Математика. Поиск истины. - Морис Клайн

Наше современное понимание реальности разительно отличается от концепций реальности предшествующих поколений, будь то последователи Аристотеля или представители математической физики XVII-XVIII вв. По мере того как законы механики и всемирного тяготения распространялись на все новые явления, а планеты, кометы и звезды продолжали неукоснительно следовать путями, столь точно описанными математикой, мысли Декарта, Галилея и Ньютона о том, что Вселенную можно описать, пользуясь понятиями массы, силы и движения, все глубже проникали в сознание людей и превратились в убеждение почти каждого мыслящего современного человека.

Беркли в свое время охарактеризовал одно из основных понятий математического анализа — понятие производной — как «призрак покинувших нас величин». Многое в современной физической теории свидетельствует о призрачности былых, казавшихся незыблемыми классических представлений о материи. Но, облекая в математические формулировки законы, которые описывают призрачные «поля-духи», не имеющие наглядных аналогий в реальности, и выводя из этих законов следствия, мы приходим к заключениям, которые при надлежащей физической интерпретации допускают проверку с помощью наших чувственных восприятий.

Этот специфически умозрительный элемент современного естествознания неоднократно подчеркивал Эйнштейн, который, в частности, писал ([7], т. 4):

Согласно ньютоновской системе, физическая реальность характеризуется понятиями пространства, времени, материальной точки и силы (взаимодействия материальных точек)…

После Максвелла физическая реальность мыслилась в виде непрерывных, не поддающихся механическому объяснению полей, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных. Это изменение понятия реальности является наиболее глубоким и плодотворным из тех, которые испытала физика со времен Ньютона…

Кратко обрисованный здесь взгляд, согласно которому основы научной теории имеют умозрительный характер, еще не был господствующим в XVIII и XIX вв. Но постепенно он получает все более прочную почву, по мере того как в мышлении все более отдаляются друг от друга фундаментальные понятия и законы, с одной стороны, и те выводы, которые должны быть сопоставлены с опытом, с другой, по мере того как унифицируется логическая структура, т.е. по мере уменьшения числа логически независимых друг от друга концептуальных элементов, которые оказываются необходимой опорой всей структуры.

Современное естествознание (и в первую очередь физика) вменяет себе в заслугу освобождение от духов, дьяволов, потусторонних сил, мистики и анимизма путем рационального объяснения явлений природы. Мы можем добавить, что современная наука постепенно отошла от интуитивного и физического содержания, которое в равной мере апеллирует к чувствам; она все более исключает из системы своих представлений классический образ материи, прибегая к таким чисто синтетическим идеальным понятиям, как «поля» или «электроны», относительно которых нам известно единственное — математические соотношения, которым они удовлетворяют. С чувственным восприятием наука поддерживает лишь весьма ограниченный, хотя и жизненно важный контакт посредством длинной цепочки математических дедуктивных выводов. Естествознание стало рационализированным вымыслом — рационализированным с помощью математики.

В наши дни естествознание имеет дело с динамической реальностью, которая расширяется и меняется по мере того, как растет и изменяется наше понимание ее. Ныне мы вынуждены признавать реальность объектов и явлений, не доступных непосредственно чувственному восприятию. Чувственное подтверждение более не требуется. Природа богаче, чем говорят о ней наши органы чувств. Здравый смысл не в состоянии подсказать нам наглядные аналоги атомов, электронов, искривленного пространства или электрических полей. Недостаток наглядной модели многие, разумеется, считают существенным, в особенности те, чей опыт ограничен обыденным здравым смыслом и кто вполне естественно стремится строить свои умозаключения лишь на основании собственного опыта.

