Имя: Избранные работы, переводы, беседы, исследования, архивные материалы - Алексей Федорович Лосев

вовсе пасует, то оказывается по меньшей мере малополезной. Действительно, если говорить о части и целом, то привычки обычной языковой практики готовы засвидетельствовать здесь только одно: часть есть ущерб целого и, лишь разрастаясь до крайних размеров (т.е. переставая быть именно собой), часть становится тождественной целому, совпадает с ним. Заслуга Г. Кантора состояла в строгом доказательстве возможности совсем иного отношения части и целого, справедливого для особого класса множеств. Именно, для бесконечных множеств всегда (подчеркнем – всегда) справедливо то, что для конечной области возможно лишь в вырожденном случае, – эквивалентность бесконечного подмножества (части) своему бесконечному множеству (целому). Если воспользоваться известным крылатым выражением, то фундаментальную особенность области бесконечного можно выразить так: «лев» здесь не только «узнается по когтям», но «когтями» же и полностью представлен. Процедура установления эквивалентности множеств, которую нашел Г. Кантор, оказалась настолько простой и убедительной (это – попарное сочетание элементов сравниваемых множеств и демонстрация того, что ни в одном множестве не остается непарных элементов), что она фактически стала конструктивным методом реального распознавания бесконечных множеств. Для выяснения того, каким является данное множество, конечным или бесконечным, необходимо и достаточно проверить соотношение его как целого к собственной части: неэквивалентность целого и части сигнализирует о конечности, эквивалентность – о бесконечности множества.

Все эти непростые «технические» подробности приходится излагать только ради возможности прийти к вопросу, для нашей темы важнейшему, к вопросу о соприкосновении бесконечности и Бесконечности. Имяславцы давали на него собственный ответ, а в арсенал своих аргументов они вполне могли бы включать следующее высказывание Г. Кантора:

«Как ни ограничена в действительности человеческая природа, к ней все-таки прилипло очень многое от бесконечного, и я думаю даже, что если бы она не была сама во многих отношениях бесконечной, то нельзя было бы объяснить твердой убежденности и уверенности в бытии абсолютного» 18.

Отнесение «человеческой природы» в область бесконечного вместе с прямым доказательством своего рода «соразмерности» – в этой области, – объемлемого (а если это человек?) и объемлющего (а если это Бог?) дает право решать вопрос о «соприкосновении» в каком-то смысле положительно. Но тут же встает иная проблема. Как ни называть отношение, в строгом ли смысле эквивалентностью множества и подмножества 19, в нестрогом ли смысле «соразмерностью» либо «соприкосновением», сомнение возникает одно и то же: если это отношение предполагается между тварью (пусть – бесконечностью) и Творцом (пусть – Бесконечностью), то построения теории множеств, выходит, смыкаются с пантеизмом. В трудах самого Г. Кантора засвидетельствовано, что упреки в пантеизме он действительно получал 20, а П.А. Флоренский прямо так и объяснял «десятилетнее» молчание математика, первоначально таившего свое новое понимание бесконечности, – он обдумывал и проверял, «нет ли в его идеях ошибок и неувязок, не ведет ли его учение к пантеизму» 21. Поэтому не нужно удивляться, когда где-нибудь в математическом тексте создателя теории множеств вдруг встретится явно не математическое, явно с «онтологическим привкусом» утверждение о том, например, что всякое множество «обладает большей реальностью», чем подмножество. Да, он постоянно помнил о грозной опасности.

Однако Г. Кантор долго отмалчивался недаром, ибо его теория явилась пред публикой во всеоружии новых и, главное, фундаментальных понятий, на которых строится не какое-то фрагментарное, пусть и блестящее, умозаключение, но законченное здание цельного мировоззрения. Вместе со счастливо найденной общей идеей множества (уже ее запасов хватает, чтобы почти на протяжении века определять то, что называется теоретико-множественным стилем мышления) громадную роль несущих конструкций играют канторовские понятия мощности и порядкового типа множеств, а также понятие актуальной бесконечности. Мы будем говорить о них по необходимости кратко.

Представления о мощности (или кардинальном числе, кардинале) и типе (порядковом типе, или ординальном числе, ординале) множества появились у Г. Кантора на пути дальнейшего совершенствования механизма сравнения множеств и установления их эквивалентности. В области конечного такое сравнение легко делается посредством оценки количества элементов множеств (больше то множество, у которого большее количество элементов), но «когда мы поднимаемся в область бесконечного», говорил Г. Кантор, понятие количества «как бы раскалывается» надвое – на понятия мощности и порядкового типа 22. Разница между ними лежит в степени отвлечения от характера элементов множества. Скажем, если не принимается во внимание только качественное наполнение множеств, природа их элементов, но важен приданный множествам порядок, то множества будут сравниваться по порядковому типу; если же отвлечение произведено и от порядка элементов, то множества будут сравниваться по мощности. Два множества считаются эквивалентными, если они имеют одинаковую мощность, т.е. между их элементами устанавливается взаимно однозначное соответствие без соблюдения порядка сравниваемых элементов. Так, эквивалентны множество цветов радуги и множество музыкальных тонов или, – пример из первых математических подвигов Г. Кантора, – эквивалентны множества натурального ряда чисел и множества положительных рациональных чисел. Два множества считаются подобными, если они имеют одинаковый порядковый тип, т.е. при установлении однозначного соответствия сохранен также порядок расположения их элементов. Так, подобны множества всех точек живописной картины и множество всех точек ее копии 23.

Как уже было сказано, кардиналы и ординалы в конечной области совпадают, поглощенные единым понятием количества, они присутствуют здесь как бы в потенции, в полную силу разворачиваясь лишь в области бесконечного. Они, выходит, перенесены из бесконечных сфер в область конечного для достижения идейной однородности, для слитости общего устройства. Г. Кантор сделал еще один необычайно важный перенос, теперь уже распространяя навыки работы с конечными множествами на поприще бесконечных множеств. Он ввел принципы порождения чисел, одинаково справедливые и в конечной и в бесконечной области: с одной стороны, к уже образованному числу всегда можно добавить очередную единицу и, следовательно, можно продолжить ряд чисел по возрастанию; с другой стороны, всякому такому ряду можно выставить некий предел в виде такого числа, которое определяется как первое большее всех чисел ряда 24. Со вторым принципом порождения тесно связано еще одно фундаментальное понятие из лосевского перечня – актуальная бесконечность. До Г. Кантора большинство математиков и философов признавало только потенциальную бесконечность, т.е. такую (строго говоря, единственную) бесконечность, которую нельзя «пощупать», нельзя охарактеризовать никаким определенным образом, например, числом. Единственное, что описывает «лик» такой бесконечности, это ее безликая переменчивость, вечная устремленность куда-то, потому в потенциальной бесконечности различимо разве что направление перемен, – как определил Г. Кантор, либо рост «сверх всяких конечных границ», либо убывание «ниже всякой конечной границы малости» 25. С введением же идеи актуально бесконечного (и привлечением вышеизложенного аппарата сравнения множеств) перед создателем теории множеств открылось нечто головокружительное: существует не одна-единственная