Математика. Поиск истины. - Морис Клайн

Так, католическое вероучение, считавшее сотворение мира рациональным актом Бога, и учение пифагорейцев и Платона, усматривавшее в математике фундаментальную реальность физического мира, слились в программе естественнонаучных поисков, суть которой сводилась к следующему: наука призвана открывать математические соотношения, лежащие в основе всех явлений природы и объясняющие их, и тем способствовать славе и величию божественного творения. Как отмечал в своей книге «Становление человеческого разума» Джон Герман Рэндалл, — «наука родилась из веры в математическую сущность природы, утвердившуюся задолго до того, как это удалось проверить экспериментально».

Из философов, убежденных в том, что математика — верный путь к реальности, наиболее влиятельным был Рене Декарт. И хотя его метод оказался недолговечным, именно Декарт был последним из схоластов и первым из представителей науки нового времени, который провозгласил особое значение математики как инструмента познания мира.

Декарт задумался над тем, почему следует верить, что математические конструкции, созданные человеческим разумом, открывают путь к познанию физического мира. Декарт, как мы уже знаем, опирался при этом на свою веру в Бога. Он считал, что человеческому разуму внутренне присущи идеи пространства, времени, числа и Бога, а также способность распознавать истинность других интуитивно постигаемых понятий. Внутреннее знание незыблемо и неоспоримо. Идею Бога, по мнению Декарта, невозможно почерпнуть в чувственном опыте, ибо вечность, всеведение, всемогущество и совершенство отсутствуют в окружающем нас физическом мире. К числу идей, составляющих достояние разума, — принадлежит и идея внешнего мира. Существует ли то, что мы называем внешним миром? Существует, заявлял Декарт, ибо Бог в силу своей добродетели не стал бы вводить нас в заблуждение. С другой стороны, ощущения, по Декарту, это не более, чем заблуждения, рожденные нашими чувствами. К счастью, из математических истин, постигаемых разумом независимо от опыта, мы можем с помощью чисто умозрительных рассуждений выводить новые истины о физическом мире. Каким образом мы могли бы удостовериться в правильности наших рассуждений? И здесь Декарт опять уповает на Бога, полагая, что именно благодаря промыслу божьему наше мышление согласуется с реальностью.

Убеждение Декарта в том, что природа основана на математических принципах, разделяли и его современники, и на протяжении двух столетий последующие поколения философов и естествоиспытателей. Кеплер также усматривал реальность мира в описывающих его математических соотношениях. По словам Галилея, математические символы — те письмена, которыми Бог начертал великую книгу Природы. Не знающий их не в состоянии понять в ней ни единого слова и обречен вечно блуждать по лабиринту в кромешной тьме. Познаваемы лишь те свойства физического мира, которые могут быть выражены с помощью математических понятий и формул. Вселенная математична по своей структуре и поведению, и природа действует согласно незыблемым и неизменным законам. В одном из писем Галилея содержится весьма откровенное признание: «Что касается меня, то пусть хоть бы все споры по поводу Священного писания пребывали в вечной дреме; ни один астроном или естествоиспытатель, если он в здравом рассудке, не станет вдаваться в такие детали». Разумеется, Галилей был глубоко убежден, что Бог сотворил мир на основе математических принципов. В приведенном отрывке из письма он имеет в виду лишь то, что для объяснения явлений природы не следует привлекать потусторонние сверхъестественные силы.

Ньютон также считал, что Бог сотворил мир на основе математических принципов. В его письме к Ричарду Бентли от 10 декабря 1692 г. есть такие строки: «Когда я писал свой трактат о нашей системе [«Математические начала натуральной философии»], мне хотелось найти такие начала, которые были бы совместимы с верой людей в Бога; ничто не может доставить мне большее удовлетворение, чем сознание того, что мой труд оказался не напрасным» ([13], с. 73).

Главную ценность своих научных трудов Ньютон видел в поддержке религиозного вероучения. Он был ученым-теологом, хотя не имел духовного сана. Занятия наукой Ньютон считал делом тяжелым и скучным, но продолжал отдаваться ему, ибо наука позволяла находить все новые подтверждения божественного сотворения мира. Как и его предшественник по кафедре в Кембриджском университете Исаак Барроу, Ньютон в более зрелые годы обратился к богословию. Свято веря, что мироздание построено по божественному плану, Ньютон в отличие от своих предшественников считал, что Бог также призван следить за тем, чтобы все в мире функционировало в соответствии с этим планом. Ньютон сравнивал Вседержителя с часовщиком, следящим за точностью хода часов и устраняющим любые неисправности.