Усилия, предпринимаемые человеком с целью определить, что есть реальность, ныне учитывают новый фактор — роль наблюдателя. В XIX в. природу еще воспринимали как совокупность явлений, при рассмотрении которых фактом существования человека и его вмешательства в природу можно пренебречь, если не на практике, то по крайней мере в принципе. Но в XX в. от прежних взглядов пришлось отказаться, особенно когда речь идет об атомной и субатомной физике. Реальность элементарных частиц далеко не очевидна. Мы узнаем о них лишь по различного рода взаимодействиям их с измерительными приборами, по «следам», оставленным ими в пузырьковых камерах, на фотоэмульсии или запечатленным на экранах осциллографов, и на основании этого судим о поведении элементарных частиц. Такого рода внешние проявления элементарных процессов имеют ничуть не меньшее значение для их понимания, чем лежащие в основе этих проявлений глубинные процессы. Более того, как заметил Гейзенберг, используемые нами измерительные приборы влияют на истинное физическое поведение микрочастиц. К какой бы картине, корпускулярной или волновой, ни апеллировала классическая механика, неизменно существовала объективная реальность, не зависящая от наблюдателя. Ныне законы физики в большей мере характеризуют наше знание, нежели действительные процессы в физическом мире. Мы наблюдаем эти процессы, производя те или иные действия, математизируем их и делаем соответствующие выводы.

Классическая физика допускает возможность ошибок в измерениях и для их коррекции использует методы математической статистики и теории вероятностей. Однако в классической физике измеряемая величина определена однозначно, т.е. имеет точное значение. Иначе обстоит дело в квантовой механике, где наше представление о событиях формируется только на основе статистических данных. В отличие от классической физики в квантовой механике не предполагается измерительных устройств, разрешение которых можно было бы увеличивать. О существовании частиц в пространстве и времени мы судим по косвенным признакам, Классически понимаемая объективная реальность элементарных частиц странным образом теряется не в тумане какой-то новой плохо определенной или еще не нашедшей своего объяснения концепции реальности, а в прозрачности математических выкладок, описывающих не поведение элементарных частиц, а наше представление о нем.

Исходя из этого, мы приходим к выводу, что реальный мир есть не то, о чем говорят наши органы чувств с их ограниченным восприятием внешнего мира, а скорее то, что говорят нам созданные человеком математические теории, охватывающие достаточно широкий круг явлений. В евклидовой геометрии понятия точки, линии, плоскости и тому подобное — идеализации, но идеализации реальных объектов, и поэтому реальные точки, линии и плоскости мы можем воспринимать как реальность. А что нам делать с гравитационным взаимодействием и электромагнитным излучением? Ведь мы наблюдаем не их самих, а лишь производимые ими эффекты. Но какова физическая реальность, лежащая за пределами математики? Мы не располагаем даже воображаемыми физическими картинами, достаточными для объяснения гравитационного взаимодействия и полей. Трудно, если вообще возможно, избежать вывода: математическим знанием исчерпываются все наши знания относительно различных аспектов реальности.

А сколь реальна математика? Реально ли физически то, что она утверждает относительно реального мира? Чтобы ответить на этот вопрос, обратимся к некоторым приложениям математики. Иоганн Кеплер провозгласил, что каждая планета движется вокруг Солнца по эллиптической орбите. Но был ли эллипс именно тем, что искал Кеплер? Разумеется, нет. Кеплер на протяжении нескольких лет безуспешно пытался подобрать кривую, наилучшим образом соответствующую результатам астрономических наблюдений траектории движения Марса, и об эллипсе он подумал потому, что эта кривая была известна в математике. И когда Кеплер обнаружил, что эллиптическая орбита достаточно хорошо согласуется с данными наблюдений и отклонения от орбиты лежат в пределах ошибки наблюдений, то решил, что эллипс и есть точная форма орбиты Марса. Однако в действительности планеты движутся вокруг Солнца не по эллипсам. Если бы в Солнечной системе была одна-единственная планета, которая, как и само Солнце, имела идеально шарообразную форму, то она действительно обращалась бы вокруг Солнца по эллиптической орбите. Но в реальности на любую планету действует не только гравитационное притяжение Солнца — на ее движение влияют другие планеты и их естественные спутники. Поэтому орбита планеты по форме отличается от эллипса. К счастью, астрономические наблюдения Тихо Браге, результатами которых пользовался Кеплер, хотя и превосходили по точности все предшествовавшие наблюдения, но все же были достаточно грубы, и это позволило Кеплеру считать эллипс хорошим приближением к истинной орбите.