Том 9. Загадка Ферма. Трехвековой вызов математике - Альберт Виолант-и-Хольц

Из этой таблицы видно, что единственными целыми положительными решениями являются х = 5, у = 6, следовательно, всего наш сосед купил 11 бутылок растительного масла. Со временем методы решения уравнений подобного типа совершенствовались и были реализованы в компьютерных программах и инженерных калькуляторах.

* * *

В 1885 году сэр Томас Хит опубликовал первый перевод «Арифметики» на английский язык. Второе издание этого замечательного перевода увидело свет в 1910 году. В него были включены комментарии Баше, Ферма и других. Многие античные авторы оставляли в книгах свои комментарии. В различные издания и переводы часто включались примечания редактора и переводчика, но при этом не указывалось, что именно является частью исходного текста, а что — комментариями. Возможно, тогда считалось, что настоящий шедевр строится со временем и любой желающий может изучить его и дополнить чем-то новым. Следовательно, с исторической точки зрения очень важно иметь как можно больше изданий одной и той же книги, чтобы видеть, как ее текст изменялся со временем.

Изучив рукописи, которые сохранились до наших дней, Таннери предположил, что все они имеют один общий источник. По-видимому, этим общим источником является издание «Арифметики» с комментариями Гипатии Александрийской. Согласно этой же теории, данный труд включал именно те шесть книг, которые дошли до наших дней. Утерянными оказались те книги, которые не были прокомментированы Гипатией. Если это так, то именно усилиями Гипатии до нас дошла часть наследия Диофанта. Также весьма вероятно, что сама Гипатия существенно дополнила эти книги. В настоящее время исследователи продолжают работу, и окончательный ответ все еще не найден.

Один из экземпляров издания с комментариями Баше попал в руки Ферма. Тот прекрасно владел латынью и греческим и мог читать «Арифметику» на двух языках. Кроме того, это издание уже содержало комментарии, словом, служило идеальной отправной точкой для новых комментариев.

Задача 32 из книги II

Эта задача формулируется так:

«Найти три числа, таких что квадрат любого из них, сложенный со следующим числом, дает квадрат».

Можно использовать любые способы решения. Возможно, если нам повезет, мы сможем найти верный ответ. Можно начать, например, с того, что выбрать в качестве первого числа 1. Теперь, по условию, его нужно возвести в квадрат и прибавить к нему следующее из трех чисел, при этом результат должен также являться квадратом. Например, 12 + 3 = 4 = 22. Итак, мы выбрали 1 и 3. Теперь возведем 3 в квадрат и прибавим к нему некое число так, чтобы результат тоже был квадратом. Например, З2 + 7 = 16 = 42. Имеем 1, 3 и 7. Теперь осталось совершить последний шаг цикла и подтвердить, что 7 в квадрате, сложенное с 1, также дает квадрат: 72 + 1 = 50. Увы, но 50 не является квадратом. Следовательно, нужно начинать все сначала и попробовать другие числа. Эта задача подобна головоломке: нужно правильно расставить все элементы по своим местам. Ферма проводил многие часы за решением подобных задач. Они бросали вызов его воображению, и такой же вызов позднее бросил современникам он сам.

Решение задачи 32

Диофанту было известно решение этой задачи, и непохоже, что он нашел его случайно. Скорее всего, ему был известен некий загадочный метод решения. Решение, предложенное Диофантом, таково:

«Обозначим первое число за х, второе примем равным 2х + 1, третье — 2(2х + 1) + 1, то есть 4х + 3, так что два условия задачи выполняются. Последнее условие формулируется так: (4х + 3)2 + х = квадрат = (4х — 4)2. Следовательно, х = 1/51, а тройка искомых чисел такова: 7/57, 71/57, 199/57».

