Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни - Маркус дю Сотой

к нашим собственным задачам, мы можем легко получить важные результаты. Поэтому, в какой бы области вы ни работали, знакомство с идеями другой дисциплины может помочь обеим отраслям в поисках шорткатов к решению их задач.

Возможно, самое совершенное слияние лисы и ежа – это сотрудничество человека с машиной. Хотя моя книга должна прославлять чисто человеческую способность выискивать шорткаты, может быть, не стоит сбрасывать со счетов и то, что могут предложить машины. Хотя машина может вычислять быстрее и дальше методом грубой силы, достижение целей, не дающихся ни человеку, ни машине по отдельности, становится возможным только в сочетании с тем хитроумием, с которым люди находят удобные шорткаты.

Решение головоломки

Головоломка, с которой начинается эта глава, – это то самое задание, которое я получил, когда сдавал психометрический тест. Благодаря шорткату Эйлера я знаю, что начертить такую фигуру невозможно, потому что в ней более двух узлов, из которых исходит нечетное количество линий. Однако есть один прием, все же позволяющий ее начертить. Возьмите лист бумаги и загните его нижнюю четверть. Начертите квадрат, начиная с левого верхнего угла, причем так, чтобы нижняя сторона квадрата оказалась на загнутой полоске; завершив квадрат, не отрывайте карандаш от бумаги. Отогните загнутую часть: на бумаге останутся три стороны квадрата, а ваш карандаш будет в его левом верхнем углу. Если проанализировать оставшуюся часть фигуры, будет видно, что она соответствует критерию Эйлера.

Рис. 9.7. Прием, позволяющий начертить искомую фигуру: загните бумагу

Шорткат к шорткатам

Сети встречаются повсюду. В структуре компаний. В электрических схемах компьютеров. Во взаимозависимостях опционов на акции. В транспортных сетях. Во взаимодействии клеток нашего организма. Во взаимоотношениях персонажей романов. Всюду, где есть набор объектов и какие-либо связи между ними, возникает сеть. При изучении любой структуры всегда имеет смысл проверить, не скрыта ли в ней какая-нибудь сеть. Потому что, если такая сеть найдется, в вашем распоряжении будут математические средства, помогающие ориентироваться в ее архитектуре. Средства выявления самых важных узлов сети. Стратегии преобразования сетей в тесные миры, в которых есть быстрые пути между разными концами сетей. Топологические схемы, отбрасывающие излишнюю информацию и помогающие увидеть, что на самом деле происходит в системе.

Пит-стоп: Нейробиология

Часто кажется, что самые лучшие идеи возникают ниоткуда. Создается такое впечатление, что, когда мозг не думает, это помогает ему находить шорткаты к ответам. Философ Майкл Полани считал этот фоновый мыслительный процесс, в котором мозг обращается к подсознательным, невысказанным аргументам, ключевой частью силы человеческого мышления. Он выразил этот тезис в следующей фразе: «Мы знаем больше, чем можем высказать».

Во всяком случае, именно это мне приходилось испытывать в творческих занятиях математикой. Ощущение того, что я «вижу» ответ, хотя точно не знаю, почему он кажется мне правильным. Именно так я пришел к гипотезам, выражающим мое представление о конфигурации математического ландшафта. Я чувствую, что где-то вдали должна быть горная вершина, сам не вполне зная, как проложить путь к ней.

Многие математики говорят об озарениях, о моментах, когда мозг как бы запускает в сознание некие идеи. Сперва он работает подсознательно, а затем, когда получает решение, выводит его на арену сознательного мышления. У меня тоже бывали такие озарения, за которыми следует часто мучительная работа по восстановлению той логической последовательности, которая привела мое подсознание к явившемуся мне выводу.

Математик Анри Пуанкаре рассказывал об одном знаменитом случае, когда он работал над некой задачей, не в силах добиться хоть какого-нибудь прогресса. Только выйдя из-за стола и позволив своему мозгу отвлечься от задачи, он внезапно понял, как ее решить, когда садился в парижский автобус: «В тот самый момент, когда я поставил ногу на ступеньку, мне в голову пришла идея, к которой, казалось бы, никак не вели мои предыдущие размышления на эту тему: что преобразования, которые я использовал для определения функций Фукса, идентичны преобразованиям неевклидовой геометрии».

Нечто подобное испытал и Алан Тьюринг, когда разрабатывал идею машин Тьюринга. После долгой и упорной работы в кабинете Тьюринг любил отдыхать, совершая пробежки вдоль берега протекающей в Кембридже реки Кам. Именно в тот момент, когда он лежал на спине на лугу возле Гранчестера, он осознал, как можно использовать математику иррациональных чисел, чтобы показать, почему вычислительные возможности машин Тьюринга ограниченны.

Чтобы узнать больше о том, как прекращение размышлений о задачах приводит к их решению, я решил связаться с нейробиологом Огненом Амиджичем, который исследовал деятельность мозга специалистов в разных областях во время их профессиональной деятельности.

Амиджич не собирался становиться нейробиологом. Его мечтой была карьера шахматного гроссмейстера. Он тренировался тысячи часов и даже переехал из родной Югославии в Россию, чтобы учиться у лучших в мире наставников. Но в конце концов его мастерство достигло предела роста. Он так и не получил квалификации выше кандидата в мастера.

Тогда Амиджич решил выяснить, нет ли в конфигурации его мозга чего-то такого, что ограничивает его возможности. Поэтому он выучился на нейробиолога и начал исследования, целью которых было выяснить, есть ли различия между мозговой деятельностью шахматистов-любителей и гроссмейстеров.

Чтобы продемонстрировать свои результаты, он предложил мне сыграть партию в шахматы против одного из британских гроссмейстеров, Стюарта Конквеста; при этом мы оба были подключены к магнитоэнцефалографическому аппарату, который должен был выявить различия в работе нашего мозга. Я, разумеется, играю далеко не на уровне гроссмейстера, но умею мыслить логически, что позволяет мне анализировать шахматные позиции и понимать, каким может быть следующий ход.

Я быстро проиграл. Но меня интересовал не исход партии; поразительными оказались результаты, которые показала магнитоэнцефалограмма. Выяснилось, что мы используем во время игры очень разные части мозга. По-видимому, мой мозг работал более активно, но добивался меньшего успеха.

Исследования Амиджича показали, что подобные мне шахматисты-любители задействуют медиальную височную долю, расположенную в центре мозга. Это согласуется с предположением о том, что мыслительная деятельность любителя сосредоточена во время игры на анализе новых, непривычных ходов. Такое мышление можно считать