Том13. Абсолютная точность и другие иллюзии. Секреты статистики - Пере Грима

Задачи теории вероятностей могут быть достаточно сложными, даже несмотря на относительную простоту формулировки (какова вероятность того, что в выигрышной комбинации национальной лотереи встретятся два последовательных числа?). Интерес представляют необычные вероятности, которые часто противоречат тому, что подсказывает нам интуиция. В то же время сложные задачи нетрудно решить, применив немного воображения. Рассмотрим несколько примеров.

Ложноположительные результаты обследования

При медицинском осмотре у человека нашли заболевание, которое встречается всего у 1 % населения. В 5 % случаев результат обследования является ложноположительным (обследование показывает, что человек болен, когда в действительности он здоров). Какова вероятность того, что этот человек действительно болен?

Вы можете подумать, что ответ — 95 %, но это неверно. Истинная вероятность намного меньше. Из каждой 1000 результатов 50 являются ложноположительными (5 %), 1 — истинно положительным. На каждый 51 положительный результат приходится лишь один истинно положительный. Значит, вероятность того, что пациент действительно болен, равна всего 1/51, то есть немного меньше 2 %.

Задача о днях рождения

В группе 30 студентов. Какова вероятность того, что два студента или более отмечают день рождения в один и тот же день?

Многие считают, что эта вероятность невелика, но в действительности она не настолько мала, как может показаться. Сначала нужно вычислить вероятность того, что два человека родились в разные дни. Первый из них может родиться в любой день года (365 благоприятных исходов из 365 возможных), второй может родиться в любой день за исключением того дня, в который родился первый (364 благоприятных исхода из 365 возможных):

Аналогично можно вычислить вероятность того, что три человека родились в разные дни:

Вероятность того, что все 30 студентов родились в разные дни, будет равна:

Существует всего два возможных случая: либо все студенты родились в разные дни, либо минимум двое из них родились в один и тот же день. Следовательно, вероятность того, что как минимум два студента празднуют день рождения в один и тот же день, равна

* * *

СОВПАДАЮЩИЕ ДНИ РОЖДЕНИЯ

Это может показаться удивительным, но вероятность того, что в группе из 23 человек двое или более отмечают день рождения в один и тот же день, немного больше 50 % (вероятность равна 50,7 %). Если приведенные рассуждения кажутся вам неубедительными, рассмотрим разные группы из 23 человек. Проблема заключается в том, как найти такие группы людей и узнать дату рождения каждого из них. Тем не менее эту проблему можно решить.

На футбольном поле одновременно находятся 23 человека (11 + 11 + 1 судья). Стартовые составы команд и даты рождения всех игроков нетрудно найти в Интернете. Сказано — сделано[1].

Рассмотрим матчи первого тура первого дивизиона чемпионата Испании по футболу 2010 года (матчи игрались 3 января). Из 10 матчей в 5 на поле выходили игроки, отмечающие день рождения в один и тот же день, а именно:

Однако не стоит думать, что если вероятность равна 50 %, то на 10 исходов обязательно будет приходиться 5 благоприятных, ведь при 10 бросках монеты решка необязательно выпадает 5 раз. Вероятности таковы:

* * *

В группе из 30 человек двое или больше родились в один день с вероятностью порядка 70 %. В группе из 23 человек эта вероятность несколько больше 30 %, в группе из 40 человек она составляет порядка 89 %.

Вероятность того, что в группе людей два человека или более родились в один день, зависит от размера группы.

Возможен и другой вариант этой задачи, обратный исходному: какова вероятность того, что в группе из 30 человек два человека или более умрут в один день (но необязательно в один и тот же год)?

Выигрышная комбинация выпадает дважды

Рассмотрим еще один удивительный пример из теории вероятностей. Один человек всю взрослую жизнь (допустим, 30 лет) играет в лотерею. Если каждую неделю разыгрывается два тиража, какова вероятность того, что за этот период одна и та же выигрышная комбинация выпадет больше одного раза?

