Математические головоломки и развлечения - Мартин Гарднер

На более тонком использовании того обстоятельства, что результаты отдельных манипуляций с картами могут компенсировать друг друга, основан следующий фокус. Зритель выбирает любые три карты и кладет их закрытыми на стол, не показывая фокуснику. Остальные карты, тщательно перетасовав, зритель возвращает фокуснику.

«Все карты в колоде останутся на своих местах, — говорит фокусник. — Я лишь выну из колоды одну карту. По цвету и значению она совпадет с той, которую вы сейчас выберете». С этими словами он извлекает из колоды одну карту и, не открывая, откладывает ее в сторону.

Оставшиеся карты вручают зрителю и просят его открыть те три карты, которые он ранее выложил на стол. Предположим, что это были девятка, дама и туз. На каждую из открытых карт зритель кладет рубашкой вверх карты из колоды, считая при этом вслух.

Выкладывая карты на девятку, он считает от 10 до 15 (то есть всего выкладывает шесть карт). Дама имеет значение, равное 12 (валет— 11, король—13), поэтому, выкладывая карты на нее, счет нужно начинать с 12. Поскольку кончается счет всегда на 15, дама окажется закрытой тремя картами. Поверх туза (значение 1) нужно выложить 14 карт.

После того как нужное число карт выложено, фокусник просит зрителя сложить значения трех нижних (открытых) карт и найти в колоде карту, номер которой совпадает с полученной суммой. В настоящем примере эта сумма равна 22 (9+12+1), поэтому зритель вынимает двадцать вторую карту. Наконец, фокусник открывает отложенную в самом начале фокуса карту. Обе карты — вынутая только что зрителем и отложенная давным-давно фокусником — совпадают и по значению, и по цвету!

Как делается этот фокус? Выбирая свою карту, фокусник должен посмотреть цвет и значение четвертой карты снизу и отложить карту, совпадающую с ней по цвету и значению. Остальное получается автоматически. (Иногда эта карта оказывается среди трех нижних карт колоды. Как только зритель кончит считать карты, не забудьте попросить его открыть следующую карту.)

Я предоставлю читателю самому провести несложное алгебраическое доказательство того, что фокус должен получаться всегда без осечек».

Простота, с которой тасуются карты, делает их очень удобными Для демонстрации ряда вероятностных теорем, из которых многие достаточно удивительны и вполне заслуживают, чтобы их называли фокусами. Представим себе, например, что у каждого из двух людей имеется по колоде из 52 карт. Один из них считает вслух от 1 до 52. На каждый счет оба выкладывают на стол по одной карте рубашкой вниз. Какова вероятность того, что в какой-то момент на стол будут выложены одновременно две одинаковые карты?

Многие, наверное, считают, что эта вероятность мала, а на самом деле она больше 1/2! Вероятность несовпадения равна 1, деленной на трансцендентное число е. (Это не совсем так, но ошибка составляет менее 1/1069) Поскольку число е равно 2,718…, вероятность совпадения приближенно равна 17/27, или почти 2/3. Если найдется желающий поспорить, что совпадения не будет, вы имеете довольно большие шансы выиграть пари. Интересно заметить, что, выкладывая карты из двух колод, мы получаем эмпирический метод для нахождения десятичного разложения числа е, аналогичный нахождению разложения числа π бросанием иглы Бюффона.[21] Чем больше карт мы возьмем, тем ближе к 1/е будет вероятность несовпадения.

Глава 11. ДЕВЯТЬ НОВЫХ ЗАДАЧ

1. Соприкасающиеся сигареты. Четыре шара можно расположить так, что каждый из них будет касаться трех других. Пять монет можно установить так, что каждая монета будет касаться четырех остальных (рис. 47).

Рис. 47

Можно ли расположить шесть сигарет таким образом, чтобы каждая из них соприкасалась с пятью остальными?

2. Два парома. Два парома отходят одновременно от противоположных берегов реки и пересекают ее перпендикулярно берегам.

Скорости у паромов постоянны, но у одного больше, чем у другого.

Паромы встречаются друг с другом на расстоянии 720 м от ближайшего берега. Прежде чем плыть обратно, оба парома в течение 10 мин стоят у берега. На обратном пути они встречаются в 400 м от другого берега. Какова ширина реки?

3. Как найти длину гипотенузы? Прямоугольный треугольник вписан в четверть окружности так, как показано на рис. 48.

