Том13. Абсолютная точность и другие иллюзии. Секреты статистики - Пере Грима

3. В семье четверо детей. Какова вероятность того, что ровно двое из них — мальчики?

Что общего у этих задач? Все они следуют описанному нами сценарию, следовательно, их очень легко решить.

Расчеты можно произвести с помощью электронных таблиц. В Excel ответ можно найти, используя следующую функцию:

Последняя переменная, которая следует за вероятностью успеха, указывает, хотим ли мы вычислить только вероятность для указанного числа успешных событий (например, ровно 2 бракованные детали; в этом случае эта переменная равна 0) или же накопленную вероятность (число бракованных деталей равно 2 и менее, в таком случае этой переменной нужно присвоить значение 1).

В задаче про игрока в баскетбол мы предполагаем, что вероятность попадания со штрафного броска постоянна, то есть не зависит от давления зрителей, нервов или хода игры (одно из преимуществ хорошего игрока — сохранять процент попаданий неизменным вне зависимости от этих условий). Многие думают, что в задаче о сыновьях и дочерях наиболее вероятно, что в семье два мальчика и две девочки, однако вероятность этого исхода равна всего 38 %. Наиболее вероятным (62 %) является любое другое сочетание.

От числа погибших от удара копытом лошади в прусской армии к числу забитых мячей в чемпионате Испании по футболу: распределение Пуассона Если переменная подчиняется биномиальному закону распределения, можно подсчитать, сколько раз она примет определенное значение (число качественных и число бракованных деталей). Эта переменная также будет иметь предельное значение: число качественных деталей не может превышать общего числа деталей в партии.

Иногда мы сталкиваемся с переменными, которые обозначают число событий, произошедших в единицу времени или на единицу площади. Такие переменные не имеют верхней границы, по крайней мере с теоретической точки зрения. К классическим примерам подобных переменных относится число посещений интернет-страницы в день, число поломок лифта в год, число звонков на АТС в час и, разумеется, число писем, ежедневно приходящих вам по электронной почте. К примерам событий, происходящих в пространстве, можно отнести следующие: число точек, пораженных ржавчиной, на метр проволоки, число дефектов на квадратный метр (или 10 квадратных метров) ткани, число изюминок в ложке с хлопьями, которые вы едите на завтрак.

В 1837 году французский математик Симеон Пуассон решил найти способ изменить формулу биномиального распределения так, чтобы ее можно было применить к подобным ситуациям. Он открыл любопытное выражение, в котором для расчета вероятности любого числа событий достаточно знать лишь среднее число событий (λ). Формула вычисления вероятности того, что некое событие произойдет х раз, выглядит так:

Французский математик XIX века Симеон Пуассон.

Так, если лифт ломается в среднем два раза в год (λ = 2), вероятность того, что в течение года он не сломается ни разу, такова:

Если на интернет-страницу в среднем заходит 100 посетителей в день (будем считать, что число посетителей неизменно в любой день недели, хотя очевидно, что будет существовать определенная разница между рабочими и выходными днями), то вероятность того, что в конкретный день страницу посетит менее 80 человек, такова:

Выполнять расчеты по этой формуле не очень удобно, но нам опять помогут электронные таблицы:

В 1898 году русский экономист и статистик Владислав Борткевич опубликовал книгу, в которой доказал, что распределение Пуассона можно использовать для объяснения статистической закономерности, наблюдаемой при редких событиях. Он использовал данные о самоубийствах и несчастных случаях со смертельным исходом, но самым известным примером его работ является анализ числа солдат, умерших от удара копытом лошади в 14 корпусах прусской армии за 20 лет (с 1875 по 1894 год).

Владислав Борткевич, русский статистик, открывший новые способы применения распределения Пуассона.

В следующей таблице фактическая частота соответствует числу армейских корпусов, умноженному на число лет (14·20 = 280). Среднее число умерших за год в пересчете на один корпус равно (91 + 2·32 + 3·11 + 4·2)/280. Используя это значение в вышеприведенной формуле, получим теоретические значения частоты, приведенные в таблице.

Если мы хотим найти более современный пример, то можно рассмотреть число голов, забитых командой во время футбольного матча. Эта переменная прекрасно соответствует требованиям распределения Пуассона: события происходят в течение четко обозначенного периода времени (футбольного матча), предельного числа событий не существует, а число незабитых голов подсчитать нельзя. Так, на диаграмме слева представлено число голов, забитых каждой командой в каждом из 380 матчей испанского чемпионата 2008–2009 годов. На диаграмме справа представлены данные, вычисленные по нашей формуле.

Фактическое и теоретическое (вычисленное по модели Пуассона) распределение числа мячей, забитых каждой командой в 380 матчах сезона 2008–2009 чемпионата Испании по футболу.

Диаграммы очень похожи. Модель Пуассона хорошо объясняет изменение числа мячей, забитых командой в течение матча.

Колокол Гаусса, или нормальное распределение

Колокол Гаусса встречается в математике очень часто. Его форма соответствует форме гистограммы, на которой представлено большое множество значений, подчиняющихся так называемому нормальному распределению. Например, мешки с сахаром весом 1 кг весят не ровно 1000,000… г — некоторые весят немного больше, другие — немного меньше. Подобное колебание веса неизбежно. Оно вызвано множеством незначительных факторов, по отдельности незаметных, но в сумме имеющих ощутимый эффект. На диаграмме ниже показано, что большинство значений находятся вблизи центрального значения, и по мере удаления от него соответствующие значения встречаются все реже и реже. Это классический колокол Гаусса, или диаграмма нормального распределения.

Возможное распределение фактического веса мешков с сахаром весом 1 кг. Диаграмма имеет форму колокола Гаусса.

Математическое выражение, описывающее форму этого колокола, впервые получил французский математик Абрахам де Муавр в 1733 году. Однако эта диаграмма носит имя немецкого математика Карла Фридриха Гаусса, который использовал ее в 1809 году в своей теории ошибок измерения, в частности ошибок, возникающих при астрономических наблюдениях. Гаусс показал, что вне зависимости от расстояния до измеряемого объекта и от его размеров при повторении измерений в одних и тех же условиях полученные значения будут распределяться особым образом.

Однако нормальное распределение занимает в статистике особое место не только потому, что оно используется в теории ошибок, но и потому, что оно очень часто встречается в природе.

Портрет Гаусса на банкноте в 10 немецких марок. В центре изображена диаграмма нормального распределения.

Говоря об истоках современной статистики, следует упомянуть имя бельгийского ученого Адольфа Кетле (1796–1874), который в XIX веке провел множество исследований, стремясь обнаружить статистические закономерности, которым подчиняется число преступлений, количество новорожденных, умерших и так далее. В поиске данных, подчиняющихся нормальному распределению, его ждал неожиданный сюрприз: в шотландском журнале были опубликованы данные о росте и охвате грудной клетки более чем 5000 солдат из различных шотландских полков. Эти данные подчинялись тому же закону, что и ошибки астрономических наблюдений.

Адольф Кетле, один из крупнейших статистиков XIX века.

По словам самого Кетле, «если неподготовленный человек измерил бы одного солдата 5738 раз, то результаты не распределились бы столь равномерно… как результаты 5738 измерений шотландских солдат. Если бы нам представили два ряда чисел, не снабдив их какими-либо комментариями, мы бы могли с уверенностью определить, какой ряд чисел соответствует результатам измерений 5738 разных солдат, а какой получен в результате неумелых измерений единственного солдата».

* * *