Существует множество различных лотерей, но, как правило, выбираются 6 чисел от 1 до 49. Число возможных комбинаций в тираже равно 13 983 816 (это число сочетаний из 49 по 6), и лишь одна является выигрышной.

Допустим, что этот человек играет 100 раз в год, 3000 раз на протяжении всей жизни. Задача аналогична задаче о днях рождения, только в этом случае в «году» 13983816 дней, а группа состоит из 3000 человек, каждый из которых родился в один из этих дней. Какова вероятность того, что два человека или более родились в один и тот же день? Применив формулы из предыдущей задачи (здесь нам не обойтись без электронных таблиц), получим, что искомая вероятность равна 59 %. Поэтому неудивительно, если за этот период одна и та же выигрышная комбинация действительно выпадет дважды.

Последовательные числа в билетах национальной лотереи

В завершение этого раздела попробуем ответить на вопрос, которым вы наверняка задавались. Какова вероятность того, что в выигрышной комбинации лотереи выпадут два последовательных числа?

Она намного выше, чем может показаться, и равна 49,5 %. Вычислить точное значение с помощью формул комбинаторики не так-то просто, но порядок этой величины можно оценить с помощью Excel.

Для этого нужно выполнить следующие действия.

1. Расположить числа от 1 до 49 в столбце А.

2. Поместить случайные числа в столбец В.

3. Упорядочить столбец В, после чего порядок чисел в столбце А также изменится.

4. Числа в столбце А упорядочены случайным образом. Скопируйте первые шесть значений в столбец С. Эти числа составят выигрышную комбинацию.

5. В столбец D поместите 15 абсолютных значений разницы между числами выигрышной комбинации. В столбце F на следующем рисунке представлены формулы, по которым рассчитываются значения в столбце D.

6. В первую строчку столбца Е поместите наименьшее значение из столбца D. Если это значение равно 1, это означает, что выигрышная комбинация содержит последовательные числа.

Выполнив эти действия, измените порядок чисел в столбце В, что снова повлечет изменение порядка чисел в столбце А. Результатом будет новая выигрышная комбинация, и все остальные числа пересчитаются автоматически. Excel удобен тем, что можно выполнить все необходимые действия один раз, а затем нажать клавишу F4, и все действия выполнятся заново. Можно проверить, что число 1 встретится в столбце Е примерно в половине случаев.

Если вам знаком какой-либо язык программирования, вы можете написать небольшую программу для симуляции розыгрыша лотереи и подсчитать, сколько раз выпадут последовательные числа.

Также можно обратиться к результатам прошлых тиражей. Результаты испанской национальной лотереи опубликованы на странице Государственной организации лотерей (www.onlae.es). Начиная с первого розыгрыша, о котором имеются данные, прошедшего 17 октября 1985 года, до 31 декабря 2009 года было проведено 2245 тиражей, в 1148 из которых (50,14 %) в выигрышной комбинации встречаются последовательные числа.

Последний аккорд: 22 августа 2002 года выигрышной комбинацией была последовательность 13, 21, 24, 26, 32 и 34. 10 декабря 2009 года… точно такая же! Это не так уж удивительно — вероятность подобного совпадения в 2245 тиражах равна 16,5 %.

Глава 3

Как представить целое, зная лишь его часть

Одна из наиболее типичных задач статистики — сделать выводы о целом на основании данных о его части. Это целое называется генеральной совокупностью. Генеральная совокупность может представлять собой множество рыб в озере, множество изделий, выпущенных заводом за последний год, множество жителей, имеющих право голоса на ближайших выборах, или множество людей, страдающих от определенного заболевания.

Тщательное изучение генеральной совокупности возможно крайне редко. Опросить всех избирателей, чтобы узнать, за кого они будут голосовать на следующих выборах, нереально и также нереально опросить всех, кто болеет определенной болезнью, чтобы узнать, как подействовало новое лекарство. Конечно, если нас интересует прочность изготовленных изделий, которую нельзя определить, не разрушив изделие, то можно разрушить все произведенные изделия, чтобы определить прочность каждого, но такой подход не выглядит самым разумным.