Как получилось, что подобные выкладки приводят к верному ответу? Нет никаких сомнений, что Диофант был выдающимся математиком. Он обозначил первое число за х. Второе число он мог выбрать любым способом, но обозначил его за 2х + 1, потому что знал, что х2 + 2х + 1 = (х + 1)2, следовательно, выполнялось первое условие. Третье число он также мог выбрать произвольным образом, но выбрал 2(2х + 1) + 1, то есть 4х + 3, поскольку он знал, что (2х + 1)2 + 2(2х + 1) + 1 = (2х + 2)2, следовательно, выполнялось и второе условие. Остается лишь третье условие, а именно: (4х + 3)2 + х = квадрат. Здесь снова проявляется гений Диофанта: он понял, что этот квадрат может быть представлен в виде (4х — 4)2, и в этом случае для решения задачи достаточно найти корни очень простого уравнения.

(4х + 3)2 + х = (4х — 4)2.

Раскрыв скобки, получим:

16х2 + 24х + 9 + x = 16х2 — 32х + 16.

Сократив 16х2, имеем:

24х + 9 + х = —32х + 16.

Перенесем все члены с х в одну часть и получим:

24х + х + 32х = 16 — 9 —> 57х = 7 —> х = 7/37.

Мы нашли первое из искомых чисел. Теперь нетрудно найти второе число, равное 2х + 1 = 71/57, и третье, равное 4х + 3 = 199/57. Наконец, легко показать, что

(7/57)2 + 71/57 = 4096/3249 = (64/57)2 (первое условие);

(71/57)2  + 199/57 = 16384/3249 = (128/57)2 (второе условие);

(199/57)2 + 7/57 = 40000/3249 = (200/57)2 (третье условие).

Особенности задачи

На примере этой задачи мы можем оценить всю красоту стиля Диофанта, которым, должно быть, восторгался и Ферма. Эта задача красива, но явно непрактична. Кому может быть интересно решить ее? Она не нужна, чтобы подсчитать урожай, измерить землю или узнать расположение звезд. Она лишь показывает одно из свойств рациональных чисел. Интерес этой задачи заключен в музыке чисел, в беспрестанных попытках понять их внутреннюю гармонию и ритм. Однако чтобы решить ее, требуется весь математический аппарат и все доступные средства. Так, именно размышления об «Арифметике» навели Виета на мысль о создании основ алгебраической нотации, которая используется и сейчас. Он пытался сделать труд Диофанта понятнее читателю и найти средство для решения все более сложных задач. Ферма, вдохновленный «Арифметикой», сформулировал новые задачи и нашел новые способы доказательства, которые снова вызвали интерес к теории чисел, ставшей со временем одним из самых многообещающих разделов математики. Простые числа, которые в свое время интересовали древних греков, сегодня используются в сложнейших системах шифрования информации и моделирования Вселенной.

С другой стороны, решенная задача имеет чисто арифметический смысл. Если бы задача имела геометрический смысл, то сложение числа, возведенного в квадрат, с другим числом было бы равносильно сложению площади и длины — величин разных порядков. Теорема Пифагора — совершенно иной случай: она гласит, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, то есть площадь двух квадратов, построенных на катетах, равна площади большого квадрата, построенного на гипотенузе. В этом равенстве все величины имеют один порядок. В теореме Ферма все степени также имеют одинаковые показатели: хn + уn = zn. При n = 3 можно представить, что мы складываем объемы кубов и получаем объем третьего, большего куба. Для больших степеней речь будет идти уже о многомерных фигурах в многомерных пространствах.

Параллельные рассуждения

Эта задача также характеризуется тем, что ее решение нетривиально. Его сложно найти случайно. Подобным свойством обладают и многие другие задачи из «Арифметики». Кроме этого, Диофант довольствовался одним частным решением и не стремился решить задачу в общем виде, чтобы найти все возможные решения. Несмотря на это, его результаты открывают возможность провести параллельные рассуждения, с помощью которых можно найти новые решения, не упоминаемые в книге.

Например, если вместо последнего условия 4х — 4 мы используем 4х — 5, то получим другое, полностью корректное решение:

(4х + 3)2 + х = (4х — 5)2 —>

16х2 + 24х + 9 + х = 16х2 — 40х + 25 —>

24х + 9 + х = — 40х + 25 —>

24х + х + 40х = 25 — 9 —>

65х = 16 —>

х = 16/65.

Мы получили еще одно решение: 16/65, 97/65, 259/65.

Если вместо последнего условия 4х — 4 мы используем 5х — 3, то получим еще одно корректное решение: