Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров - РАЛЬФ РАЛЬФ ВИНС

где U = верхняя граница дробного f, при которой можно торговать опти­мальным портфелем без риска получения требования довнесе­ния залога;

f$= оптимальное долларовое f для рыночной системы i;

margin $ = первоначальный залог для рыночной системы i;

N = общее число рыночных систем в портфеле.

Если U больше единицы, то приравняйте U к единице. Например, у нас есть пор­тфель из трех рыночных систем со следующими оптимальными долларовыми f и первоначальными минимальными залоговыми требованиями (примечание: f$ яв­ляются оптимальными долларовыми f для каждой рыночной системы портфеля, они представляют собой оптимальные f рыночных систем, деленные на соответ­ствующие веса в портфеле):

Рыночная система f$ Первоначальный залог А $2500 $2000 В $2000 $2000 С $3000 $2000 Суммы $7500 $6000

В соответствии с уравнением (8.08) мы возьмем сумму всех f$ (7500 долларов) и разделим ее на сумму первоначальных залоговых требований (6000 долларов), умноженную на число рынков N:

U = $7500 / ($6000 * 3) =7500/18000 =0,4167

Таким образом, доля f не должна превышать 41,67% (если мы применяем стра­тегию динамического дробного f), т. е. следует производить переразмещение, когда отношение активного баланса к общему балансу больше или равно 0,4167.

Если вы все-таки применяете стратегию статического дробного f (несмот­ря на все ее недостатки), тогда максимальное значение используемой доли должно быть равно 0,4167. Такой подход сместит вас по геометрической эф­фективной границе портфелей с неограниченной суммой весов влево от оп­тимального портфеля, но вы будете настолько близко к нему, насколько только возможно, чтобы не столкнуться при этом с требованием довнесения залога. Для примера рассмотрим счет в 100 000 долларов. Если доля f равна 0,4167, то для каждой рыночной системы получим:

Рыночная система f$ /0,4167= Новое И А $2500 $6000 В $2000 $4800 С $3000 $7200

При счете в 100 000 долларов мы будем торговать 16 контрактами рыночной сис­темы А (100 000/6000), 20 контрактами рыночной системы В (100 000/4800) и 13 контрактами рыночной системы С (100 000/7200). Итоговое требование к залогу для такого портфеля равно:

16 * $2000 = $32 000 20 * 2000 = 40 000 13 * 2000 = 26 000

Первоначальное требование залога $98 000

Отметьте, что с помощью формулы (8.08) вы получите максимально допусти­мую долю f (без риска сразу же столкнуться с требованием довнесения залога), при этом отношения рыночных систем друг к другу останутся без изменений. Следовательно, уравнение (8.08) задает разбавленный неограниченный опти­мальный портфель, в котором отсутствует риск получения требования довнесе­ния залога. Заметьте, если торговать на основе стратегии дробного f, значение, полу­ченное из уравнения (8.08), является максимальной долей f, которую вы може­те использовать (без риска сразу же столкнуться с требованием довнесения за­лога). Вернемся к нашему счету в 100 000 долларов. Предположим, когда вы открыли счет, на нем было 70 000 долларов. Далее, из этих первоначальных 70 000 долларов вы отвели 58 330 долларов под неактивный счет. Таким обра­зом, вы начали торговлю с отношения между неактивным и активным балан­сом приблизительно 83 к 17 и далее торговали активной частью при полных значениях оптимального f. Теперь, когда счет равен 100 000 долларов, а неак­тивный баланс — 58 330 долларам, активный счет составляет 41 670 долларов, т.е. 0,4167 от общего баланса. Полученное значение задает максимальную долю, которую вы можете использовать (максимальное отношение активного балан­са к общему балансу), без риска столкнуться с требованием довнесения залога. Вспомните, что вы торгуете полным f, т.е. 16 контрактами рыночной системы А (41 670/2500), 20 контрактами рыночной системы В (41 670/2000) и 13 кон­трактами рыночной системы С (41 670/3000). Итоговое требование залога для такого портфеля составляет:

16 * $2000 = $32 000 20 * 2000 = 40 000 13 * 2000 = 26000 Первоначальное требование залога $98 000

Как мы уже знаем (см. главу 2), добавление рыночных систем увеличивает среднее геометрическое по портфелю в целом. Однако возникает проблема:

каждая следующая рыночная система вносит все меньший и меньший вклад в среднее геометрическое и все больше ухудшает его, понижая эффектив­ность из-за одновременных, а не последовательных результатов. Поэтому не следует торговать слишком большим числом рыночных систем. Более того, реальное применение теоретически оптимальных портфелей ослож­няется из-за залоговых требований. Другими словами, вам лучше торговать 3 рыночными системами при полном оптимальном f, чем 300 рыночными системами при значительно пониженных уровнях, согласно уравнению (8.08). Скорее всего вы придете к выводу, что оптимальное число рыночных систем для торговли должно быть невелико. Особенно это обстоятельство важно, когда у вас много ордеров к исполнению и увеличивается вероят­ность ошибок. Если одна или несколько рыночных систем в портфеле имеют оптималь­ные веса больше единицы, может возникнуть еще одна проблема. Рассмот­рим рыночную систему с оптимальным f=0,8 и наибольшим проигрышем, составляющим 4000 долларов. Для этой рыночной системы f$ = 5000 долла­ров. Давайте предположим, что оптимальный вес данного компонента в портфеле равен 1,25, поэтому вы будете торговать одной единицей компо­нента на каждые 4000 долларов ($5000/1,25) баланса счета. Как только ком­понент столкнется с наибольшим проигрышем, весь активный баланс на счете будет обнулен, если прибылей в других рыночных системах не хватит для сохранения активного баланса. Рассмотренная проблема наиболее актуальна для систем, которые редко гене­рируют сделки. Если бы у нас были две рыночные системы с отрицательной кор­реляцией и положительным ожиданием, необходимо было бы открывать беско­нечное количество контрактов на рынке. Когда один из компонентов проигрыва­ет, другой выигрывает равную или большую сумму. Таким образом, мы получаем прибыль в каждой игре, однако только в том случае, когда рыночные системы ве­дут игру одновременно. Рассматриваемая же торговля аналогична гипотетичес­кой ситуации, когда один из компонентов в игре не активен, но используется дру­гая рыночная система с бесконечным числом контрактов. Проигрыш может быть катастрофическим. Проблему можно решить следующим образом: разделите единицу на наи­больший вес компонента портфеля и используйте полученное значение в каче­стве верхней границы активного баланса, если оно меньше, чем значение, най­денное из уравнения (8.08). В таком случае, если в будущем произойдет проиг­рыш той же величины, что и наибольший проигрыш (на основе которого рассчитано f), мы не потеряем все деньги. Например, наибольший вес компо­нента в нашем портфеле составляет 1,25. Если значение из уравнения (8.08) бу­дет больше 1 / 1,25 = 0,8, следует использовать 0,8 в качестве верхней грани­цы для доли активного баланса. Если первоначальная доля активного баланса небольшая, вышеописанная проблема может и не возникнуть, однако более агрессивному трейдеру следует всегда принимать ее во внимание. Альтернативное решение состоит в введении дополнительных ограничений в матрице портфеля (например, для каждой ры­ночной системы можно ограничить максимальные веса единицей и ввести допол­нительные ограничения по залоговым средствам). Подобные дополнительные ог­раничения линейного программирования могут помочь агрессивному трейдеру. но решить такую матрицу будет достаточно сложно. Для заинтересованных чита­телей делаю ссылку на Чилдресса.

Ротация рынков

Профессиональные трейдеры, как правило, отслеживают большое количество рынков, выбирая те, которые, по их мнению, являются в настоящий момент наи­более подходящими для данных систем. Например, некоторые трейдеры отсле­живают волатильность по всем фьючерсным рынкам и торгуют только на тех, где волатильность превышает некоторое значение. Иногда имеет смысл торговать на нескольких рынках, иногда вообще прекратить торговлю. Рынки постоянно из­меняются, что создает дополнительные проблемы для портфельных менеджеров. Каким образом можно реагировать на эти изменения, сохраняя ваш портфель оптимальным? Ответ, на самом деле, довольно прост: каждый раз, когда рынок добавляется в портфель или удаляется из него, необходимо рассчитывать новый неограничен­ный геометрический оптимальный портфель (алгоритм расчета показан в этой главе). Также необходимо принимать во внимание любые изменения размеров существующих позиций и учитывать новые добавленные или удаленные рыноч­ные системы. Таким образом, следует использовать портфель, в котором компоненты посто­янно меняются. Целью портфельного менеджера в этом случае будет создание неограниченного геометрического оптимального портфеля и поддержка посто­янной величины неактивного баланса. Именно такой подход будет оптимальным в асимптотическом смысле. Если вы используете подобную технику, может возникнуть еще одна пробле­ма. Возьмем два высоко коррелированных рынка, например золото и серебро. Те­перь представьте, что ваша система торгует так редко, что сделок на двух рынках в один и тот же день не происходит. Когда вы будете определять коэффициенты корреляции дневных изменений баланса, может оказаться, что коэффициент корреляции между золотом и серебром близок к нулю. Однако если в будущем вы будете торговать на обоих рынках одновременно, они, скорее всего, будут иметь высокую положительную корреляцию. Для решения вышеописанной проблемы следует корректировать коэффициен­ты корреляции, причем их следует изменять в большую, а не меньшую сторону Допустим, вы получили коэффициент корреляции между облигациями и соевыми бобами, равный нулю, но чувствуете, что он должен быть ниже (например - 0,25). Не следует уменьшать коэффициенты корреляции, так как более низкие значения приводят к увеличению размера позиции. Одним словом, если уж ошибаться в ко­эффициентах корреляции, то в большую сторону Ошибка, связанная с увеличени­ем коэффициентов корреляции, сместит портфель влево от пика кривой f, в то вре­мя как уменьшение сместит его вправо. Некоторые трейдеры в своих рыночных системах используют фильтры, благо­даря которым в определенный момент сделки совершаются только на одном рынке. Если фильтр работает и понижает проигрыш на основе одной единицы, тогда f (оптимальное для отфильтрованных сделок) для всей серии сделок до фильтро­вания будет выше (a f$ ниже). Если трейдер использует оптимальное f, получен­ное по неотфильтрованным сделкам, для отфильтрованных сделок, он окажется на уровне дробного f по отфильтрованным сериям и, следовательно, не сможет получить геометрический оптимальный портфель. С другой стороны, если трей­дер применяет оптимальное f по отфильтрованным сериям, он может получить геометрический оптимальный портфель, но столкнуться с проблемой больших проигрышей при оптимальном f.