Том13. Абсолютная точность и другие иллюзии. Секреты статистики - Пере Грима

Интервал, покрывающий данную величину с заданной надежностью, называется доверительным интервалом. Можно ли гарантировать, что истинное значение будет находиться в границах этого интервала? Опять-таки этого гарантировать нельзя. Предельная ошибка средней величины рассчитывается для определенного уровня надежности. Как правило, надежность принимается равной 95 %. Это означает, что используемый нами метод позволяет найти истинное значение (в данном случае истинную долю домохозяйств, подключенных к Интернету) в 95 % случаев. Однако мы не можем знать, действительно ли истинное значение находится в границах найденного интервала в нашем конкретном случае. Это аналогично тому, что найденный нами интервал нам бы сообщил человек, который говорит правду в 95 % случаев: ему вполне можно доверять, но абсолютную точность этого результата гарантировать нельзя.

Иллюстрация понятия доверительного интервала.

Можно рассчитать доверительные интервалы с надежностью 99 % или 99,9 %. Обычно это не делается, поскольку, учитывая размер выборки, с ростом надежности доверительный интервал расширяется, и нет никакого смысла говорить, что искомая доля лежит в интервале (51,9±40)%: это можно сказать, не проводя вообще никаких вычислений. Если мы хотим повысить надежность оценки, сохранив при этом предельную ошибку на прежнем уровне, то единственным выходом будет увеличение размера выборки (деньги решают множество проблем, и эту в том числе).

За подобными заголовками в прессе обычно следует примерно такой текст: «Согласно исследованию, проведенному центром X, если бы выборы состоялись сегодня, партия А опередила бы партию В на 3,6 пункта. Три месяца назад ее преимущество было на полпункта меньше. Данные подтверждают, что популярность партии А растет».

В примечаниях к этой статье, помимо прочего, упоминается, что предельная ошибка равна ±4,3 %. Поверхностный анализ этих данных показывает, что преимущество партии А вовсе не столь очевидно. Если в пользу партии А проголосовали 41,6 % опрошенных, то при данной предельной ошибке оценка лежит в интервале от 37,1 % до 46,1 %. Если в пользу партии В проголосовало 38 %, то границами доверительного интервала будут 33,3 % и 42,5 %. Следовательно, в соответствии с результатами опроса можно утверждать, что рейтинг партии А равен 39 %, партии В — 40 %. Нет никаких сомнений в том, что если три месяца назад преимущество партии А было на полпункта меньше (по результатам опроса, а не в реальности), это не является доказательством роста популярности партии А.

Вопрос на миллион

Очень часто при проведении исследований возникает вопрос: каким должен быть размер выборки, чтобы результатам можно было доверять? Ответ на этот вопрос зависит от нескольких параметров.

1. От желаемой точности результатов, иными словами от допустимой предельной ошибки. Если мы хотим получить результат с предельной ошибкой 1 %, размер выборки должен быть больше, чем при предельной ошибке в 4 %.

2. От желаемой надежности результата. Если нас устроит надежность 80 %, размер выборки будет меньше, чем для надежности в 95 %.

3. От истинного значения оцениваемой доли. На первый взгляд это может показаться странным, но размер выборки действительно зависит от истинного значения оцениваемой доли. Если в генеральной совокупности отсутствует вариация (100 % элементов совокупности равны между собой), для оценки значения будет достаточно одного элемента совокупности. Если, например, все шары в мешке белые или все черные, достаточно вытащить всего один шар, чтобы определить цвет всех шаров. Чем больше вариация, тем больше необходимый размер выборки. В наименее благоприятном случае объем выборки должен равняться 30 % генеральной совокупности. Мы предполагаем, чему равно искомое значение доли. Предпочтительнее дать этой величине оценку сверху. Если нам ничего не известно о генеральной совокупности либо мы придерживаемся консервативных методов, то можно предположить, что искомый объем выборки равен 50 % от генеральной совокупности. Если нам известно, что искомая доля меньше (например, доля домохозяйств, в которых есть факс), то можно предположить, что их доля равна 20 % (фактическое значение гарантированно будет меньше).

