Математика. Поиск истины. - Клайн Морис

По мысли Канта, опыт не может быть единственным источником истины, ибо опыт — лишь пестрая смесь ощущений, в которую не привнесены ни рациональное начало, ни организация. Следовательно, сами по себе наблюдения не дают истин. Истины, если они существуют, должны быть априорными суждениями. Кроме того, чтобы быть подлинным знанием, истины должны быть синтетическими суждениями — давать новое знание.

За убедительным примером не нужно ходить далеко: он в совокупности математического знания. Почти все аксиомы и теоремы математики Кант относит к априорным синтетическим суждениям. Утверждение о том, что прямая — это кратчайшее расстояние между двумя точками, заведомо синтетическое, ибо сочетает в себе две идеи — прямолинейности и кратчайшего расстояния, ни одна из которых не выводима из другой. Вместе с тем это суждение априорно, так как никакой опыт с прямыми и никакие измерения не могли бы убедить нас в том, что перед нами неизменная универсальная истина, какой считал это утверждение Кант. Таким образом, Кант не сомневался, что люди обладают априорными синтетическими суждениями, т.е. подлинными истинами.

Кант попытался пойти дальше. Почему, спросил он себя, мы с такой готовностью принимаем за истину утверждение о том, что прямая — кратчайшее расстояние между двумя точками? Откуда нашему разуму известны такие истины? Ответить на этот вопрос мы могли бы, если бы знали ответ на вопрос, как возможна сама математика. Кант полагал, что формы пространства и времени присущи нашему разуму независимо от опыта. Он называл эти формы созерцаниями, считая их чисто априорными средствами познания, не основанными ни на опыте, ни на логическом рассуждении. Так как созерцание пространства априори присуще разуму, некоторые аксиомы о пространстве постигаются разумом непосредственно, и геометрии остается лишь извлекать логические следствия из этих аксиом. Законы пространства и времени, законы разума предшествуют познанию реальных явлений, делая его возможным. По словам Канта, «всеобщие и необходимые законы опыта принадлежат не самой природе, а только разуму, который вкладывает их в природу».

Мы воспринимаем, организуем и постигаем опыт в соответствии с теми формами мысли, которые присущи нашему разуму. Опыт попадает в них, словно тесто в форму. Рассудок отпечатывает их на воспринятых чувственных впечатлениях, вынуждая ощущения подстраиваться под априорные формы мысли. Поскольку созерцание пространства присуще разуму, он автоматически постигает некоторые формы пространства. Такие постулаты геометрии, как «прямая — кратчайшее расстояние между двумя точками» или «через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость и притом только одну», а также аксиома Евклида о параллельности, которые Кант называл априорными синтетическимисуждениями, являются частью «оснащения» нашего разума. Геометрия как наука занимается изучением логических следствий из этих постулатов. Тот факт, что рассудок воспринимает опыт в понятиях «пространственной структуры», предопределяет согласие опыта с исходными аксиомами, постулатами и теоремами геометрии.

Поскольку Кант строил пространство из клеток человеческого мозга, он не видел оснований для того, чтобы не сделать это пространство евклидовым. Неспособность представить себе другую геометрию, убедила его в том, что таковой просто не существует. Утверждая истинность евклидовой геометрии, он в то же время доказывал существование априорных синтетических суждений. По Канту, законы евклидовой геометрии не присущи внешнему миру, а сам мир не задуман Богом так, чтобы в нем выполнялась евклидова геометрия. Законы геометрии — это механизм, позволявший человеку привносить в ощущения организацию и рациональное начало. Что же касается Бога, то, по утверждению Канта, природа божественного лежит за пределами рационального знания, но мы должны верить в Бога. Но при всей дерзости Канта в философии его суждения о геометрии были весьма опрометчивы: прожив почти безвыездно в своем родном городе Кенигсберге [ныне Калининград] в Восточной Пруссии, Кант тем не менее вздумал определить геометрию мира.

Каких взглядов придерживался Кант относительно математических законов естествознания? Поскольку весь опыт воспринимается через мыслительные схемы пространства и времени, математика должна быть применима ко всему опыту. В «Метафизических начальных основаниях естествознания» (1787) Кант трактует законы Ньютона и следствия из них как самоочевидные. Он утверждает, будто ему удалось доказать, что первый закон Ньютона может быть выведен из чистого разума и что этот закон — единственное допущение, при котором природа может быть познана человеческим разумом.

В более общем плане Кант полагал, что мир науки есть мир чувственных впечатлений, упорядоченных и управляемых рассудком в соответствии с такими врожденными категориями, как пространство, время, причина, действие и субстанция. Наш разум как бы обставлен мебелью, в которой с удобством могут расположиться гости. Чувственные впечатления поступают из внешнего мира, но этот мир, к сожалению, непознаваем. Реальность может быть познана только в субъективных категориях познающего разума. Следовательно, невозможен иной способ организации опыта, чем геометрия Евклида и механика Ньютона.

Согласно Канту, по мере расширения опыта и возникновения новых наук, разум не формулирует новые принципы путем обобщения нового опыта: для интерпретации последнего лишь включаются дополнительные, ранее не использовавшиеся области рассудка. Способность разума к пониманию возрастает с накоплением опыта. По этой причине одни истины (например, законы механики) постигаются позже других, известных на протяжении столетий.

Кант утверждал также, что мы не можем надеяться приобрести достоверное знание на основании одного лишь чувственного знакомства с объектами. Мы никогда не познаем реальные вещи в себе. Но если мы способны познать что-нибудь достоверно, то это должно быть результатом процесса, происходящего в нашем рассудке при изучении данных, полученных из внешнего мира.

Философия Канта, которую мы обрисовали лишь в самых общих чертах, — это прославление разума, однако Кант приписал ему роль исследователя не природы, а сокровенных тайн человеческой души. Опыт Кант признавал лишь как необходимый элемент познания, так как ощущения, вызываемые внешним миром, поставляют «сырой материал», организуемый рассудком. Математика обрела в философии Канта свое место открывателя непреложных законов разума.

Из приведенного нами беглого очерка теории познания Канта видно, что существование математических истин он сделал краеугольным камнем своей философии. В частности, Кант опирался на истины евклидовой геометрии. Увы! Созданная в XIX в. неевклидова геометрия опровергла все аргументы Канта,

Несмотря на превосходную философию Канта и признание его работ, наиболее знаменитый из английских философов XIX в. Джон Стюарт Милль (1806-1873) вернулся к взглядам Юма, несколько видоизменив их. Милль был позитивистом: он утверждал, что, хотя знание в основном проистекает из опыта, оно включает также соотношения, формулируемые познающим разумом относительно чувственных данных. Доказать существование внешнего мира невозможно, но в равной мере невозможно доказать, что внешний мир не существует.

Под внешним объектом мы понимаем нечто существующее независимо от того, мыслим мы его или нет, остающееся неизменным, даже если вызываемые им ощущения изменяются, и общее для многих наблюдателей, хотя испытываемые ими ощущения могут отличаться. По Миллю, представление о внешнем мире в любой момент времени лишь в малой степени состоит из реальных ощущений, а в основном — из возможных ощущений (не тех, которые некто испытывает, а тех, которые он испытал бы, двигаясь или поворачивая голову). Материя есть то, — что может перманентно порождать ощущения. Память, согласно Миллю, также играет некую роль в познании такого типа.

Внешний мир мы познаем только через ощущения. Такое знание несовершенно, и нам неведомы его точные границы и протяженность. Простые идеи, рожденные ощущениями, наш разум комбинирует в сложные; такое знание номинально, но не существенно. Знание, добытое методом индукции, не достоверно, а лишь вероятно, но это — все, чем мы располагаем в науке и можем руководствоваться в жизни.