Том 9. Загадка Ферма. Трехвековой вызов математике - Альберт Виолант-и-Хольц

* * *

СЛУЧАЙ ДЛЯ 4К + 1

Примером неполных объяснений, которые встречаются в Relation des nouvelles découvertes en la science des nombres, являются способы доказать, что любое простое число вида 4k + 1 можно представить как сумму двух квадратов. Нужно начать с предположения, что существует простое число вида 4k + 1, которое нельзя представить в виде суммы двух квадратов. Тогда можно убедиться, что существует простое число, меньшее данного, которое также нельзя представить в виде суммы двух квадратов. Это ведет к противоречию, так как путем подобных рассуждений мы придем к числу 5 — наименьшему из простых чисел подобного вида, но его можно представить как сумму двух квадратов: 5 = 22 + 12. Следовательно, исходное утверждение доказано. Но Ферма не объясняет, как совершить переход от большего простого числа к меньшему. Лишь через несколько десятилетий Эйлер восстановил действия, пропущенные в доказательстве Ферма. Это еще один пример того, как Ферма нашел доказательство, но не потрудился записать его.

* * *

Он понимал это и решил исправить ситуацию наилучшим известным ему способом: продолжал писать письма. Он не хотел публиковать книги под своим именем. Ему было важно лишь то, чтобы они увидели свет и тем самым способствовали развитию науки. В 1659 году он просит де Каркави, чтобы тот отправил Гюйгенсу его труд «Рассказ о новых открытиях в науке о числах» (Relation des nouvelles dücouvertes en la science des nombres). В нем Ферма подробнее, чем обычно, объяснял многие свои методы, но все же не столь подробно, как этого хотелось бы его коллегам.

Ферма умер, так и не найдя издателя, который бы опубликовал его работы. Хотя некоторые из них стали частично известны из его писем, а также публикаций его современников, можно утверждать, что большинство его трудов было бы утеряно навсегда, если бы не сын Ферма, Самуэль, который разделял увлечение отца математикой. В 1670 году Самуэль Ферма опубликовал «Арифметику» Диофанта в переводе Баше с комментариями отца.

Методы, предложенные Ферма, не переставали удивлять его современников. Он внес вклад в создание бесчисленного множества новых теорий, которые зародились именно в ту плодотворную эпоху. Для нахождения максимума и минимума он использовал выражение, подобное производной, и приравнивал его к нулю. Он применил алгебраические методы для решения геометрических задач до Декарта, что позволяет считать его отцом аналитической геометрии. Он занимался решением задач из теории вероятностей и комбинаторики, что дает возможность назвать его, наряду с Паскалем, создателем этих разделов математики. Кроме того, Ферма считается основателем современной теории чисел, в которую он внес огромный вклад и где его ум сверкал по-настоящему. Он также занимался оптикой и механикой. Подобно царю Мидасу, который превращал в золото все, к чему прикасался, Ферма добивался заметных результатов во всех темах, над которыми работал. И всего этого он достиг, работая адвокатом! Если бы он сформулировал уравнение справедливости, то смог бы найти и его решение.

Глава 5

Ингредиенты вкусного блюда

Нет задачи, которая устояла бы под натиском разума.

Вольтер

В 1666 году, спустя несколько лет после смерти ее вдохновителя, Мерсенна, была основана Парижская академия наук. Жан Батист Кольбер, тогдашний министр финансов Франции, выделил значительные средства для этого престижного ныне учреждения. Постепенно в академию стали приглашать ведущих ученых со всего мира, и среди них были многие из тех, с кем переписывался Мерсенн. По сути, именно эта группа ученых дала толчок сему амбициозному проекту и воплотила его в жизнь.

В 1721 году Парижская академия наук учредила ряд премий, чтобы стимулировать развитие науки в определенных важных областях. Комитет, который выбирал задачи, состоял из общепризнанных экспертов мировой величины. Среди лауреатов этой премии были Колин Маклорен за работы по изучению падения тел (1724 год), Пьер Бугер и Шарль Этьенн Луи Камю за работы о корабельных мачтах (1727 год), Леонард Эйлер за изучение природы огня (1738 год), Шарль Огюстен де Кулон за исследования в теории трения (1781 год), Симеон Дени Пуассон за работы по электричеству и Жан Огюстен Френель за исследования дифракции (1812 год).

