ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ - Сергей Бобров

- Или?. - важно спросил Мнимий.

Илюша молчал.

- Если, - сказал Мнимий, - Наклонная Стрелка является геометрической суммой осевых стрелок, то, следовательно, эти стрелки по отношению к Наклонной Стрелке суть...

- 398 -

- ...ее слагаемые, - отвечал Илюша. - Пожалуй, лучше сказать: ее составляющие.

- Вот это да! - отвечал Мнимий. - Так и запишем. Итак, каждый комплексный человечек может быть рассматриваем как сумма вещественной составляющей и мнимой, что нам давно известно из формулы:

a + bi

А теперь вы видите, как это можно изобразить геометрически.

Далее мы попросим нашего друга комплексного Вектора уменьшиться так, чтобы он был ростом в одну единицу.

Вектор-Наклонная-Стрелка немедленно сделался покороче.

- Как раз! - сказал Мнимий. - Ровно единица!

Осевые стрелки тоже сделались соответственно короче.

- Ну-с, - сказал Мнимий Илюше, - вы ничего не замечаете?

- Не знаю, - отвечал Илюша.

Тогда Вектор-Наклонная-Стрелка быстро повернулся против часовой стрелки, и кончик его туфелек начертил круг.

- А теперь? - спросил Мнимий.

Картина перед Илюшей несколько изменилась. Линии осей, уходившие за черту круга, исчезли. Все линии стали очень тоненькими, исключая проекцию Вектора-Наклонной-Стрелки на действительную ось и того перпендикуляра, который опускался от конца Вектора на конец этой проекции. Эти линии, наоборот, стали очень толстыми и черными.

- Не узнаете? - спросил Мнимий.

- Узнаю как будто, - сказал Илюша. - Это синус и косинус.

- Ага! - вскричал Мнимий. - Они самые. Ну-ка, прикиньте, что бы это могло значить алгебраически? Как выходит, что проекции единичного вектора суть синус и косинус?

- Потому, вероятно, - отвечал Илюша, - что синус в квадрате и косинус в квадрате, как катеты прямоугольного треугольника, равны гипотенузе в квадрате, а она у нас равна единице. Радиус ведь и есть единица. Вектор в данном случае и есть радиус.

- Ну что ж, - отвечал Мнимий, - вы правы. Но давайте разберемся в этом. Если нам дан на комплексной плоскости, которую вы видите сейчас перед собой, некий комплексный вектор, то ответьте, чем он, по-вашему, отличается от обыкновенных чисел?

- Он как сила в механике, - ответил Илюша, =- имеет направление.

- 399 -

Мнимая ось

- Мне очень нравится ваш ответ, - вежливо отвечал Мнимий, - но давайте посмотрим еще на наш чертеж и разберем все подробней. Итак, значит, длину вектора мы...

- ... определяем по теореме Пифагора, - подхватил Илюша.

- Любого вектора?

- Любого.

- Напишите! - сказал Мнимий.

Илюша написал:

r = √(a2 + b2).

Что это за линии OB и BA?

Кто скажет?

- Отменно! - произнес Мним. - Далее, если вектор наклонен по отношению к положительному направлению вещественной оси под углом φ, то как бы вы определили проекции вектора на оси, исходя из длины его и данного угла?

- По-моему, надо вот как написать:

а = r cos φ;

b = r sin φ.

- Справедливо! А что если нам теперь взять наш вектор в обычной форме:

a + bi

и подставить в его выражение новые значения для а и b?

а + bi = r cos φ + (r sin φ) i = r (cos φ + i sin φ).

- Теперь, - заявил Мнимий, - получилась так называемая тригонометрическая форма комплексного числа.

Ясно, что множитель перед скобкой есть длина вектора, или его модуль. А что же стоит в скобках?

- 400 -

Угол с положительным направлением вещественной оси определяет направление вектора.

- Мне кажется, что это тоже вектор.

- Справедливо. А длина его?

- Равна единице.

- Точно. Потому он и называется единичным вектором.

А величина, определяющая направление вектора, именуется его аргументом. Очевидно, О любой вектор можно изобразить, выбрав соответствующий аргумент и приличный случаю модуль.

- Ясно, - отвечал Илюша. - Умножил на сколько надо и получил из единичного вектора такой, какой требуется.

- Точно, правильно, прекрасно! - произнес Радикс.

- В таком случае давайте рассмотрим, что будет с единичным вектором, если его умножить на самого себя:

(cosφ + i sin φ) (cosφ + i sinφ) = (cos2φ-sin2φ)+2i sinφ•cos φ.

- Ну, Илюша, - сказал Радикс, - глянь-ка повнимательней: тебе эта формула ничего не говорит?

Илюша пожал плечами.

