Большая Советская Энциклопедия (АН) - БСЭ БСЭ

  В А. г. на плоскости подробно изучаются геометрические свойства эллипса, гиперболы и параболы, представляющих собой линии пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершину (см. Конические сечения). Эти линии часто встречаются во многих задачах естествознания и техники. Например, движение материальной точки под воздействием центрального поля силы тяжести происходит по одной из этих линий; в инженерном деле для конструирования прожекторов, антенн и телескопов пользуются важным оптическим свойством параболы, заключающимся в том, что лучи света, исходящие из определённой точки (фокуса параболы), после отражения от параболы образуют параллельный пучок.

  В А. г. на плоскости систематически исследуются т. н. алгебраические линии первого и второго порядков (эти линии в декартовых прямоугольных координатах определяются соответственно алгебраическими уравнениями первой и второй степени). Линии первого порядка суть прямые, и обратно, каждая прямая определяется алгебраическим уравнением первой степени Ax + By + С = 0. Линии второго порядка определяются уравнениями вида Ax2 + Вху + Су2 + Dx + Еу + F = 0. Основной метод исследования и классификации этих линий заключается в подборе такой декартовой прямоугольной системы координат, в которой уравнение линии имеет наиболее простой вид, и последующем исследовании этого простого уравнения. Можно доказать, что таким способом уравнение любой вещественной линии второго порядка может быть приведено к одному из следующих простейших видов:

  Первое из этих уравнений определяет эллипс, второе — гиперболу, третье — параболу, а последние два — пару прямых (пересекающихся, параллельных или слившихся).

  В А. г. в пространстве также пользуются методом координат. При этом декартовы прямоугольные координаты .x, у и z (абсцисса, ордината и апликата) точки М вводятся в полной аналогии с плоским случаем (рис. 4). Каждой поверхности S в пространстве можно сопоставить её уравнение F (x, y, z) =0 относительно системы координат Oxyz. (Так, например, уравнение сферы радиуса R с центром в начале координат имеет вид x2 + y2 + z2 — R2 = 0.) При этом геометрические свойства поверхности S выясняются путём изучения аналитическими и алгебраическими средствами свойств уравнения этой поверхности. Линию L в пространстве задают как линию пересечения двух поверхностей S1 и S1. Если F1(x, y, z) = 0 и F2(x, y, z) = 0 — уравнения S1 и S2, то пара этих уравнений, рассматриваемая совместно, представляет собой уравнение линии L. Например, прямую L в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей. Так как плоскость в пространстве определяется уравнением вида Ax + By + Cz + D = 0, то пара уравнений такого вида, рассматриваемая совместно, представляет собой уравнение прямой L. Т. о., метод координат может применяться и для исследования линий в пространстве. В A. г. в пространстве систематически исследуются т. н. алгебраические поверхности первого и второго порядков. Выясняется, что алгебраическими поверхностями первого порядка являются лишь плоскости. Поверхности второго порядка определяются уравнениями вида:

  Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Eyz + Fxz + Gx + Ну + Mz + N = 0.

  Основной метод исследования и классификации этих поверхностей заключается в подборе такой декартовой прямоугольной системы координат, в которой уравнение поверхности имеет наиболее простой вид, и последующем исследовании этого простого уравнения. Важнейшими вещественными поверхностями второго порядка являются эллипсоиды, однополостный и двуполостный гиперболоиды, эллиптический и гиперболический параболоиды. Эти поверхности в специально выбранных декартовых прямоугольных системах координат имеют следующие уравнения:

  Перечисленные важнейшие поверхности второго порядка часто встречаются в различных вопросах механики, физики твёрдого тела, теоретической физике и инженерном деле. Так, при изучении напряжений, возникающих в твёрдом теле, пользуются понятием т. н: эллипсоид напряжений. В различных инженерных сооружениях применяются конструкции в форме гиперболоидов и параболоидов.

  Лит.: Декарт Р., Геометрия, [пер. с франц.], М.—Л., 1938; Вилейтнер Г., История математики от Декарта до середины XIX столетия, пер. с нем., 2 изд., М., 1966; Ефимов Н. В., Краткий курс аналитической геометрии, 9 изд., М., 1967; Ильин В. А., Позняк Э. Г., Аналитическая геометрия, М., 1967; Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии, М., 1968; Бахвалов С. В., Моденов П. С., Пархоменко А. С., Сборник задач по аналитической геометрии, 3 изд., М., 1964; Клетеник Д. В., Сборник задач по аналитической геометрии, 9 изд., М., 1967.