Хотя Готтфрид Вильгельм Лейбниц был человеком разносторонне одаренным и достиг блестящих успехов в математике, главным образом в дифференциальном и интегральном исчислениях, он отнюдь не распространял господство математики на сколько-нибудь широкую область естествознания. Философия науки, развитая Лейбницем (как и философия науки Декарта), стала его наиболее значительным вкладом в учение о математических принципах, заложенных в основе мироздания.

В «Теодицее» Лейбница мы встречаем уже знакомую нам идею: Бог есть тот высший разум, который сотворил наш тщательно спланированный мир. Согласие между реальным миром и миром математическим, а в конечном счете применимость к реальному миру дифференциального и интегрального исчислений Лейбниц объяснял единством мира и Бога: Cum Deus calculat, fit mundus (Как Бог считает, так мир и делает). Наш мир — самый совершенный из всех миров, какие только можно себе представить, и рациональное мышление открывает его законы — таков был главный тезис Лейбница.

Суть того, во что неколебимо верили Декарт, Кеплер, Галилей, Ньютон, Лейбниц и многие другие основатели современной математики, сводится к следующему: природе внутренне присуща некая скрытая гармония, которая отражается в наших умах в виде простых математических законов. Именно в силу этой гармонии наблюдение в сочетании с математическим анализом позволяет предсказывать явления природы. Даже в далеком прошлом такая предпосылка неизменно получала подтверждения, превосходившие самые смелые ожидания.

Математический план природы открывается человеку лишь в неустанном поиске. Пути господни, как говорится, неисповедимы, но, несомненно, они математически совершенны, и человеческий разум со временем открывает все больше подробностей того рационального плана, которым Бог руководствовался при сотворении мира. То, что человек рассуждает так же, как, видимо, рассуждал Бог, обдумывая свой план мироздания, казалось ученым прошлого довольно понятным: ведь правильным, по их мнению, могли быть рассуждения только одного типа.

В своей работе «Прагматизм» (1907) Уильям Джеймс так описывает умонастроение математиков того времени:

Когда были открыты первые математические, логические и физические закономерности, первые законы, проистекавшие из этих открытий, ясность, красота и упрощение настолько захватили людей, что они уверовали в то, будто им удалось доподлинно расшифровать непреходящие мысли Всемогущего. Его разум громыхал громовыми раскатами и эхом отдавался в силлогизмах. Бог мыслил коническими сечениями, квадратами, корнями и отношениями и геометризовал, как Евклид. Бог предначертал законы Кеплера движению планет, заставил скорость падающих тел возрастать пропорционально времени, создал закон синусов, которому свет должен следовать при преломлении… Бог измыслил архетипы всех вещей и придумал их вариации, и когда мы открываем любое из его чудесных творений, то постигаем его замысел в самом точном предназначении. ([13], с. 82.)

С исторической точки зрения можно усмотреть определенную иронию в том, что роль Бога становилась все менее значительной по мере того, как начинали доминировать универсальные законы, охватывающие движения небесных и земных тел, и неизменное согласие между математическими предсказаниями и результатами наблюдений свидетельствовало о совершенстве законов. Бог оказался оттесненным на задний план, и все внимание сосредоточилось на математических законах, царящих во Вселенной. Лейбниц отлично сознавал, какие следствия можно извлечь из ньютоновских «Математических начал», в частности из представления о мире, функционирующем по определенному плану, неважно, с Богом или без оного, и обрушился на сочинение Ньютона, назвав его антихристианским.

Почтительное восхищение божественным планом творения постепенно уступило место стремлению получить чисто математические результаты. Хотя многие математики продолжали верить в божественное сотворение мира по единому плану и видели основную функцию математической науки в поисках способов расшифровки божественного замысла, вера в Творца во второй половине XVIII в. изрядно потускнела. Чем успешнее развивалась математика того времени, чем многочисленнее становились ее достижения, тем в меньшей степени занятие математикой нуждалось в религиозном вдохновении.