Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров - РАЛЬФ РАЛЬФ ВИНС

Рисунок 1-7 показывает все имеющиеся портфели, рассматриваемые в данном примере. Если у вас портфель С, то лучше заменить его на портфель А, где при­быль такая же, но с меньшим риском, или на портфель В, где вы получите боль­шую прибыль при том же риске. Описывая эту ситуацию, Марковиц ввел понятие «эффективная граница» (efficient frontier). Это набор портфелей, которые находятся в верхней левой час­ти графика, то есть портфели, прибыль которых больше не может быть увеличе­на без увеличения риска, и риск которых не может быть уменьшен без уменьше­ния прибыли. Портфели, находящиеся на эффективной границе, называются эффективными портфелями (см. Рисунок 1-8). Портфели, которые находятся вверху справа и внизу слева, в целом недоста­точно диверсифицированы по сравнению с другими портфелями. Те же портфе­ли, которые находятся в середине эффективной границы, обычно очень хорошо диверсифицированы. Выбор портфеля инвестором зависит от степени неприятия риска инвестором — иначе говоря, от желания взять на себя риск. В модели Марковица любой портфель, который находится на эффективной границе, является хорошим выбором, но какой именно портфель выберет инвестор — это вопрос личного предпочтения (позднее мы увидим, что есть точное оптимальное расположение портфеля на эффективной границе для всех инвесторов).

Модель Марковица первоначально была представлена для портфеля ак­ций, который инвестор будет держать достаточно долго. Поэтому основными входными данными были ожидаемые доходы по акциям (определяется как ожидаемый прирост цены акции плюс дивиденды), ожидаемые дисперсии этих доходов и корреляции доходов между различными акциями. Если бы мы

Рисунок 1-7 Современная теория портфеля

Рисунок 1-8 Эффективная граница

перенесли эту концепцию на фьючерсы, то было бы разумным (так как по фью­черсам не выплачивают дивидендов) измерять ожидаемое повышение цены, дис­персию и корреляции различных фьючерсов. Возникает вопрос: «Если мы измеряем корреляцию цен, то что произойдет при включении в портфель двух систем с отрицательной корреляцией, работаю­щих на одном и том же рынке?» Допустим, у нас есть системы А и В с отрицатель­ной корреляцией. Когда А в проигрыше, В в выигрыше, и наоборот. Разве это не идеальная диверсификация? Действительно, мы хотим измерить не корреляции цен рынков, на которых работаем, а корреляции изменений ежедневных балансов различных рыночных систем. И все-таки это является сравнением яблок и апельси­нов. Скажем, две рыночные системы, корреляции которых мы собираемся изме­рить, работают на одном и том же рынке, и одна из систем имеет оптимальное f, соответствующее 1 контракту на каждые 2000 долларов на счете, а другая система имеет оптимальное f, соответствующее 1 контракту на каждые 10 000 долларов на счете. Чтобы понять суть торговли фиксированной долей в портфеле из не­скольких систем, мы переведем изменения ежедневного баланса для данной ры­ночной системы в ежедневные HPR. HPR в этом контексте означает, сколько за­работано или проиграно в данный день на основе 1 контракта в зависимости от оптимального f для этой системы. Рассмотрим пример. Скажем, рыночная систе­ма с оптимальным f в 2000 долларов за день заработала 100 долларов. Тогда HPR для этой рыночной системы составит 1,05. Дневное HPR можно найти следую­щим образом:

где А = сумма в долларах, выигранная или проигранная за этот день;

В = оптимальное f в долларах.

Для рассматриваемых рыночных систем преобразуем дневные выигрыши и про­игрыши в дневные HPR, тогда мы получим значение, не зависящее от количества контрактов. В указанном примере, где дневное HPR составляет 1,05, вы выиграли 5%. Эти 5% не зависят от того, был у вас 1 контракт или 1000 контрактов. Теперь можно сравнивать разные портфели. Мы будем сравнивать все возможные ком­бинации портфелей, начиная с портфелей, состоящих из одной рыночной систе­мы (для каждой рассматриваемой рыночной системы), заканчивая портфелями из N рыночных систем. В качестве примера рассмотрим рыночные системы А, В и С, их комбинации будут выглядеть следующим образом:

А

В

С

АВ

АС

ВС

АВС

Но не будем останавливаться на этом. Для каждой комбинации рассчитаем веса рыночных систем в портфеле. Для этого необходимо задать минимальный про­центный вес системы (или минимальное изменение веса). В следующем приме­ре (портфель из систем А, В, С) этот минимальный вес системы равен 10% (0,10):

А 100% В 100% С 100% АВ 90% 10% 80% 20% 30% 70% 60% 40% 50% 50% 40% 60% 30% 70% 20% 80% 10% 90% АС 90% 10% 80% 20% 70% 30% 60% 40% 50% 50% 40% 60% 30% 70% 20% 80% 10% 90% ВС 90% 10% 80% 20%70% 30% 60% 40% 50% 50% 40% 60% 30% 70% 20% 80% 10% 90% АВС 80% 10% 10% 70% 20% 10% 70% 10% 20% 10% 30% 60% 10% 20% 70% 10% 10% 80%

Введем понятие КСП (комбинация систем в портфеле). Теперь для каждой КСП рассчитаем совокупное HPR для отдельного дня. Совокупное HPR для данного дня будет суммой HPR каждой рыночной системы для этого дня, умноженных на процентные веса систем. Например, для систем А, В и С мы рассматриваем про­центные веса 10%, 50%, 40% соответственно. Далее допустим, что отдельные HPR для этих рыночных систем в тот день были 0,9, 1,4 и 1,05 соответственно. Тогда совокупное HPR для этого дня будет:

Совокупное HPR = (0,9 * 0,1) + (1,4 * 0,5) + (1,05 * 0,4) = 0,09 + 0,7 + 0,42 =1,21

Теперь нанесем дневные HPR для каждой КСП на ось Y В модели Марковица это соот­ветствует получаемому доходу. На оси Х отложим стандартное отклонение дневных HPR для каждой КСП. В модели Марковица это соответствует риску. Современную теорию портфеля часто называют Теорией Е -V, что соответству­ет названиям осей. Вертикальную ось часто называют Е — ожидаемая прибыль (expected return), а горизонтальную ось называют V — дисперсия ожидаемой при­были (variance in expected returns). После этого можно найти эффективную границу. Мы включили различные рынки, системы и факторы f и теперь можем количественно определить лучшие КСП (то есть КСП, которые находятся вдоль эффективной границы).

Стратегия среднего геометрического портфеля

В какой именно точке на эффективной границе вы будете находиться (то есть ка­кова эффективная КСП), является функцией вашего собственного неприятия риска, по крайней мере, в соответствии с моделью Марковица. Однако есть опти­мальная точка на эффективной границе, и с помощью математических методов можно найти эту точку. Если вы выберете КСП с наивысшим средним геометри­ческим HPR, то достигнете оптимальной КСП! Мы можем рассчитать среднее геометрическое из среднего арифметического HPR и стандартного отклонения HPR (обе эти величины у нас уже есть, так как они являются осями Х и Y модели Марковица!) Уравнения (1.16а) и (1.166) дают нам формулу для оценочного сред­него геометрического EGM (estimated geometric mean). Данный расчет очень бли­зок (обычно до четвертого или пятого знака после запятой) к реальному среднему геометрическому, поэтому можно использовать оценочное среднее геометричес­кое вместо реального среднего геометрического.