  Э. Г. Позняк.

Рис. 4. к ст. Аналитическая геометрия.

Рисунки 1, 2, 3 к ст. Аналитическая геометрия.

Аналитическая философия

Аналити'ческая филосо'фия, направление современной буржуазной, главным образом англо-американской, философии, которое сводит философию к анализу языковых и понятийных (рассматриваемых в конечном счёте обычно так же, как языковые) средств познания.

  При этом философско-гносеологический анализ средств познания, характерный для классической философии и связанный с коренными проблемами соотношения субъекта и объекта, подменяется, как правило, исследованием частно-научных проблем: логических, логико-лингвистических, семиотических и пр. В рамках этих исследований представители А. ф. имеют определённые достижения в изучении особенностей языковых средств философии, возможностей логической формализации фрагментов «естественного» языка, логико-семантическом анализе философских понятий и пр. В то же время понимаемый т. о. анализ сторонники А. ф. противопоставляют философии как исследованию коренных мировоззренческих проблем, третируя последнее, как лишённую научно-познавательного значения «метафизику». Тем самым А. ф. продолжает линию позитивизма в современной философии. Внутри современной А. ф. можно выделить два направления: логического анализа философию, которая в качестве средства анализа применяет аппарат современной математической логики, и лингвистическую философию, отвергающую логическую формализацию как основной метод анализа и занимающуюся исследованием типов употребления выражений в естественном, обыденном языке, в том числе, когда он применяется при формулировке философских понятий. К первому направлению относятся логический эмпиризм (Р. Карнап, Г. Фейгль, К. Гемпель, Ф. Франк) — непосредственное продолжение австро-немецкого логического позитивизма на американской почве, и т. н. логический прагматизм (У. Куайн, Н. Гудмен и др.). Философия лингвистического анализа (Г. Райл, Дж. Остин, П. Строусон, Дж. Уисдом) получила преобладающее влияние в Великобритании. Единые в своих претензиях на совершение позитивистской «революции в философии» оба эти течения выражают, однако, различные умонастроения: в то время как философия логического анализа считает себя философией науки и представляет линию т. н. сциентизма (от лат. scientia — наука) в современной буржуазной философии, сторонники философии лингвистического анализа выступают против какого-либо культа научного знания и оказываются адептами «естественного» отношения к миру, выраженного в обыденном языке.

  Понятие анализа, принятое в А. ф., появляется в буржуазной философии 20 в. в работах Б. Рассела и Дж. Мура как определённый метод разработки философской проблематики в противоположность спекулятивному системосозиданию, характерному, в частности, для абсолютного идеализма Ф. Брэдли и Б. Бозанкета. По существу, исходные установки и основные направления А. ф. сложились уже в довоенном неопозитивизме, в частности в логическом позитивизме Венского кружка и у английских философов 20—30-х гг. — последователей Мура и позднего Л. Витгенштейна. Однако сам термин «А. ф.» получает распространение только после 2-й мировой войны, охватывая различные неопозитивистские течения буржуазной философии, предметом анализа которых были языковые средства. Распространение термина «А. ф.», вытесняющего термин «неопозитивизм», связано в основном с неудачами реализации программы неопозитивизма ещё на ранних его стадиях: с невозможностью упразднить классическую философскую проблематику, осуществить всеохватывающий анализ «языка науки» на основе неопозитивистских принципов, полностью «деидеологизировать» философию и пр. Для А. ф. как современного этапа эволюции неопозитивизма характерна тенденция, сохранив идею анализа как «антиметафизики», максимально освободиться от каких-либо содержательных предпосылок философского характера, в том числе от жёстких гносеологических постулатов раннего неопозитивизма (например, принципа рассматривать анализ как чистую технику и не ограничивать его какими-либо предвзятыми формами, связанными с определёнными концепциями знания. Тем самым современная А. ф. приходит либо к полной ликвидации себя как философии, при подмене философского исследования конкретным логико-лингвистическим, логико-семантическим и пр. анализом, либо к возвращению в завуалированной форме к проблемам философского характера. При этом для современной А. ф. характерны стремления сочетать элементы различных вариантов анализа и соединять анализ с концепциями и др., которые традиционно считались антитезой современного позитивизма.