4. От размера генеральной совокупности. Если генеральная совокупность мала (допустим, менее 100000 единиц), а допустимая погрешность также невелика (1–2 %), с ростом размеров генеральной совокупности нам потребуется выборка большего размера. Однако для больших генеральных или для погрешности измерения в 5 % и выше влияние размера выборки будет практически незаметным. Эта тема является источником множества недоразумений, и далее мы расскажем о ней более подробно.

* * *

РАЗМЕР ВЫБОРКИ

Приведем формулу, связывающую все величины, необходимые для определения размера выборки:

где:

zα/2 — значение, связанное с уровнем надежности. При надежности в 95 % (используется чаще всего) это значение равно 1,96. Иногда используется значение 2, соответствующее надежности 95,5 %.

р — оцениваемая доля;

q = 1 — р;

Е — предельная ошибка;

N — размер генеральной совокупности.

* * *

Теперь вам понадобится только редактор электронных таблиц — с его помощью легко проверить, как будет изменяться размер выборки при увеличении надежности или допустимой погрешности. Также нетрудно видеть, как на размер выборки влияют различные переменные. Можно построить таблицу, подобную той, что приводится ниже, которая уже содержит все необходимые данные.

Таблица, содержащая размеры выборки для надежности в 95 % в наименее благоприятном случае, когда p = q = 0,5.

Существует несколько весьма распространенных предположений о размере выборки, которые тем не менее полностью ошибочны. Например, результаты опросов иногда ставятся под сомнение, так как «выборка нерепрезентативна, потому что не охватывает даже 10 % совокупности». Подобные цифры, как, например, 10 % в этом случае, выбираются произвольно. Профессор Роберто Беар из Universidad del Valle в Кали (Колумбия) объясняет истинное положение вещей на нескольких наглядных примерах.

Нужно ли солить суп?

Мы готовим суп в небольшой кастрюле и, чтобы определить, готов ли он, пробуем его из ложки. Если к нам пришли гости и мы готовим суп в большой кастрюле, значит ли это, что суп нужно пробовать из большой ложки? Разумеется, нет. Мы используем одну и ту же ложку и пробуем суп одинаково, не важно, готовится ли он в маленькой кастрюле или в большой. Размер выборки не зависит от величины генеральной совокупности.

Однако вне зависимости от размера кастрюли нужно как следует перемешать суп, чтобы любая выборка содержала одну и ту же информацию. Перед тем как попробовать суп, важнее тщательно размешать его, а не взять ложку побольше. Это очевидно для всех. Также очевидно, что если мы не размешаем суп, то это не исправить, взяв ложку побольше. Если выборка нерепрезентативна, то увеличение ее размера не решает проблему.

Какая у меня группа крови?

Чтобы безошибочно определить группу крови человека, достаточно всего одной капли, так как все капли крови человека одинаковы. Однородность совокупности и в этом случае намного важнее размера выборки. И у новорожденного весом чуть больше 2,5 кг, и у его отца, который может весить больше 100 кг, на анализ берется один и тот же объем крови.

Однако связь между размером выборки и величиной генеральной совокупности можно оценить не только интуитивно, но и с помощью формулы. Если генеральная совокупность невелика, с увеличением ее размера объем выборки быстро возрастает, однако затем, начиная с определенного значения, он практически не меняется.

* * *

ЛЕВШИ ЖИВУТ МЕНЬШЕ (ИЛИ НЕТ?)

4 апреля 1991 года на первой странице газеты Washington Post была опубликована статья об исследовании, согласно которому левши в среднем живут на 9 лет меньше правшей. В исследовании использовались данные о продолжительности жизни левшей и правшей в двух округах штата Калифорния. Правши часто доживали до преклонного возраста, а среди левшей долгожителей было намного меньше.

Новость имела значительный эффект, и вскоре появились объяснения этому результату: якобы левши более подвержены определенным заболеваниям и чаще получают серьезные травмы. Одной из причин этому может быть тот факт, что все устройства, которые мы используем ежедневно, предназначены для правшей. Из-за этого левши чаще получают серьезные травмы, попадают в несчастные случаи и, как следствие, живут существенно меньше.