- Тогда вот что, - сказал Мнимий Радиксович. - Может быть, в дальнейшем вы заглянете в учебник тригонометрии и узнаете, что разность квадратов косинуса и синуса есть косинус двойного угла φ, то есть угла, равного двум φ. А удвоенное произведение косинуса φ на синус φ есть аналогично синус угла двух φ. Если записать, то выйдет:

Минуя некоторые длинные выкладки, сделаем такое общее заключение: возвести единичный вектор в степень n значит увеличить его угол в n раз. Вот что означает геометрически возведение единичного вектора в степень.

- Как будто, - сказал очень нерешительно Илюша, - я это где-то даже видел.

- 401 -

- Весьма вероятно! - подхватил Мнимий. - И увидите, наверно, еще не раз. Это ведь не так трудно проверить. Допустим, что наш единичный вектор наклонен к положительному направлению действительной оси под углом в сорок пять градусов. Тогда его косинус, то есть его проекция на действительную ось, равен...

- ... половине корня из двух. Такой же и синус будет.

- Давайте умножим такой вектор на самого себя.

Илюша взял мел и перемножил

OA = 1; AB = sinα; OB = cosα

- Получилось одно i, - сказал Илюша в некотором недоумении. - Что это за вектор, у которого только одно i осталось?

Затем Илюша внимательно посмотрел на чертеж.

- А-а! - сказал он. - Понял! Это единичный вектор, направленный прямо по мнимой оси. Единичный он потому, что около i стоит множителем единица. А так как мнимая ось перпендикулярна к действительной, то, значит, этот вектор образует с ней угол в девяносто градусов. И выходит, что действительно угол удвоился.

- А вектор?

- А вектор повернулся против часовой стрелки на сорок пять градусов. А если еще раз умножить? Можно, я попробую?

- Сделайте ваше одолжение! - отвечал Мнимий.

Илюша умножил еще раз. Вышло:

- Что-то я не пойму, - сказал Илюша.

Но на чертеже он увидел, что вектор повернулся теперь на 135° по отношению к положительному направлению действительной оси, н, следовательно, к 90° прибавилось еще 45°.

- А ведь верно! - сказал Илюша.

- 402 -

- Ну вот. Половина дела сделана, - сказал, улыбаясь, Мнимий. - Теперь вы поняли, почему мы можем так поворачиваться вокруг начала координат. А теперь решим обратную задачу. Что значит извлечь корень из комплексного числа? Поскольку возведение в степень и извлечение корня суть обратные действия, мы можем считать, что и в области комплексных чисел остается в силе определение корня как обратного действия. А если это так, то как теперь извлечь корень из единичного комплексного вектора?

- Мне кажется, что раз при возведении в степень углы умножаются, то, - продолжал Илюша, - это похоже на действия со степенями. А значит, при извлечении корня углы векторов делятся. Так?

- Молодчина! - отвечал Мнимий.

- Но только как же тогда я, извлекая из одного единственного i корень, получу такое выражение:

хотя как раз так и должно быть, потому что, когда я возводил это выражение в квадрат, то получил i?

- Очень просто, - сказал Мнимий, - стоит только эго "одно-единственное i" написать в виде комплексного числа:

0 + i•1.

А это можно изобразить и так:

cos φ + i sin φ,

то ясно, что φ равен девяноста градусам. Поделите φ пополам, и все будет в порядке. Заметьте кстати, дружок, что если вы еще раз возведете в квадрат, то как раз и получите:

i2 = cos180° + i•sin180°.

Наше чудесное равенство i2 = -1, таким образом, означает, что, повернув вектор дважды на прямой угол, вы повернете его в итоге на сто восемьдесят градусов, то есть переведете его в вектор противоположного направления. Но тут есть еще одно весьма важное обстоятельство.

- 403 -

Ведь вы, наверно, помните, что извлечение квадратного корня для вещественных чисел есть операция двузначная, то есть дает два ответа: один с плюсом, а другой с минусом. Как же это отразится в нашей комплексной области? Ясно, что если вектор повернется на целый круг, то он снова попадет на старое место...

Вектор немедленно плавно проплыл целый круг, двигаясь вперед против часовой стрелки, и застыл опять на старом месте. Постояв так минутку, он снова проплыл целый круг в том же направлении и снова остановился на старом месте. А затем повернулся так же еще в третий раз.

- Ясно? - спросил Мнимий.

- Как будто ясно, - сказал Илюша. - К чему он это показывает?

- А вот к чему. Очевидно, что комплексное число не изменит своего значения, если угол вектора, или, как мы говорим, его аргумент, увеличить на 2π, то есть на триста шестьдесят градусов, или на величину, кратную последней. Другими словами, число