйте провода и объедините их в новые группы Z, Y, X, W, V…

3. Верхний этаж. Разъедините провода. Теперь их номера можно определить с помощью тестера. Провод 1 —это, конечно, А. Провод 3 — это единственный провод в группе В, соединенный с 1. Его соседом должен быть 2. В группе С только провод 6 соединяется с 1. С 2 соединяется только 5. Провод, остающийся в С, будет 4.

И так далее для других групп.

Чертеж можно неограниченно продолжать вправо. Для случая n проводов чертеж следует оборвать на n-м проводе.

5. Непрерывная линия, которая входит в каждый прямоугольник и выходит из него, обязательно пересекает два отрезка. На рис. 58 каждая из областей А, В и С ограничена нечетным числом отрезков. Следовательно, если линия пересекает все отрезки, то концы ее должны лежать внутри прямоугольников А, В и С. Но у непрерывной кривой только два конца, поэтому на плоскости задача неразрешима.

Рис. 58

Те же рассуждения применимы, если сетка нарисована на сфере или на торе (левый нижний рисунок). Однако на торе сетку можно нарисовать так (правый нижний рисунок), что отверстие тора будет внутри одного из трех прямоугольников А, В или С, и тогда задача решается легко.

6. Из двенадцати спичек можно построить прямоугольный треугольник со сторонами в три, четыре и пять единиц, как показано на рис. 59 слева.

Рис. 59

Его площадь равна шести квадратным единицам.

Изменив положение трех спичек так, как показано на правом рисунке, мы уменьшим площадь фигуры на две квадратные единицы.

Получится многоугольник с площадью, равной четырем квадратным единицам.

Это решение приводится во многих сборниках головоломок.

Имеются и сотни других решений. Существует связь между этой задачей и игрой в полимино, о которой рассказывается в следующей главе. Каждая из пяти фигур тетрамино (состоящих из четырех единичных квадратов каждая) позволяет найти много решений задачи со спичками. Нужно лишь отбрасывать квадраты, заменяя их равновеликими по площади треугольниками до тех пор, пока длина периметра получившейся фигуры не достигнет 12 спичек. Некоторые из таких фигур показаны на рис. 60.

Рис. 60

В каждом стоят фигурки, построенные из одного и того же элемента тетрамино.

Возможно решение в виде звезды (рис. 61).

Рис. 61

Подбирая ширину лучей, можно получать звезду любой площади: от 0 до 11,196 квадратных единиц — площади правильного десятиугольника, наибольшей площади, которую можно ограничить периметром длиной в 12 спичек.

7. Задачу об объеме оставшейся части шара можно решить, не прибегая к высшей математике. Пусть R — радиус шара. Как видно из рис. 62, радиус цилиндрического отверстия равен

а высота сферических шапочек на концах цилиндра равна R — 3.