Том 9. Загадка Ферма. Трехвековой вызов математике - Альберт Виолант-и-Хольц

Например, если вместо последнего условия 4х — 4 мы используем 4х — 5, то получим другое, полностью корректное решение:

(4х + 3)2 + х = (4х — 5)2 —>

16х2 + 24х + 9 + х = 16х2 — 40х + 25 —>

24х + 9 + х = — 40х + 25 —>

24х + х + 40х = 25 — 9 —>

65х = 16 —>

х = 16/65.

Мы получили еще одно решение: 16/65, 97/65, 259/65.

Если вместо последнего условия 4х — 4 мы используем 5х — 3, то получим еще одно корректное решение:

(4х + З)2 + х = (5х — 3)2 —>

16х2 + 24х + 9 + х = 25х2 — 30х + 9.

Сократив девятки в обеих частях равенства, получим:

16х2 + 24х + х = 25х2 — 30х.

Поделив обе части на х, имеем:

16х + 24 + 1 = 25х 30 —>

24 + 1 + 30 = 25х — 16х —>

55 = 9х —>

х = 55/9.

Мы получили еще одно решение: 55/9, 119/9, 247/9. Теперь нам открываются новые задачи. Например, существуют ли целые решения, которые удовлетворяют этим условиям?

Задача 29 из книги IV

Еще одна, также очень известная задача из «Арифметики» — это задача 29 из книги IV. Она звучит так:

«Найти четыре квадрата, сумма которых, увеличенная на сумму их сторон, будет равна данному числу».

И снова мы видим всю гениальность Диофанта:

«Пусть дано число 12. х2  + х + 1/4 — квадрат. Следовательно, сумма четырех квадратов + сумма их сторон + 1 = сумма других четырех квадратов = 13. Следовательно, нужно разделить 13 на четыре квадрата, и, если мы вычтем 1/2 из всех его сторон, получим стороны искомых квадратов.

Имеем 13 = 4 + 9 = (64/23 + 36/25) + (144/25 + 81/25), и стороны искомых квадратов равны 11/10, 7/10, 19/10, 13/10. Их квадраты соответственно равны 121/100, 49/100, 361/100, 169/100».

Рассуждения полностью корректны для частного случая n = 12. Эту задачу в современной форме записи можно представить так:

«Найти x1, х2, х3, х4 такие, что

х12 + х22 + х32 + х42 + х1 + х2 + х3  + х4 = n,

где n — данное число».

Прибавив 1 к обеим частям равенства, получим

х12 + х22 + х32 + х42 + х1 + х2 + х3  + х4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 = n + 1.

Переупорядочив слагаемые и предположив, что n = 12, имеем

х12 + х1 + 1/4 + х22 + х2 + 1/4 + х32 + х3  + 1/4 + x42 + х4 + 1/4 = 12 + 1.

Принимая во внимание, что х2 + х + 1/4 = (х + 1/2)2, можно записать следующее:

(x1 + 1/2)2 + (х2+ 1/2)2 + (х3 + 1/2)2 + (х4 + 1/2)2  = 13.

Осталось лишь представить 13 в виде суммы четырех квадратов. В данном конкретном случае нетрудно заметить, что 13 является суммой двух квадратов, 4 и 9. Используя теорему Пифагора, нетрудно выразить каждое из этих чисел в виде суммы двух квадратов, как делает сам Диофант в других задачах «Арифметики».

Числа 4, 3, 5 образуют пифагорову тройку: 42 + 32 = 52. Поделив обе части равенства на 52, получим (4/5)2 + (3/5)2 = 1. Теперь, если мы умножим обе части равенства на 22, получим (8/5)2 + (6/5)2 = 22, то есть (64/25) + (36/25) — 4. Если умножить обе части равенства на З2, получим (12/5)2 + (9/5)2 = З2, то есть (144/25) + (81/25) = 9 — именно такое разложение и предлагает Диофант. Таким образом, решение найдено:

(х1 + 1/2) = 8/5,

(x2 + 1/2) = 6/5,

(x3 + 1/2) = 12/5,

(x4 + 1/2) = 9/5.

