Таинственные страницы. Занимательная криптография - Иван Ефишов

rbcklofrnjwng∫zfhgjfcbcfvqjtxeevtbzfyjsbzh∫mlnbg∫sqjwgln

xvzfkonbcoigdxvrkfjalzxt∫nilenfgvcboofcfxnnfgnkbcjnnjyn

xvplgnbfzfoxeejdgxbcjcn∫dyvdbhzlnvyxmbcblobbcyfekonbc

eiobfplwsxzxfjcndbhrlzqxs∫onbcoljf∫yqfmjeevhleexoiexmgicf

dnktvoldxnfbxo∫cktvpxrnv.

Несмотря на то что значение символов здесь не меняется (то есть постоянно во всей криптограмме. – И. Е.), как мне кажется, такого рода письмена невозможно так уж легко дешифровать».

Логогриф дословно обозначает словесную головоломку (греч. λόγος – слово и γρῖφος – головоломка, трудный вопрос, загадка). По сути, здесь речь идет о криптограмме.

Неизвестно, нашел ли Гольдбах решение или же Эйлер позднее рассказал о нем. Но несомненно, что Гольдбах вполне мог разгадать эту криптограмму. Ведь в Коллегии иностранных дел России он успешно занимался шифровальным делом{28}.

В 1727 году Эйлер, которому было тогда 20 лет, приехал жить и работать в Россию, где провел в общей сложности почти половину своей жизни. Через год он уже бегло разговаривал по-русски, а позже научился и писать. В том же году Л. Эйлер (уроженец г. Базеля, Швейцария) познакомился с Х. Гольдбахом (уроженец Кенигсберга, Восточная Пруссия), который к тому времени уже два года работал в Петербургской академии наук. Вскоре между ними завязалась научная переписка, переросшая в дружбу{29}.

В 1736 году Эйлер разгадал знаменитую загадку кенигсберских мостов. Вероятно именно его друг, урожденный кенигсбержец Гольдбах, рассказал ему о забаве местных жителей: некоторые из них забавы ради – а кое-кто и всерьез! – пытались, прогуливаясь, обойти все семь центральных мостов города, не проходя ни по одному из них более одного раза[26].

Неудивительно, что Эйлер, зная о работе друга по дешифровке дипломатической корреспонденции, послал ему свой шифр для оценки. Впрочем, высказывается мнение, что «ни в одном из писем из переписки Эйлера и Гольдбаха нет и намека на какие-либо аспекты криптографической деятельности. Это свидетельствует о том, что Гольдбах тщательно сохранял в тайне свою работу на особливой должности в Коллегии иностранных дел»{30}.

В 1741 году Эйлер вынужденно уезжает из России. Письмо с логогрифом датируется 1744 годом и, следовательно, приходится на прусский период (1741–1766) в жизни ученого, после которого он уже окончательно вернулся в Россию. В бумагах Петербургской академии наук про увольнение Эйлера сказано: «…здоровье его в таком плохом состоянии, что он находится в опасности потерять зрение ‹…› оказанным ему снисхождением при отставке он будет более побужден, когда поправится его здоровье и при большем спокойствии духа, к возвращению из Германии и служению Академии с большей пользою, чем теперь»{31}. Во время Семилетней войны (1756–1763) Эйлеру, находившемуся на службе у прусского короля Фридриха II, приходилось заниматься «расшифровкой русских каракулей» и переводом перехваченных русских армейских донесений и офицерских писем. «Кропотливый бисерный почерк Эйлера ‹…› до сих пор помогает понять выцветшие чернила писем…»{32},[27].

В это самое время Россия воевала вместе с другими странами против Пруссии и ее союзников и сумела в октябре 1760 года захватить Берлин. Усадьба Эйлера в берлинском предместье была полностью разрушена. Узнав об этом, русский генерал-фельдмаршал П. С. Салтыков немедленно возмещает ученому ущерб с лихвой (по другим сведениям, это сделал непосредственный покоритель Берлина генерал-майор русской армии, граф Г. К. Г. фон Тотлебен) [[28],[29] ]; позднее императрица Елизавета Петровна добавляет от себя еще 4000 рублей[30] (для сравнения, Эйлер, живя в Берлине, в качестве почетного члена российской Академии, получал из Санкт-Петербурга оклад 200 рублей в год вплоть до начала 1760-х годов). В 1762 году он даже просит прислать ему через Штеттин три центнера «русского масла», центнер «хорошего белого меда», «несколько пудов вологодских свечей» и т. д. Все эти детали говорят нам об особом характере взаимоотношений ученого с Россией; он старается не прерывать контактов со своей новой родиной даже в военные годы{33}.

