Магия чисел. Математическая мысль от Пифагора до наших дней - Эрик Белл

Наш интерес к Галилею в данной работе вызван его вкладом в теорию математической бесконечности. Из его саркастического замечания в одном из диалогов невозможно определить, серьезно ли воспринимал сам Галилей свой эпохальный комментарий или просто произнес его злонамеренно, чтобы привести в замешательство глупого последователя Аристотеля посредством его же собственной логики. Каким бы ни был мотив его поступка, Галилей устранил основное различие между конечным и бесконечным множествами.

Под словом «вклад» следует понимать часть, а не все. В конечном множестве присутствует всегда больше элементов, чем в любой его части. Галилей на примере показал, что часть бесконечного множества содержит то же количество элементов, что и все бесконечное множество. Два множества содержат «одинаковое число» элементов, когда, взяв поочередно из каждого множества по одному элементу, мы образуем из них пары таким образом, чтобы после спаривания ни в одном из множеств не осталось свободных элементов. Это просто объяснение того, что имеется в виду, когда мы подразумеваем, что два множества содержат равное количество элементов.

Примеры множеств, в которых часть содержит столько же элементов, сколько и само множество, легко представить. Все четные числа 2, 4, 6, 8, 10… являются только частью всех натуральных чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10… количество четных чисел среди четных чисел равно количеству четных чисел среди всех натуральных чисел. Составление пар осуществляется сопоставлением каждому натуральному числу его удвоенного числа:

1, 2, 3, 4, 5…

2, 4, 6, 8, 10…

В примере Галилея:

1 2 3 4 5…

12, 22, 32, 42, 52…,

в котором каждому натуральному числу в пару ставится его квадрат, что более наглядно.

Это гениальное наблюдение стало первым шагом к допущению, что последовательная математика может себе позволить говорить о «бесконечности». Создалось впечатление, что математики это умышленно просматривали до начала XIX века, когда другие заметили кажущийся парадокс «целого» и «части» со ссылкой на множества, которые не конечны, а приняты как факт, и тут начали серьезно работать над математической бесконечностью. К концу века появилась глубоко проработанная теория бесконечности, как оказалось, на базе чистой и прикладной математики, включая арифметику бесконечных чисел. Как было замечено в предыдущей главе, коварный парадокс, вкравшийся в эту работу, потребовал более высокой тщательности дедуктивного рассуждения, чем когда-либо со времен Аристотеля. В свою очередь, это бросило тень подозрения на статус математики и логики как инструмента открытия вечной истины и божественной необходимости. Если бы десять кардиналов, участвовавших в деле, знали, что думал Галилей о бесконечности, они бы ни секунды не потратили на его ереси по Копернику. Его провокационный пример на базе всех натуральных чисел и их квадратов был призван разрушить логику, на основании которой средневековые власти основывали официальную теологию, в значительно большей степени, чем все неортодоксальные отступления новой астрономии. Очень трудно себе представить, как бы Галилей отрекся от этого примера.

Риторическое восхваление математики как божественно внушенного ответа на все загадки мироздания вышло из моды среди активного ученого сообщества вместе с Галилеем. Еще продолжали звучать устарелые гимны в не-уменьшающемся количестве, что правда, но не о тех, кто создавал новую математику и применял ее в физике и астрономии. Какой бы математический мистицизм ни поощряли вожди, он уже был вне науки. До конца 1920-х годов несколько ученых подхватили песнь в честь «божественной математики» на ноте, на которой Галилей оборвал ее, прогресс был стремителен. В 1930 году платоническая божественность вернулась из забытья трех веков, как и Великий Математик. Одновременно мироздание стало математической мыслью как сложная геометрическая теорема в том же Математическом уме.

Упадок рапсодической математики среди практикующих ученых, кажется, произошел случайно, благодаря глубоко здравому смыслу Ньютона. Рожденный в 1642 году, когда умер Галилей, Ньютон жил в первой четверти XVIII века и умер в 1727 году. Его «Математические принципы натуральной философии», изданные в 1687 году, стали научной библией великих континентальных астрономов-математиков и математиков-естествоиспытателей. Только в математически ненужном придатке ко второму изданию «Принципов» присутствует подозрение на что-то, что может именоваться математическим мистицизмом. Раскритикованный Лейбницем (1646–1716) и епископом Беркли (с которым мы еще встретимся в другом месте) за игнорирование теологической метафизики в первом издании «Принципов» (1687), Ньютон добавил «Генеральную схолию» по этим вопросам для второго издания 1713 года. Если ортодоксальные почитатели Ньютона ожидали угодливой поддержки своих верований признанным математиком и ученым современности, они должны были в определенной степени расстроиться оценкой Ньютоном высшего существующего. Он полностью отрекся от антропоморфизма. А то что осталось, стало ничем, а благочестивые современники Ньютона так надеялись на его воображение.