Вычтем 1/2 из обеих частей каждого равенства и получим ответ, предлагаемый Диофантом. Удивительно, но 13 = 1 + 4 + 4 + 4, то есть представить 13 в виде суммы четырех квадратов можно было намного проще! Подобное разложение дает следующее решение: 1/2, 3/2, 3/2, 3/2.

Загадочное примечание

Баше заметил, что в этой и других задачах «Арифметики» Диофант пользовался тем, что любое число можно представить в виде суммы четырех квадратов. Он проверил эту закономерность для всех чисел до 325, но ему хотелось найти строгое доказательство. Здесь в дело вступил гений Ферма: «Я первым открыл замечательную теорему, которая гласит: всякое натуральное число — либо треугольное, либо сумма двух или трех треугольных чисел; всякое натуральное число — либо квадратное, либо сумма двух, трех или четырех квадратных чисел; всякое натуральное число — либо пятиугольное, либо сумма от двух до пяти пятиугольных чисел и так далее до бесконечности для шестиугольников, семиугольников и любых других многоугольников, изменяя формулировку этой удивительной теоремы в соответствии с числом углов».

Он писал: «Доказательство этой теоремы зависит от различных и запутанных свойств чисел, и я не могу привести его здесь. Я решил посвятить этому вопросу отдельный и полный труд и тем самым удивительным образом продвинуть арифметику далеко за пределы, известные еще с древних времен».

Но эта работа так никогда и не увидела свет. Написал ли ее Ферма? Действительно ли ему удалось найти какое-то доказательство? Неизвестно. Это еще одна загадка Ферма. Известно лишь, что этой задачей занимались математики масштаба Лежандра, Лагранжа, Эйлера и Гаусса, и каждому из них удалось внести свой вклад в ее решение.

В 1770 году Жозеф Луи Лагранж доказал случай для квадратов, то есть утверждение, что любое натуральное число можно представить в виде суммы четырех квадратов. Доказательство этой теоремы для треугольных чисел принадлежит Гауссу, который 10 июля 1796 года записал в дневнике: «**EYRHKA num = Δ + Δ + Δ».

Этот частный случай оказался эквивалентен следующему утверждению: любое число вида 8m + 3 можно представить в виде суммы трех нечетных квадратов. Дирихле, в свою очередь, изучал, сколькими способами можно представить данное число в виде суммы трех треугольных чисел. Наконец, в 1813 году Коши привел полное доказательство. Для полного решения задачи, вкратце записанной на полях книги, понадобилось почти 150 лет.

Портрет математика Огюстена Луи Коши, который завершил доказательство теоремы, сформулированной Ферма на основе задачи 29 книги IV «Арифметики» Диофанта.

Возвращаемся ко второй книге: задача 8

Задача 8 книги II, несомненно, является важнейшей вехой в истории, которая рассказывается в этой книге. Эта задача звучит так:

«Представить квадратное число в виде суммы двух квадратов».

Затем Диофант приводит следующее решение:

«Пусть дано квадратное число 16. Пусть х2 — один из искомых квадратов. Следовательно, 16 — х2 также будет квадратом. Возьмем квадрат вида (mx — 4)2, где m — любое целое, 4 — квадратный корень из 16. Возьмем в качестве примера (2х — 4)2 и приравняем это выражение к 16 — х2. Следовательно, 4х2 — 16х + 16 = 16 — х2; 5х2 = 16х; х = 16/5. Искомыми квадратами являются 256/25 и 144/25».

Здесь использован тот же прием, что и в задаче 32 книги II. Так как значение m может быть произвольным, то задача может иметь бесконечно много решений.

Все эти решения очень легко найти. На полях страницы, где излагается эта задача, Ферма написал комментарий, который вошел в историю:

«Cubum autem in duos cubos, aut quadrate-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet».

Что в переводе означает:

«Невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него».

Другими словами, Ферма утверждал, что уравнение хn  + уn  = zn не имеет рациональных решений при х, у, z, отличных от нуля, и n > 2, и оправдывал отсутствие пояснений тем, что найденное им чудесное доказательство не поместится на полях этой страницы. Это напоминает нам пометку к задаче 29 книги IV. Разумеется, это доказательство никогда не увидело свет.