Окончательно в Россию Эйлера вернула мудрость великой российской самодержицы Екатерины II. В письме своему канцлеру графу М. И. Воронцову она пишет: «Я уверена, что моя Академия возродится из пепла от такого важного приобретения, и заранее поздравляю себя с тем, что возвратила России великого человека»{34}.

В июле 1766 года Эйлер уже навсегда вернулся в Россию.

В 1907 году, когда отмечалось двухсотлетие со дня рождения Л. Эйлера, математик Фердинанд Рудио, будучи президентом Эйлеровского комитета в Базеле, объявил о состязании и назначил награду за решение приведенного выше логогрифа{35}. Как видим, прошло 163 года со дня написания письма, а криптограмма все еще надежно хранила свою тайну. Увы, пришлось повторно объявлять награду за разгадку этой головоломки в 1953 году. Вскоре элегантное решение было найдено Пьером Специали{36}.

Прежде чем давать читателю подсказки и облегчить ему тем самым последующую самостоятельную работу, проследим немного за мыслью Специали (используя для этого его публикацию).

Каким же образом ему удалось разрешить эту криптограмму через двести с небольшим лет после ее создания?

В своем письме Эйлер сразу дает нам три ценные подсказки:

• текст на латинском языке;

• каждый символ (знак) сохраняет один и тот же смысл во всем сообщении;

• все символы имеют значение (то есть нет символов-пустышек).

Определимся с терминологией. Назовем частотой число, показывающее, сколько раз символ встречается в тексте; относительная частота подсчитывает то же самое, но в процентном выражении.

Расставим буквы латинского алфавита[31] согласно порядку убывания их относительных частот в латинском языке:[32]

Табл. 1. Относительная частота букв латинского алфавита в произвольном тексте, %

Естественно, если взять разные тексты, то возможны незначительные вариации этих цифр. Так, было исследовано литературное наследие Гая Юлия Цезаря (на основе 52 тысяч слов), и порядок букв там немного другой[33]:

E I T U A S R N O M C P L D Q B G V F H X Y K Z.

Как видим, самая редкая буква латинского языка – k, она используется лишь в нескольких словах, например, kalendae (календы). Это связано с тем, что звук «к» в основном передавался буквами c и q.

Если бы Эйлер предупредил нас, например, что это отрывок из сочинений Цезаря, то мы бы попытались поискать в криптограмме слова, которые часто употребляли тогдашние военные: bellum (война), gallus (галл), hostis (враг), pugnare (борьба), scorpione (маленькая катапульта, стреляющая железными дротиками) и т. п. Решение головоломки значительно упростилось бы. Конечно, тогда бы при дешифровке мы пользовались не табл. 1, а порядком букв в сочинениях Цезаря.

А если, например, мы бы точно знали, что перед нами текст латинской мессы (службы) римско-католического богослужения, то все бы радикально изменилось. Нам бы не составило труда узнать, что первые слова этой службы – Kyrie eleison («Господи, помилуй»), и дело бы сразу сдвинулось с мертвой точки.

Интересно отметить, что здесь частотный ряд букв сильно изменился бы (начальные слова службы многократно повторяются), так как слово «Господи» начинается с самых редких букв латыни k и y. Это связано с тем, что данные слова заимствованы из греческого языка (Κύριε ελέησον).

Но ученый был достаточно осторожен, чтобы не облегчать таким образом решение задачи, и ни словом не намекнул на содержание зашифрованного текста.

Cделаем статистический анализ символов логогрифа (в дальнейшем будем использовать строчные буквы для шифра и прописные для латинского алфавита), в котором содержится 408 знаков.

Табл. 2. Статистический анализ символов логогрифа Эйлера в порядке убывания их частот

Первое наблюдение, которое сделал Специали: загадка содержит 26 букв современного английского алфавита и знак ∫ (вытянутая буква s). Но классический латинский алфавит имеет только 23 буквы. Пять наиболее частых I, E, A, U, T – это примерно половина (48,17 %) любого латинского текста. В нашей криптограмме, в которой 408 знаков, каждая из этих букв должна появиться примерно по 40 раз. Самый частый у нас символ n, но и он встречается «всего лишь» 34 раза. По-видимому, это означает, что Эйлер использовал по крайней мере два представления (называемых омофонами) для самых частых букв. Изменяя таким образом частоты, ученый пытался сделать логогриф неуязвимым для частотного анализа. Как видим, Эйлер кое-что знал о простейших шифрах и методах их взлома. Логогриф Эйлера относится к шифрам многозначной замены (его также можно классифицировать с некоторыми оговорками и как омофонический шифр).