Божественная концепция Ньютона представляет математический интерес, поскольку настойчиво повторяется в вопросе о бесконечности как характерный атрибут божественного жития. Бог, согласно Ньютону, «есть божество, или почти совершенство. Он вечен и бесконечен, всемогущ и всеведущ, что означает – его существование пришло к нам из вечности и в вечность уйдет, он живет из бесконечности в бесконечность… Но сам он не есть вечность и бесконечность, хотя и вечен, и бесконечен, он не длина и не пространство, но он конечен, и у него есть присутствие, и благодаря присутствию всегда и везде олицетворяет длину и пространство… У него нет тела, но есть плоть…».

Было бы интересно узнать, что декада кардиналов по делу Галилея подумала бы обо всем этом. Возможно, кто-то из них прочитал об этом в лучшем из миров. Но в том мире они ничего не могут сделать, чтобы пресечь это или заставить автора замолчать. Спасибо отчасти Генриху Английскому и его многочисленным женам, святая инквизиция не имела активно действующего агента в Англии, и Ньютон был свободен верить в то, что ему нравилось, и проповедовать свою веру, если у него было на то желание.

Как известный англичанин, а он таковым был, Ньютон надеялся, если верить рассказу друзей, что его математическая астрономия снабдит современников рациональной концепцией божественного. Британские последователи Ньютона частенько выдавали собственные научные воззрения с комментариями менее провокационными, чем его, по вопросам теологического применения результатов своих исследований или хотя бы в виде простой хвалебной заметки. Эта религиозная наклонность британских коллег никогда не заставляла долго ждать насмешек более легкомысленных ученых с континента. Традиция вышла из моды в середине XIX века.

Хотя вокруг ньютоновского Бога должна быть аура математического мистицизма, но даже не нашлось и налета нумерологии ни в его теологии, ни в его науке. По темпераменту Ньютон был современным Фалесом с присущим ему здравым смыслом. Величайший из натуральных философов, он не позволял метафизике отбрасывать его назад, когда ему хотелось идти вперед. Абсолютное пространство, абсолютное время и абсолютное движение его «Принципов», возможно, было ведомо еще Платону. Но их не понимал Ньютон. Но он видел, что даже после очистки эти невразумительные абсолюты остаются нерелевантными задачами, с которыми имеешь дело повседневно, и он пошел дальше, не теряя время на них. Для его целей они были так же не важны, как его комментарии по вопросу природы Бога. Таким же образом он выстроил и математику для достижения главной цели. Как следствие, математический мистицизм был временно отстранен из заслуживающей уважения научной мысли его же «Принципами».

Но в профессиональном философском мышлении старые магические числа продолжали существовать, такие же фантастичные, как и прежде. Лейбниц (1646–1726), ведущий философ своего времени и один из немногих универсальных умов в истории, отмечал, что 1 и 0 только числа в двоичной шкале системы счисления. Из этого он сделал вывод, что Бог (1, Монад) создал вселенную из ничего (0, ноль). Хотя этот последний из пифагорейцев изобрел уравнения независимо от Ньютона, всего на двадцать лет или попозже. Никто не видел Лейбница шутящим. Мы присутствуем при совершении чуда.

Следующий критический эпизод в прогрессе математического мистицизма касается единственной неудачи безукоризненного наследника Евклида и неинформированного критика.

Глава 23

Поворотный пункт

Год 1733 – прошло шесть лет со дня смерти Ньютона, до конца света, предсказанного «Божественным Кузанином», оставался год, в судьбе математического мистицизма определенно настал решающий момент. Пифагореизм и платонизм в науке и математике исчерпали себя для тех ученых и математиков, кто познакомился с работами Джироламо Саккери. Но в части лавров Саккери повторял судьбу Роджера Бэкона. Критическим моментом стала измененная геометрическая истина, которая должна была войти в математику сразу за Саккери, но ее признание задержалось почти на целый век. На кону был статус геометрии Евклида.