Рис. 48

Можете ли вы, пользуясь лишь теми данными, которые приведены на чертеже, вычислить длину гипотенузы АС?

На размышление дается одна минута!

4. Хитрый электрик. Однажды электрику пришлось столкнуться с довольно неприятной задачей.

В трехэтажном доме проведена скрытая проводка. Наружу провода выходят только в двух местах: на третьем этаже и в подвале.

В том и другом случаях вывод представляет собой пучок из 11 абсолютно одинаковых проводов. Какой конец провода в верхнем выводе соответствует тому или иному концу провода в нижнем выводе, неизвестно. Именно это и должен был установить монтер.

Чтобы выполнить свою задачу, он может сделать две вещи:

1) закоротить любые провода вверху или внизу, скрутив их концы;

2) отыскать замкнутый контур с помощью специального тестера, состоящего из батарейки и звонка. Если такой прибор присоединить к концам неповрежденного провода, раздастся звонок.

Не желая понапрасну бегать вверх и вниз по лестнице, электрик, увлекавшийся к тому же исследованием операций, уселся на ступеньке с карандашом и бумагой и вскоре придумал наиболее эффективный способ решения задачи.

В чем состоял его метод?

5. Как пересечь сеть прямых? Одна из самых старых топологических головоломок, известных любому школьнику, состоит в вычерчивании непрерывной линии, пересекающей по одному разу все 16 звеньев замкнутой сети прямолинейных отрезков, изображенных на рис. 49.

Рис. 49

Кривая, проведенная на этом рисунке, не может служить решением головоломки, потому что не пересекает одного звена сети. При построении решения использовать какие-нибудь трюки — проводить кривую через вершины сети, вдоль ее звеньев, складывать лист бумаги и т. д. — нельзя.

Нетрудно доказать, что на плоскости эта головоломка решения не имеет. Возникают два вопроса: можно ли решить ее на сфере?

Существует ли решение на поверхности тора (бублика)?

6. Двенадцать спичек. Если считать, что спичка служит эталоном длины (ее длина принята за единицу длины), то 12 спичек можно различными способами расположить на плоскости так, чтобы получились многоугольники с целочисленной площадью. Два таких многоугольника изображены на рис. 50: площадь квадрата равна 9, площадь креста —5.

Рис. 50

Задача. Пользуясь всеми 12 спичками (длина каждой спички должна быть использована полностью), выложите периметр многоугольника, площадь которого равна 4.

7. Отверстие в шаре. На первый взгляд это совершенно невероятная задача (невероятная потому, что кажется, будто данных для решения недостаточно).

Через центр шара просверлено цилиндрическое отверстие длиной 6 см. Каков объем оставшейся части шара?

8. Влюбленные жуки. Четыре жука — Л, В, С, D — сидят по углам квадрата со стороной 10 см (рис. 51).

Рис. 51

Жуки А и С — самцы, В и D — самки. Они начинают одновременно ползти: А к В, В к С, С к D и D к А. Если все жуки ползут с одинаковой скоростью, то они опишут четыре одинаковые логарифмические спирали, которые пересекаются в центре квадрата. Какое расстояние проползет до встречи каждый жук? Задача решается без вычислений.

9. Сколько детей?

— Я слышу, в саду играют дети, — сказал Джон. — Неужели все они ваши?

— Боже упаси, конечно, нет, — воскликнул профессор Смит, известный специалист по теории чисел. — Там, кроме моих детей, играют еще и дети троих соседей, но наша семья самая большая.

У Браунов детей меньше, чем у меня, у Гринов — еще меньше, а меньше всего детей у Блэков.

— А сколько всего детей? — спросил Джон.

— На этот вопрос я отвечу так, — сказал Смит. — Детей меньше восемнадцати, а если перемножить между собой число детей в семьях, то получится номер моего дома, который вы видели, когда пришли.

Джон достал из кармана блокнот и карандаш и принялся за вычисления. Через некоторое время он поднял голову и сказал:

— Нужна еще кое-какая информация. У Блэков больше одного ребенка?

Как только Смит ответил, Джон улыбнулся и правильно назвал число детей в каждой семье.

Джону задача показалась тривиальной, поскольку он знал номер дома, а профессор сообщил ему, сколько детей у Блэков — один или больше. Но оказывается, что число детей в каждой семье можно определить и без этой дополнительной информации!