Математика. Поиск истины. - Клайн Морис

Весь хор небесный и все, что ни есть на земле, словом, все тела, которые образуют величественную систему мира, не обладают никакой субстанцией без нашего ума… Покуда они не воспринимаются мной или не существуют в моем уме или в чьем-нибудь еще сотворенном духе, они вообще лишены существования или присутствуют в разуме некоего Вечного Духа.

Но даже сам Беркли не смог избежать — эпизодических вылазок в тот самый внешний мир, существование которого он отрицал. В своей последней работе под названием «Сейрис, или цепь философских размышлений, касающихся достоинств дегтярной настойки и разных других предметов, связанных друг с другом и возникающих один из другого» Беркли настоятельно рекомендовал дегтярную настойку как средство от оспы, чахотки, подагры, плеврита, астмы, несварения желудка и многих других болезней. Впрочем, такие временные отходы от занимаемой позиции вряд ли следует ставить в вину Беркли. Всякий, кто заглянет в его сочинение «Три разговора между Гиласом и Филонусом», убедится, сколь искусно и с каким блеском он отстаивает свою философию.

Крайние взгляды Беркли на материю и разум породили известную шутку: «Что такое материя? — Не нашего ума дело. Что такое ум? — Не наша эта материя». Лишая материализм материи, Беркли полагал, что тем самым он отвергает и внешний мир.

Казалось, вряд ли можно высказываться более радикально по вопросу об отношении человека к внешнему миру, чем это делал Беркли. Но по мнению шотландского философа-скептика Дэвида Юма (1711-1776), Беркли ушел не так уж далеко, если Беркли признавал мыслящий разум, в котором существовали ощущения и идеи, то Юм отрицал и разум. В своем «Трактате о человеческой природе, или попытке применить основанный на опыте метод рассуждения к моральным предметам» (1739-1740) Юм утверждал, что мы не знаем ни разума, ни материи. И то и другое — лишь фикции, не воспринимаемые нами. Воспринимаем же мы впечатления (ощущения) и идеи — образы, воспоминания, мысли, — но все эти три разновидности воспринимаемого не более чем слабые отголоски впечатлений. Разумеется, впечатления и идеи подразделяются на простые и сложные, но сложные впечатления есть не что иное, как комбинации простых впечатлений. Наш разум, по утверждению Юма, тождествен набору наших впечатлений и идей и представляет собой лишь удобный термин для обозначения такого набора.

По вопросу о материи Юм разделял мнение Беркли. Кто гарантирует нам бытие перманентно существующего мира телесных объектов? Все, что мы знаем, — это наши чувственные впечатления о таком мире. Соединяя идеи по сходству и располагая их в определенной последовательности, память упорядочивает мир идей так же, как сила тяжести устанавливает порядок во внешнем мире. Пространство и время — всего лишь способ и порядок, в котором являются нам идеи. Ни пространство, ни время не есть объективные реальности. Сила и прочность наших идей вводят нас в заблуждение, заставляя верить в такие реальности.

Вывод о существовании внешнего мира с неизменными свойствами ничем не обоснован. Нет оснований полагать, будто существует что-нибудь кроме впечатлений и идей, ничему не соответствующих и ничего не представляющих. Следовательно, не может быть и научных законов, относящихся к перманентному объективному внешнему миру; то, что мы называем такими законами, — не более чем удобное обозначение для некоторой суммы впечатлений. У нас нет способа узнать, повторятся ли те последовательности впечатлений, которые мы наблюдали. Мы сами представляем собой всего лишь разрозненные наборы восприятий, т.е. впечатления и идей. Мы существуем только в этом смысле. При любой попытке с нашей стороны воспринять самих себя мы доходим лишь до восприятия. Для любого человека все остальные люди и предполагаемый внешний мир — всего лишь восприятия, и нет гарантии, что они действительно существуют.

Лишь одно препятствие стояло на пути всепроникающего скептицизма Юма — существование общепризнанных истин самой математики. Просто отмахнуться от них Юм не мог, и ему не оставалось ничего другого, как попытаться принизить ценность математических истин. По мнению Юма, теоремы чистой математики — это излишние утверждения, ненужные повторения одного и того же различными способами. То, что дважды два — четыре, не ново. В действительности дважды два — всего лишь иной способ записать или назвать устно число «четыре». Следовательно, и это, и другие утверждения арифметики — не более чем тавтология. Что же касается теорем геометрии, то они представляют собой повторения в более сложной форме аксиом, в которых в свою очередь не больше смысла, чем в утверждении о том, что дважды два — четыре.

В своем «Трактате о человеческой природе» Юм скептически отозвался о силе разума как орудия для рационального объяснения:

Ни один объект на обнаруживает себя качествами, доступными нашим ощущениям, или причинами, породившими его, или действиями, проистекающими от него; без помощи опыта наш разум не в состоянии сделать какое-либо заключение относительно реального бытия и существования.

Опыт может подсказать причину и действие, следствие, но основанное на опыте убеждение лишено рациональной основы. Убеждение разумно только в том случае, если его отрицание логически противоречиво, но ни одно убеждение, к которому нас приводит опыт, не отвечает этому требованию. Подлинной науки о перманентном и объективном мире не существует; наука чисто эмпирическая.

Общую проблему познания физического мира Юм решает, отрицая самую возможность получения истин о нем. Ни теоремы математики, ни существование Бога, ни существование внешнего мира, причинности, природы, ни чудеса истинами не являются. Так Юм с помощью разума разрушил то, что было создано разумом, подчеркивая в то же время ограниченность возможностей последнего.

Окончательный вывод всей философии Юма — отрицание им наивысшей способности человека, способности познания мира, — большинство мыслителей XVIII в. восприняло весьма неодобрительно. Слишком велики были достижения математики и другие проявления человеческого разума, чтобы от них так легко отказаться. Иммануил Кант (1724-1804) без обиняков выразил свое непринятие необоснованного расширительного толкования Юмом теории познания Локка: разум должен снова занять подобающее ему место. Кант не сомневался, что человек располагает идеями и истинами, представляющими нечто большее, нежели простое соединение чувственного опыта.

Тем не менее при тщательном изучении итог размышлений Канта оказался не столь обнадеживающим. В своем сочинении «Пролегомены ко всякой будущей метафизике, могущей появиться как наука» (1783) Кант писал:

Мы можем с достоверностью сказать, что некоторые чистые априорные синтетические познания имеются и нам даны, а именно чистая математика и чистое естествознание, потому что оба содержат положения, частью аподиктически достоверные на основе одного только разума, частью же на основе общего согласия из опыта и тем не менее повсеместно признанные независимыми от опыта.

В «Критике чистого разума» (1781) Кант приходит к более утешительному выводу, признавая истинами все аксиомы и теоремы математики. Почему, спрашивает себя Кант, мы столь охотно приемлем эти истины? Сам по себе опыт не может служить оправданием нашей готовности к признанию математических истин. Ответить на поставленный вопрос, по мнению Канта, можно лишь после того, как будет найден ответ — на более общий вопрос: как возможна сама наука математика?

Кант избрал совершенно новый подход к проблеме получения человеком истинного знания. Первый его шаг состоял в том, чтобы провести различие между двоякого рода суждениями, дающими знание. Суждения первого рода Кант называл аналитическими; они не дают нового знания. Примером может служить суждение «Все тела протяженны». Оно лишь констатирует в явном виде свойство, присущее всем телам в силу того, что это — тела, и не сообщает нам ничего нового. Суждения второго рода, выводимые каким-то образом нашим разумом независимо от опыта, Кант называл априорными.