Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики - Беллос Алекс

Список 1

ОРРОРОРРРООРООРООООРОРРОРОРРОО

Список 2:

РРООРРРРРООРРРОРРОРООООРООРОРО

Смысл забавы в том, что очень легко понять, какой список — результат подбрасывания настоящей монеты, а какой — воображаемой. В приведенном выше примере мне было ясно, что второй список — настоящий, и я не ошибся. Во-первых, я выяснил, какова максимальная серия выпадающих подряд одних орлов или одних решеток. Во втором списке максимальная серия — 5 решек. В первом списке максимальная серия — 4 орла. Вероятность серии из 5 одинаковых исходов в 30 подбрасываниях составляет почти две трети, так что намного более вероятно, что за 30 бросаний серия из 5 одинаковых результатов действительно наступит. Исходя уже из этого, второй список оказывается подходящим кандидатом на то, чтобы отражать результаты подбрасывания настоящей монеты. Во-вторых, мне было известно, что большинство людей никогда не напишут серию из 5 одинаковых исходов при 30 подбрасываниях, потому что это кажется им недостаточно случайным. Для проверки того, что я не ошибся, отнеся второй список к реальному эксперименту, я решил проверить, сколь часто в этих списках происходят переходы между орлами и решками. Из-за того, что каждый раз при подбрасывании монеты шансы выпадения орла и решки одинаковы, следует ожидать, что за каждым данным исходом примерно в половине случаев следует противоположный исход, а в половине случаев — тот же самый исход. Во втором списке переходы совершаются 15 раз, а в первом — 19, что свидетельствует о человеческом вмешательстве. Представляя себе подбрасывание монеты, наш мозг склонен чередовать исходы гораздо чаще, чем это происходит на самом деле в истинно случайной последовательности: после пары орлов наш инстинкт хочет внести компенсацию и воображает исход в виде решки, несмотря на то что шансы выпадения орла остаются равными 1:2. Здесь-то и проявляется заблуждение игрока. Истинная случайность не помнит, что было раньше.

Для человеческого ума оказывается невероятно сложно, если не невозможно, имитировать случайность. А при столкновении со случайностью мы часто интерпретируем ее как неслучайную. Например, на айподе есть опция воспроизведения песен «вразброс». При этом песни проигрываются в случайном порядке. Но когда компания «Apple» поставила эту программу, пользователи стали жаловаться, что она предпочитает определенных исполнителей, потому что их песни часто следовали одна за другой. Слушатели здесь впадают в заблуждение игрока. Если опция «вразброс» на айподе по-настоящему случайна, то выбор каждой следующей песни не зависит от предыдущей. Как показывает эксперимент с подбрасыванием монеты, противоречащие интуиции длинные последовательности одного и того же исхода являются скорее нормой. Если композиции выбираются случайно, то вполне возможно, или даже весьма вероятно, что будут появляться кластеры песен одного и того же исполнителя. Генеральный директор компании «Apple» Стив Джобс говорил абсолютно всерьез, когда комментировал высказывания недовольных пользователей: «Мы сейчас делаем опцию „вразброс“ менее случайной, чтобы она воспринималась как более случайная».

Почему же заблуждение игрока — столь сильный мотив? Все дело в контроле. Нам нравится ощущение контроля за тем, что вокруг нас происходит. Если события совершаются случайно, мы не можем их контролировать. Наоборот, если нам удается контролировать события, то они не случайны. Именно поэтому мы предпочитаем усматривать закономерности даже там, где никаких закономерностей нет. Тем самым мы пытаемся восстановить чувство контроля. Потребность осуществления контроля представляет собой глубокий человеческий инстинкт, связанный с выживанием. В 1970-х годах в весьма впечатляющем (если не сказать жестоком) эксперименте исследовалось, насколько ощущение контроля важно для пожилых пациентов, живущих в интернатах для престарелых. Некоторым пациентам предоставили возможность самим решать, как будут обставлены их комнаты, а также выбрать растение, за которым они будут ухаживать. Других же просто поселили в уже готовые комнаты и выделили комнатное растение. По прошествии 18 месяцев результат оказался просто устрашающим. У тех пациентов, кому была предоставлена возможность принятия решений, смертность составляла 15 процентов, а у тех, кто был этого лишен, — 30 процентов. Ощущение, что мы контролируем ситуацию, поддерживает в нас жизнь.

* * *

Случайность — нечто очень далекое от плавности и спокойствия. Она создает области пустоты и области сгущений.

Случайность позволяет объяснить, почему в некоторых небольших деревнях процент врожденных заболеваний выше нормального, почему на некоторых дорогах происходит больше несчастных случаев и почему в некоторых баскетбольных матчах оказываются забитыми все штрафные. А также почему в 7 из 10 последних финалов чемпионата мира по футболу по крайней мере у двух игроков совпадали дни рождения:

2006 Патрик Виера, Зинедин Зидан (Франция), 23 июня 2002 Никого 1998 Эммануэль Пети (Франция), Рональдо (Бразилия), 22 сентября 1994 Франко Барези (Италия), Клаудио Таффарель (Бразилия), 8 мая 1990 Никого 1986 Серхио Батиста (Аргентина), Андреас Бреме (Западная Германия), 9 ноября 1982 Никого 1978 Рене ван де Керкхоф, Вилли ван де Керкхоф (Голландия), 16 сентября; Джонни Реп, Ян Йонгблед (Голландия), 25 ноября 1974 Джонни Реп, Ян Йонгблед (Голландия), 25 ноября 1970 Пьацца (Бразилия), Пьерлуиджи Чера (Италия), 25 февраля

С первого взгляда это воспринимается как удивительный набор совпадений, однако с точки зрения математики в этом списке нет ничего выдающегося, потому что стоит только случайно выбрать группу из 23 человек, как окажется, что совпадение дней рождения у двух людей в группе будет более вероятным, чем отсутствие таких совпадений. Это явление известно как парадокс дней рождения. В нем нет никаких противоречий, однако же он бросает вызов здравому смыслу: число 23 кажется абсурдно малым для такого совпадения.

Доказательство парадокса дней рождения похоже на те доказательства, что мы использовали в начале главы, изучая комбинации, выпадающие при бросании костей. На самом деле можно переформулировать парадокс дней рождения в виде следующего утверждения: если взять кость с 365 сторонами, то после 23 бросаний более вероятно, что одна и та же грань выпадет два раза, чем что такого не случится.

Шаг 1

Вероятность того, что у двух человек в группе окажется одна и та же дата рождения, равна единице минус вероятность того, что ни у каких двух людей в этой группе дни рождения не совпадут.

Шаг 2

Вероятность того, что в группе из двух человек их дни рождения не совпадут, равна 365/365 × 364/365. Так получается, потому что первый человек может родиться в любой день (365 возможностей из полного числа 365), а для второго остается любой из дней за исключением того, когда родился первый (364 возможности из полного числа 365). Для простоты не будем обращать внимания на лишний день в високосные годы.

Шаг 3

Вероятность того, что ни у кого в группе из трех человек даты рождения не попадут на один и тот же день, равна 365/365 × 364/365 × 363/365. В группе из четырех человек она оказывается равной 365/365 × 364/365 × 363/365 × 362/365 и т. д. Каждое следующее умножение делает результат все меньше и меньше. Когда в группе оказывается 23 человека, результат наконец пересекает отметку в 0,5 (точное значение равно 0,493).