В то время задачи, которые оставил миру Ферма, отчаянно пытались решить многие математики, с переменным успехом постепенно доказывавшие сформулированные им утверждения. Теорема, которой посвящена эта книга, упорно сопротивлялась всем попыткам решения, за что получила название последней теоремы Ферма. Академия, с целью простимулировать исследования по этой теме, в 1816 году учредила премию тому, кто приведет доказательство последней теоремы Ферма. Многие ученые работали над этой проблемой и убеждали коллег заняться тем же.

Первые двести лет

Генрих Вильгельм Маттеус Ольберс был врачом и астрономом и проводил многие часы за наблюдениями звездного неба. В 1802 году, за год до Джузеппе Пьяцци, он обнаружил карликовую планету Цереру в том самом месте, где предсказал Гаусс, но затем потерял ее из вида. В 1807 году Ольберс открыл второй астероид и уступил Гауссу право назвать его. Гаусс предложил имя Веста в честь римской богини домашнего очага. Веста — самый яркий из всего пояса астероидов. Иногда его можно наблюдать с Земли невооруженным глазом наравне со звездами шестой величины.

Визит короля Людовика XIV в Парижскую академию наук в 1671 году. Гравюра Себастьяна Леклерка из книги «Мемуары по естественной истории животных».

Несколько миллиардов лет назад Веста потеряла 1 % массы вследствие удара, и множество осколков упали на Землю в виде метеоритов. Ольберс также размышлял над вопросом, почему ночное небо такое темное, несмотря на то что его освещает бесконечное множество звезд, от света которых должно быть светло как днем. Этот парадокс позднее получил название парадокса Ольберса. Когда он узнал о премии Парижской академии, то обратился к своему другу Карлу Фридриху Гауссу и предложил тому стать соискателем этой премии.

Немецкий астроном и врач Генрих Ольберс. Литография Рудольфа Зурландта.

21 марта 1816 года Гаусс ответил: «Признаюсь, что теорема Ферма сама по себе не представляет для меня большого интереса, так как я с легкостью могу сформулировать множество подобных теорем, которые нельзя будет ни доказать, ни опровергнуть». Несмотря на это, Гаусс тоже работал над решением, что следует из его личных записей, где приведены доказательства для n = 3 и n = 5. Неизвестно, пытался ли Гаусс доказать теорему до того, как Ольберс предложил ему заняться этой темой. Быть может, осознав трудность задачи, он предпочел отклонить приглашение и продолжить работу в одиночку, надеясь получить какой-то значимый результат, достойный публикации. Возможно, он действительно не уделил особого внимания этой задаче и предпочел обратиться к более интересным темам.

Несмотря на слова Гаусса, теорема не давала покоя великим математикам того времени, и они усердно занимались поисками доказательства. Теперь на кону стояла не только премия академии, но также известность и слава. Наступил срок подачи заявок, но доказательство не удалось найти никому! Неудивительно, что в академии совершенно не ожидали такого результата. До учреждения этой премии столь крупный ученый, как Эйлер, пытался найти доказательство, но ему удалось это сделать только для n = 3 примерно в 1760 году. Как уже говорилось в предыдущей главе, возможно, доказательство для этого случая нашел еще Ферма с помощью своего метода бесконечного спуска. Но теперь математическое сообщество могло бы спать спокойно, зная, что доказательство строго оформил и записал Эйлер. Было очевидно, что куб нельзя представить в виде суммы двух кубов, но что можно сказать о бесконечном множестве всех остальных степеней?

Привлекательность теоремы в научном сообществе неуклонно росла. Немецкий математик Иоганн Петер Густав Лежён-Дирихле (1805–1859) и француз Адриен Мари Лежандр (1752–1833) в 1825 году независимо друг от друга нашли доказательство для n = 5. В 1832 году Дирихле сделал еще один шаг и доказал теорему Ферма для n = 14. В 1839 году француз Габриель Ламе (1795–1870) вошел в историю, доказав теорему для n = 7. Восемь лет спустя он объявил, что ему удалось найти доказательство в общем виде, но он ошибался. Доказать теорему Ферма для нескольких частных случаев удавалось многим математикам. Учитывая, что простых показателей степени бесконечно много, получается, что доказательство теоремы должно было занять бесконечно много времени?